6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量（课件）-高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 第6章 空间向量与立体几何 教师 xxx 苏教版（2019） 选择性必修第二册 问题1 如何用向量表示空间当中的一个点P? 向量 称为点P的位置向量 . 问题引入 2 问题2 我们知道,空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l， 如何用向量表示空间中的直线l ? ？ 问题引入 3 追问 类比问题1，取定空间中的任意一点O为基点，你能用向量表示直线l吗？ ① ② 探究新知 4 直线的向量表示式 ① ② 我们 把①②都称为空间直线的向量表示式 由此可知空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量a唯一确定. 探究新知 5 回忆 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 怎样可以确定一个平面？ 探究新知 6 问题3 你能用向量表示这个平面吗？ 由平面向量基本定理可知， 存在唯一的有序实数对（x，y），使得 xa+yb， 这样，点A与向量a和b不仅可以确定平面，还可以具体表示出平面内的任意一点. ? ？ 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能，依据是什么？ 探究新知 7 追问1 同样的，类比刚刚的学习，我们取定空间中的任意一点O为基点，你能用向量表示平面吗？ ③ 探究新知 8 追问1 ③ 同样的，类比刚刚的学习，我们取定空间中的任意一点O为基点，你能用向量表示平面吗？ 证明充分性+必要性 探究新知 9 平面的向量表示式 我们把③称为空间平面ABC的向量表示式 可以看出，空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定. ③ 探究新知 10 给定一个定点和一个定方向能否确定一个平面？ 问题4 如果能，依据是什么？ 过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的. 探究新知 11 法向量 如图,直线 ， 取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面 的法向量. 探究新知 12 追问1 因此给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定.表示为集合 . 垂直 数量积 探究新知 13 如果另有一条直线m⊥α ，在直线m上任取向量b，b与a有什么关系？ 追问2 平面可由一点和任意一个法向量唯一确定. 共线 ①非零向量 ②无数多个 ③共线 探究新知 14 1.已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是 A.－1 B.1或－1 C.－3 D.1 √ 解析　由题意得a∥b， 课堂练习 √ 解析　∵PA⊥平面ABCD， ∴BD⊥PA. 又AC⊥BD， ∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD. 故选项B成立，选项A和D显然成立.故选C. 3.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为 A.(1，－1,1) B.(2，－1,1) C.(－2,1,1) D.(－1,1,1) √ 解析　显然a与b不平行， 设平面α的法向量为n＝(x，y，z)， 令z＝1，得x＝－2，y＝1. 所以n＝(－2,1,1). 课堂练习 4.已知向量 ＝(2,4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y,3)，若AB⊂α，则 A.x＝6，y＝2 B.x＝2，y＝6 C.3x＋4y＋2＝0 D.4x＋3y＋2＝0 √ 可得3x＋4y＋2＝0. 课堂练习 5.已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是 √ 解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， ∴x＝y＝z，又∵单位向量的模为1，故只有B正确. 6.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是 √ 课堂练习 同理可排除C，D. 7.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是 解析　由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量. √ √ √ 课堂练习 8.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论： ①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的是__