6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 第六章 空间向量及其运算 苏教版普通高中教科书 数学选择性必修第二册 学 习 目 标 1 2 3 理解直线的方向向量和平面的法向量的定义；掌握求直线方向向量、平面法向量的基本方法；能运用方向向量和法向量刻画空间直线与直线、直线与平面的垂直、平行关系，提升空间向量的运算能力和几何应用能力。 通过类比平面向量研究平面位置关系的方法，探究空间中直线和平面的向量表示，体会类比、转化的数学思想；在求平面法向量的过程中，掌握待定系数法的应用，培养逻辑推理和数学运算素养。 感受空间向量在刻画空间几何位置关系中的工具性作用，体会数形结合的思想；在探究和解题过程中，体验数学的严谨性，增强对空间几何的学习兴趣，提升空间想象能力。 一、激趣导思，温故知新 问题1： 平面向量中如何刻画两条直线的平行与垂直关系？ 平行：方向向量共线；垂直：方向向量数量积为0 问题2：空间中存在直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，我们能否类比平面向量的方法，用空间向量来刻画这些空间位置关系？要刻画空间直线和平面的“方向”，需要引入哪些新的向量概念？ 本节课我们将学习刻画空间直线和平面方向的核心概念——直线的方向向量与平面的法向量，并用它们研究空间的位置关系。 二、新知讲解，归纳概括 1. 直线的方向向量 二、新知讲解，归纳概括 1. 直线的方向向量 （不唯一，有无数个，且彼此共线） 二、新知讲解，归纳概括 2. 平面的法向量 思考：垂直于同一平面的直线有什么特征？（互相平行） 过渡：因此可以用平面垂线的方向向量来刻画平面的“方向”， 进而给出平面法向量的定义。 二、新知讲解，归纳概括 2. 平面的法向量 思考辨析： 一个平面的法向量唯一吗？ （不唯一，有无数个，且彼此共线） 平面的法向量与平面内的任意向量有什么关系？ （垂直，数量积为0） 二、新知讲解，归纳概括 3. 平面法向量的求解思路 若已知平面内两个不共线的向量，如何求平面的法向量？ 核心思路：设平面的法向量为n=(x,y,z)， 利用法向量与平面内任意向量垂直，数量积为0， 建立关于x,y,z的方程组，通过待定系数法求解 （取一个自由变量为特殊值，得到法向量）。 三、典例剖析，巩固新知 三、典例剖析，巩固新知 三、典例剖析，巩固新知 四、课堂练习，当堂检测 四、课堂练习，当堂检测 四、课堂练习，当堂检测 【答案】A 四、课堂练习，当堂检测 四、课堂练习，当堂检测 五、小结反思，提炼升华 五、小结反思，提炼升华 1.知识层面： 掌握直线的方向向量和平面的法向量的定义；会求直线的方向向量和平面的法向量；理解平面的法向量与平面内向量的垂直关系； 2.方法层面： 掌握待定系数法求平面法向量；学会将空间线面垂直关系转化为向量数量积为0的关系，将线线平行/垂直转化为方向向量的共线/垂直关系； 3.思想层面： 体会类比（平面向量→空间向量）、转化（空间几何位置关系→向量运算关系）、数形结合的数学思想，感受空间向量的工具性。 六、作业布置，课后提升 基础题： 完成教材对应习题，巩固直线方向向量、平面法向量的定义和基本求解方法；； 提升题：在正方体中，尝试用法向量证明线面垂直、面面平行，强化向量与空间几何的结合； 拓展题：思考“已知平面内一点和平面的法向量，这个平面是否唯一确定？”并说明理由，培养探究能力。 感谢聆听! 结合空间向量的平移性，类比平面直线的方向向量，给出定义： 定义：我们把直线 上的向量 以及与 共线的非零向量叫作直线的方向向量。 思考辨析1：一条直线的方向向量唯一吗？ 思考辨析2：若已知直线上两点、， 如何求直线AB的方向向量？ 1．过空间三点 ， ， 的平面的一个法向量是（ ） A． B． C． D． （2） ， ， ∴ ，∴ ，[来源:学§科§网Z§X§X§K] ∴ ， ∴ ．[来源 5．已知点 是平行四边形 所在平面外一点，如果 ， ， ．（1）求证： 是平面 的法向量；（2）求平行四边形 的面积． （1）证明：∵ ， ， ∴ ， ，又 ， 平面 ， ∴ 是平面 的法向量． $