专题6.6 直线的方向向量与平面的法向量（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

专题6.6 直线的方向向量与平面的法向量 教学目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念． 2.会用待定系数法求平面的法向量． 3.通过图形的直观性，感受平面也是有方向的，提升数学直观想象素养． 4.通过类比直线的方向向量得到平面的法向量，发展数学逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 直线的方向向量与平面的法向量的概念；平面的法向量的求解． 2.难点 平面的法向量的求解. 知识点01 直线的方向向量 直线l的方向向量： 我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量． 空间中直线的向量表示式： 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 【即学即练】 1．(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2,2,6) B．(1,1,3) C．(3,1,1) D．(－3,0,1) 【答案】　AB 【分析】根据题意，由直线方向向量的定义即得 【解析】　∵＝(1,1,3)，M，N在直线l上，∴向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量． 故选：AB 2．在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． 【答案】　(0,0,1)　(0,1,1)(答案不唯一) 【分析】根据题意，由直线方向向量的定义即得 【解析】　因为DD1∥AA1，＝(0,0,1)， 故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)； 因为BC1∥AD1，＝(0,1,1)， 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)． 故答案为：(0,0,1)　(0,1,1)(答案不唯一) 知识点02 平面的法向量 平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【即学即练】 1．已知，则平面ABC的一个法向量可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【解析】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A. 2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量． 【答案】　(0,0,1)　(0,1,1)(答案不唯一) 【分析】根据题意，由平面法向量的定义即得 【解析】(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1， 所以n1＝(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量． (2)因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3,2,0)，(0,4,0)，(3,0,2)． 因此＝(－3,2,0)，＝(0，－2,2)． 设n2＝(x，y，z)是平面MCA1的法向量， 则n2⊥，n2⊥. 所以 所以 取z＝3，则x＝2，y＝3. 于是n2＝(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量． 题型01 求直线的方向向量 【典例1】在平行六面体中，，，，O是与的交点．以为空间的一个基底，求直线的一个方向向量． 【答案】 【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得。 【解析】因为，，， 如图 因为，， 所以 所以直线的一个方向向量为 【变式1】如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出平面、平面截正四棱柱所得截面，进而确定出交线l，再求出其方向向量. 【解析】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则， 而分别是中点，则，又O为上底面中心，则， 因此四边形是平面截正四棱柱所得截面， 延长，由是的中点，得，连接， 则四边形是平面截正四棱柱所得截面， 显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则， 而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足， 选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足. 故选：A   【变式2】如图，在三棱台中，，，，设，，，以,,为空间的一个基底，求直线，的一个方向向量．    【答案】直线的一个方向向量是；直线的一个方向向量是 【分析】根据向量的线性运算分别计算即可． 【解析】 ， 故直线的一个方向向量是； ， 故直线的一个方向向量是． 【变式3】如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，求直线AE，BF的方向向量． 【答案】直线AE的方向向量，直线BF的方向向量. 【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得、，即可求，再由知，即可求. 【解析】在△中，，，则， 在△中，，，则， ∵在△中，E是CD的中点， ∴，而，即， ∴在△中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、 直线方向向量的表示方法： 设是直线上的一点，是直线的方向向量，在直线上取，设是直线上的任意一点，则 ①点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 ②取定空间中的任意一点,点在直线上的充要条件是：存在实数,使 ③取定空间中的任意一点,点在直线上的充要条件是：存在实数,使 题型02 直线的方向向量的应用 【典例1】已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【解析】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 【变式1】已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【解析】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 【变式2】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量， 【解析】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：B 【变式3】已知，若直线的一个方向向量为，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由直线方向向量的定义，设,2,，即,,,2,,,，由此分析可得答案． 【解析】根据题意，,,，若直线的一个方向向量为,2,， 则设,2,，即,,,2,,,， 则，解得. 故答案为：． 【变式4】在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，是直线上的任意一点，为坐标原点． (1)求证：； (2)当，且时，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】根据题意，由直线方向向量的定义即得 【解析】（1）由点，点，得， 由向量为直线的方向向量，得， 于是，而，消去得， 所以. （2）由（1）知，而，则， 又，显然， 由，得，解得， 所以点的坐标是. 题型03 求平面的法向量 【典例1】若两个向量,则平面的一个法向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面ABC的法向量为，根据数量积等于0，列出方程组，即可求解. 【解析】设平面ABC的法向量为， 则，即，令，则， 即平面ABC的一个法向量为， 故选：A. 求平面的法向量通常用待定系数法，由于两个三元一次方程组成的方程组的解不唯一，为方便起见，需合理取值，平面的法向量不唯一. 【变式1】已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【解析】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 【变式2】（多选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点 ，若以为坐标原点，以、的方向分别为、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ） A．点的坐标为 B． C． D．平面的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】写出点的坐标，可判断A选项的正误；利用空间向量数量积的坐标运算可判断B选项的真武；利用空间向量的坐标运算可判断C选项的正误；利用平面法向量的定义可判断D选项的正误. 【解析】由题可知，、、、，所以A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，所以C正确； 设平面的法向量为，则，取，得，故D不正确． 故选：ABC. 【变式3】如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一）. 【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案. 【解析】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：    由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 题型04 空间平面的向量表示式 【典例1】已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【解析】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 空间中，平面的向量表示方法： 设两条直线相交于点,所确定的平面为，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点,则： ①点在平面内的充要条件为存在唯一实数满足 ②取定空间任意一点,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,使 ③给定一个点和一个向量,那么过点,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合. 【变式1】已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各个选项进行逐一验证可得答案. 【解析】对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ， 则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ， 则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 【变式2】我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意进行类比，利用平面法向量与面内任意向量垂直，即可求得结论． 【解析】根据题意进行类比，在空间任取一点， 则 平面法向量为， 故选：A． 【变式3】设平面的一个法向量为，点在平面内，是内任意一点，则满足的关系式为 . 【答案】 【分析】由法向量垂直于平面，建立方程即可找出满足的关系式. 【解析】因为，， 所以， 由， 得， 整理可得， 故答案为：. 题型05 利用平面的法向量求参 【典例1】已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 【答案】9 【分析】根据法向量的概念结合条件即得. 【解析】由条件得，因为是平面的一个法向量，点A，B在平面内， 所以，所以， 所以，解得． 故答案为：9. 【变式1】已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 【答案】9 【分析】根据法向量的概念结合条件即得. 【解析】由条件得，因为是平面的一个法向量，点A，B在平面内， 所以，所以， 所以，解得． 故答案为：9. 【变式2】已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 . 【答案】 【分析】根据平面法向量的性质，结合空间向量平行的性质的坐标进行求解即可. 【解析】设平面的法向量为 因为， 所以， 所以有， 故答案为： 【变式3】一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接相交于点，连接，以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系，设，求出，求出平面的一个法向量，利用可得答案. 【解析】如图，在正四棱锥中，连接相交于点，连接， 则平面，且， 以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，由， 可得， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，， 可得，所以， 解得. 故选：B. 1．已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案. 【解析】由，，，得，， 设是平面的一个法向量，则即, 取，则，故，则与共线的向量也是法向量， 经验证，只有C正确.. 故选：C． 2．平面的一个法向量，则点的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量，验证选项即可. 【解析】设点在平面上， 因为，所以， 由， 得，依次验证选项，只有满足. 故选：D 3．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系，以及直线的方向向量、平面的法向量的概念求解. 【解析】因为，所以，显然， 所以，解得，，故． 故选:D. 4．已知为平行四边形外的一点，且，则（ ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 【答案】C 【分析】A，由题可得，即可得判断选项正误；B，由可得与其同向的单位向量；C，由图可得向量；D，由，结合法向量定义可判断选项正误. 【解析】对于A，由题，又， 因为，所以与不平行，A错误； 对于B，因，则， 得与同向的单位向量为，故B错误； 对于C，由图可得，故C正确； 对于D，由，设， 则， 则，与不垂直，这与法向量定义不符，故D错误. 故选：C. 5．.已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面法向量的定义可得. 【解析】假设选项中的点为点， 对于A：，此时，点在平面内； 对于B：，此时，点不在平面内； 对于C：，此时，点在平面内； 对于D：，此时，点在平面内； 故选：B. 6．空间直角坐标系中，已知点，向量，则过点且以为法向量的平面方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面法向量的定义可得. 【解析】设过点且以为法向量的平面上不同于P的任一点， 则，所以， 所以过点且以为法向量的平面方程为， 故选：A 7．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】AC 【分析】根据已知可得出点的坐标，进而求出相关向量的坐标，求出平面的法向量，即可得出答案. 【解析】由题意，，，，，. 对于A、B项，可知， ∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确； 对于C项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，可得，则C正确； 对于D项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，得，故D不正确. 故选：AC. 8．（多选）已知空间中三点，，，则（ ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】CD 【分析】求出、的坐标，根据共线定理判断A，与向量方向相同的单位向量是即可判断B，根据夹角公式判断C，令，计算出，，即可判断D. 【解析】因为，，， 所以，， 因为不存在实数使得，所以与不共线，故A错误. 因为，所以与向量方向相同的单位向量是，故B错误. 又，所以与夹角的余弦值是，故C正确. 不妨令，则， ，即且， 所以是平面的法向量，故D正确. 故选：CD 9.（多选）在空间直角坐标系中，已知向量（其中），定点，异于点的动点，则以下说法正确的是（ ） A．若为直线的方向向量，则 B．若为直线的方向向量，则 C．若为平面的法向量，面经过和P，则 D．若为平面的法向量，面经过和P，则 【答案】AD 【分析】由直线的方向向量、平面法向量的概念求解判断． 【解析】直线是直线的一个方向向量，，为直线的方向向量，则，A正确 ，B错误， 在平面内，为平面的法向量，则， 所以，C错误D正确． 故选：AD． 10．在平面中，点，若，且为平面的法向量，则 ， . 【答案】 【分析】根据题意，结合，列出方程组，即可求解. 【解析】由平面中，点， 可得， 因为为平面的一个法向量，则， 解得. 故答案为：；. 11．世纪,笛卡尔在《几何学》中,通过建立坐标系,将代数对象与几何对象建立关系,从而实现了代数问题与几何问题的转化,创立了新分支——解析几何,我们知道,方程在一维空间中,表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面,过点,法向量为的平面的方程是 . 【答案】 【分析】在空间直角坐标系中,若法向量为,且平面过点,那么平面方程为计算可得. 【解析】过点,法向量为的平面的方程为, 即. 故答案为:. 12．已知在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出平面的法向量，借助空间向量数量积求出的关系，再利用“1”的妙用求解作答. 【解析】依题意，，设平面的法向量为， 则，令，得，依题意，，则， 则，当且仅当时取等号， 由，解得， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 13．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一）. 【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案. 【解析】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：    由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 14．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点． (1)求证：； (2)当，且时，求点P的坐标． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）求出向量的坐标，再利用向量共线推理即得. （2）由已知，结合（1）中信息用表示点的坐标，再利用空间向量数量积的坐标表示计算即得. 【解析】（1）由点，点，得， 由向量为直线l的方向向量，得， 于是，而，消去得， 所以. （2）由（1）知，而，则， 又，显然， 由，得，解得， 所以点P的坐标是. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.6 直线的方向向量与平面的法向量 教学目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念． 2.会用待定系数法求平面的法向量． 3.通过图形的直观性，感受平面也是有方向的，提升数学直观想象素养． 4.通过类比直线的方向向量得到平面的法向量，发展数学逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 直线的方向向量与平面的法向量的概念；平面的法向量的求解． 2.难点 平面的法向量的求解. 知识点01 直线的方向向量 直线l的方向向量： 我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量． 空间中直线的向量表示式： 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 【即学即练】 1．(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2,2,6) B．(1,1,3) C．(3,1,1) D．(－3,0,1) 2．在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． 知识点02 平面的法向量 平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【即学即练】 1．已知，则平面ABC的一个法向量可以为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量． 题型01 求直线的方向向量 【典例1】在平行六面体中，，，，O是与的交点．以为空间的一个基底，求直线的一个方向向量． 【变式1】如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（ ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，在三棱台中，，，，设，，，以,,为空间的一个基底，求直线，的一个方向向量．    【变式3】如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，求直线AE，BF的方向向量． 直线方向向量的表示方法： 设是直线上的一点，是直线的方向向量，在直线上取，设是直线上的任意一点，则 ①点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 ②取定空间中的任意一点,点在直线上的充要条件是：存在实数,使 ③取定空间中的任意一点,点在直线上的充要条件是：存在实数,使 题型02 直线的方向向量的应用 【典例1】已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A．或1 B． C． D．1 【变式1】已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A． B． C．1 D．2 【变式2】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知，若直线的一个方向向量为，则 . 【变式4】在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，是直线上的任意一点，为坐标原点． (1)求证：； (2)当，且时，求点的坐标． 题型03 求平面的法向量 【典例1】若两个向量,则平面的一个法向量为（ ） A． B． C． D． 求平面的法向量通常用待定系数法，由于两个三元一次方程组成的方程组的解不唯一，为方便起见，需合理取值，平面的法向量不唯一. 【变式1】已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点 ，若以为坐标原点，以、的方向分别为、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ） A．点的坐标为 B． C． D．平面的一个法向量为 【变式3】如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    题型04 空间平面的向量表示式 【典例1】已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ） A． B． C． D． 空间中，平面的向量表示方法： 设两条直线相交于点,所确定的平面为，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点,则： ①点在平面内的充要条件为存在唯一实数满足 ②取定空间任意一点,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,使 ③给定一个点和一个向量,那么过点,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合. 【变式1】已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3】设平面的一个法向量为，点在平面内，是内任意一点，则满足的关系式为 . 题型05 利用平面的法向量求参 【典例1】已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 【变式1】已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 【变式2】已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 . 【变式3】一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 1．已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 2．平面的一个法向量，则点的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 3．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知为平行四边形外的一点，且，则（ ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 5．.已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是（ ） A． B． C． D． 6．空间直角坐标系中，已知点，向量，则过点且以为法向量的平面方程为（ ） A． B． C． D． 7．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 8．（多选）已知空间中三点，，，则（ ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 9.（多选）在空间直角坐标系中，已知向量（其中），定点，异于点的动点，则以下说法正确的是（ ） A．若为直线的方向向量，则 B．若为直线的方向向量，则 C．若为平面的法向量，面经过和P，则 D．若为平面的法向量，面经过和P，则 10．在平面中，点，若，且为平面的法向量，则 ， . 11．世纪,笛卡尔在《几何学》中,通过建立坐标系,将代数对象与几何对象建立关系,从而实现了代数问题与几何问题的转化,创立了新分支——解析几何,我们知道,方程在一维空间中,表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面,过点,法向量为的平面的方程是 . 12．已知在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则的最小值为 ． 13．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    14．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点． (1)求证：； (2)当，且时，求点P的坐标． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $