第十章二元一次方程综合测试卷2025-2026 学年 人教版七年级数学下册

第十章二元一次方程 综合测试卷（新人教） （时间：100分钟，总分：120分）（带解析） 一、单选题(共10题；共30分) 1．（3分）下列各组数值是二元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列方程组是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 3．（3分）已知 是方程kx＋y＝3的一个解，那么k的值是(　　) A．7 B．1 C．－1 D．－7 4．（3分）地理老师介绍道：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，小东根据地理教师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为（　　） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 6．（3分）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（　　）元 A．33 B．34 C．35 D．36 7．（3分）为了加强劳动教育，让学生热爱自然，提高劳动品质，南宁市某中学秉着“让花成花”的教育理念开展了种植体验课程．课程开设后，学校打算花费6400元购进月季和郁金香两种花苗共100株，其中月季每株7元，郁金香每株4元．设月季有株，郁金香有株，依题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路.如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，从乙地走到甲地需要20分钟.若设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）已知关于和的方程组（为常数），下列结论正确的个数为（　　） ①无论取何值，都有；②若，则 ③方程组有非负整数解时，；④若和互为相反数，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(共5题；共15分) 11．（3分）若是二元一次方程的一个解，则m的值为　 　。 12．（3分） 若2x+y=3，则用x表示y的式子为　 　，用y表示x的式子为　 　. 13．（3分）如图，某电视背景墙由10块形状、大小完全相同的长方形墙砖砌成（厚度忽略不计)，则这个电视背景墙的面积是　 　m2. 14．（3分）已知二元一次方程x－2y＝10，用含x的代数式表示为y，则y＝　 　． 15．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长尺，木长尺，可列方程组为　 　． 三、解答题(共8题；共75分) 16．（10分）解方程组： （1）（5分） （2）（5分） 17．（9分）如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为． （1）（4分）求每块小长方形墙砖的长和宽； （2）（5分）求电视背景墙的面积． 18．（9分）阅读材料并回答下列问题： 当 都是实数， 且满足 ， 就称点 为"友好点". 例如： 点 ，令 ， 得 ， 所以 不是"友好点"， 点 ， 令 . 得 ， 所以 是"友好点". （1）（4分） 请判断点 是否为"友好点"， 并说明理由. （2）（5分）以关于 的方程组 的解为坐标的点 是 "友好点"， 求t 的值. 19．（9分）某中学组织师生共人去参观博物院．阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” （1）（4分）客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解） （2）（5分）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用为　 　元． 20．（9分）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． （1）（4分）每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ （2）（5分）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 21．（9分）天府七中组织初中年级共名学生到广元剑门关参加研学活动，已知用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人． （1）（4分）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）（5分）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金元，大客车每辆租金元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金． 22．（9分）根据背景素材，探索解决问题. 制订阅读计划 素材1 小张同学计划一周每天读《朝花夕拾》10页，实际每天阅读量与计划阅读量相比情况如下表所示(以计划量为标准，超出的页数记为正数，不足记为负数). 星期 一 二 三 四 五 六 日 超出或不足（页） +1 -4 -3 0 +6 +8 +5 素材2 该书共144页，由于时间紧迫，小张计划第二周用5天读完剩下的部分，且每天至少读10页，其中有3天每天读a页，有2天每天读b页. 问题解决 ⑴任务1 分析数据 ①日阅读量最多的是星期▲，日阅读量最多的那天比日阅读量最少的那天多读了▲页. 整理数据 ②求这一周小张总共读的页数. ⑵任务2 推理计算 小张第二周读了▲(用含a，b的代数式表示)页. ⑶任务3 拟定方案 请为小张同学设计一个满足要求的阅读方案. 23．（11分）综合与探究 【课本再现】 七年级下册教材页中我们曾探究过“以方程的解为坐标的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如：，是方程的解，对应点、．如图所示，我们在平面坐标系中将其标出，另外，方程的解还对应点、……将这些点连起来正好是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程的解，所以我们把这条直线就叫做方程的图象． 结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线． （1）（3分）解决问题】 已知、、，则点　 　（填“或或”）在方程的图象上． （2）（4分）已知无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过某一定点，且这个定点在方程的图象上，求的值． （3）（4分）【拓展延伸】 已知为实数，为正整数，关于、的方程组的解也为正整数，且以此方程组的解为坐标的点在方程的图象上，求的值． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：A．代入方程，得，故A符合题意； B．代入方程，得，故B不符合题意；； C．代入方程，得，故C不符合题意； D．代入方程，得，故D不符合题意； 故答案为：A． 【分析】根据方程的解得意义，分别代入方程即可得出答案。 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A、xy=2是二次的，故A不符合题意； B、是二元一次方程组，故B符合题意； C、x2-x-2=0是二次的，故C不符合题意； D、不是整式方程，故D不符合题意； 故答案为：B． 【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程组成的方程组，其中组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，据此逐项进行判断即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：把 代入方程kx+y=3中，得 k+4=3， 解得，k=-1， 故答案为：C． 【分析】将方程的解代入方程中即可得到关于k的方程，求解可得k的值. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：设长江长为x千米，黄河长为y千米， 由题意得，， 故答案为：D． 【分析】设长江长为x千米，黄河长为y千米，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：设这款风扇的进价为x元，标价为y元，由题意列方程组得： 解方程组得： 故答案为：A. 【分析】设风扇的进价和标价分别为x元和y元，则根据相等关系“ 按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.”列方程组并求解即可. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：设购甲每件 元，购乙每件 元，购丙每件 元. 列方程组得： ， ①② 得： . 故答案为：B. 【分析】设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元，根据购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元可得3x+7y+z=64；根据购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元可得4x+10y+z=79，利用第一个方程的3倍减去第二个方程的2倍可得x+y+z的值，据此解答. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：设月季有株，郁金香有株， 由题意得：， 故答案为：A． 【分析】设月季有株，郁金香有株，根据“ 学校打算花费6400元购进月季和郁金香两种花苗共100株 ”列出方程组即可. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故答案为：B． 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：∵从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟， ∴ ， 返回时，列方程为 ， 联立方程组为 故答案为：C. 【分析】从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，根据时间等于路程÷速度及从甲地走到乙地需要15分钟 、 从乙地走到甲地需要20分钟列出方程组. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：将（2）式乘以3并与（1）式相加得2x-y+3(2x+y)=3k-2+3(4-k)得8x+2y=10即有4x+y=5，故①正确；当k=1时，2x-y=1，2x+y=3，可得x=y=1，故(2x-1)y=1，故②正确；(1)+(2)得4x=2k+2，x=≥0，即有k≥-1，将x代入(1)式得y=3-2k≥0，t得k≤，故-1≤k≤，故③错误；当x、y互为相反数时，x+y=0，即有+3-2k=0得k=，故④正确. 故答案为：C. 【分析】①式中直接消去k便可得结果；而②可直接代入求解x和y的便可验证；③④可直接求出x和y的表达式，便可直接验证结果. 11．【答案】-1 【解析】【解答】解：将 代入原方程得 解得： ∴m的值为 故答案为： 【分析】将x，y的值入原方程，可得出： 解之即可得出m的值. 12．【答案】；​​​​​​​ 【解析】【解答】解：2x+y=3， 解得：y=-2x+3. 2x+y=3， 解得：， 故答案为：；. 【分析】将x看做已知数，求出y即可；将y看做已知数，求出x即可. 13．【答案】3.6 【解析】【解答】解：设一块长方形墙砖的长为 x m，宽为 ym.依题意得 解得 所以电视背景墙的面积为 2×1.2×1.5 =3.6(m2). 故答案为：3.6. 【分析】设每个长方形的长是m，宽是ym，分别根据这个电视背景墙的长和宽列关于和y的二元一次方程并求解，即可求出这个电视背景墙的长，再由长方形的面积公式计算其面积即可. 14．【答案】 【解析】【解答】解：x－2y＝10 2y=x-10 y= 故答案为：. 【分析】根据等式的性质将不含y的项都移到方程的一边，含y的项放在方程的另一边，再在方程两边同时除以2将未知数y的系数化为1即可. 15．【答案】 【解析】【解答】由题意：绳长比木长多4.5尺，绳长的一半比木长少1尺，可列出方程组 {x−y=4.5y−x2=1 故填： {x−y=4.5y−x2=1 【分析】根据已设未知数的逻辑关系，按照题意列方程组。 16．【答案】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①，得：， 所以原方程组的解为； （2）解：， 由②得：③， 由③-①得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 【解析】【分析】（1）本题主要考查了解二元一次方程组，将代入，求得，再将其代入计算，求得x的值，即可得到答案； （2）本题主要考查了解二元一次方程组，结合加减消元法求解，即可求解． （1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①，得：， 所以原方程组的解为； （2）解：， 由②得：③， 由③-①得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 17．【答案】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为， 依题意得，解得， 答：一块长方形墙砖的长为，宽为； （2）解：求电视背景墙的面积为， 答：电视背景墙的面积为． 【解析】【分析】 （1）设一块长方形墙砖的长为，宽为，列方程组，求解即可得到答案； （2）利用面积公式求解即可得到答案． 18．【答案】（1）解：点，令， 得， ， 不是“友好点”， 点，令， 得， ， 是“友好点”； （2）解：方程组的解为， 点，是“友好点”， ， ， ， ， 解得 的值为10 【解析】【分析】（1）根据题意代入点A和点B，进而即可求出m和n，从而根据“友好点”的定义即可求解； （2）先根据题意解二元一次方程组得到方程组的解为，进而根据“友好点”的定义表示出，再根据解一元一次方程即可求解. 19．【答案】（1）解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元， 根据题意得：， 解得：， 答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元； （2） 【解析】【解答】解：（2）设租辆座客车，辆座客车， 根据题意得：， ， ，都是非负整数， ，，， 租金为， 当时，（元； 当时，（元； 当时，（元； 有三种方案，其中座客车租8辆时最省钱，为元， 故答案为：． 【分析】（1）设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元，根据“租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．”和“ 租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元 ”可得出方程组，解方程组即可； （2）设租辆座客车，辆座客车，则，根据，都是非负整数，可得出m，n的所有解，进而根据1000m+800n分别求出各种情况的租车费用，再进行比较即可。 （1）解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元， 根据题意得：， 解得：， 答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元； （2）解：设租辆座客车，辆座客车， 根据题意得：， ， ，都是非负整数， ，，， 租金为， 当时，（元； 当时，（元； 当时，（元； 有三种方案，其中座客车租8辆时最省钱，为元， 故答案为：． 20．【答案】（1）解：设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得： ，解得： 答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元； （2）解：设购进A型早餐机n台，依题意得：，解得：， 答：至少要购进A型早餐机5台． 【解析】【分析】（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，根据题干：已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元 列方程组：，求解即可. （2）设购进A型早餐机n台，根据总费用不超过2200元，列出不等式，求解即可. 21．【答案】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 依题意得：， 解得：. 答：每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生． （2）解：①依题意得：， ∴， 又∵，均为正整数， ∴或， ∴共有2种租车方案， 方案1：租小客车3辆，大客车10辆； 方案2：租小客车12辆，大客车4辆． ②方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）． ∵， ∴最省钱的租车方案是方案1租小客车3辆，大客车10辆，最少租金为元． 【解析】【分析】 （1）设每辆小客车能坐人，每辆大客车能坐人，根据题中的等量关系"辆小客车和辆大客车每次可运送学生人，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人"可列出关于x、y的方程组，解方程组即可求解； （）①根据题中的相等关系"小客车辆运的人数大客车辆运的人数"可列关于m、n的方程，用含m的代数式表示n，然后求出整数解即可； ②根据①所得方案和小客车每辆租金元，大客车每辆租金元分别计算出租金并比较大小即可判断求解． （1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 依题意得：， 解得：. 答：每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生． （2）解：①依题意得：， ∴， 又∵，均为正整数， ∴或， ∴共有2种租车方案， 方案1：租小客车3辆，大客车10辆； 方案2：租小客车12辆，大客车4辆． ②方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）． ∵， ∴最省钱的租车方案是方案1租小客车3辆，大客车10辆，最少租金为元． 22．【答案】（1）①六，12②83 （2） （3）该书共144页，第一周共看了83页，剩下144-83=61(页)， 用了5天读完剩下的61页， ∴ ∴或 即3天每天读11页，2天每天读14页或3天每天读13页，2天每天读11页. 【解析】【解答】解：解：（1）①由表得：日阅读量最多的是星期六，阅读量最多的那天读了8页，阅读量最少的那天读了-4页， ∴日阅读量最多的那天比日阅读量最少的那天多读了： 故答案为：六，12. ②这一周小张总共读的页数为： 故答案为：83. （2）∵其中有3天每天读a页，有2天每天读b页， ∴第二周读了：， 故答案为：. 【分析】（1）根据表中数据找出绝对值最大和最小的日子，进而即可求解； （2）根据"其中有3天每天读a页，有2天每天读b页"，据此列出代数式即可； （3）根据第一周看的页数得到第二周看的页数，进而得到解此方程即可. 23．【答案】（1） （2）解：将方程ax+3(y-a)=1整理，得a(x-3)+3y=1， ∵无论a为何值，关于x、y的二元一次方程ax+3(y-a)=1的图象都经过定点， ∴x-3=0， ∴x=3，y=， 将x=3，y=代入2x+by=5得2×3+b=5， 解得b=-3； （3）解：将方程组化简，得 ①+②得(2+k)x+2y=28， 由2x+y=9，得y=9-2x， 将y=9-2x代入(2+k)x+2y=28，得(k-2)x=10， ∵方程组有解， ∴k≠2， ∴x=， ∵x、k为正整数， ∴k-2=1或2或5或10， ∴k为3、4、7、12， 当k=3时，x=10，y=-11，不符合题意，舍去； 当k=4时，x=5，y=-1，不符合题意，舍去； 当k=7时，x=2，y=5，符合题意，将x=2与y=5代入①得m=； 当k=12时，x=1，y=7，符合题意，将x=1与y=7代入①得m=19， 综上，的值为或. 【解析】【解答】解：（1）当x=1，y=2时，2x+3y=2+3×2=8≠4，故点A不在方程2x+3y=4的图象上； 当x=-2，y=0时，2x+3y=2×（-2）+3×0=-4≠4，故点B不在方程2x+3y=4的图象上； 当x=-1，y=2时，2x+3y=2×（-1）+3×2=4，故点C在方程2x+3y=4的图象上； 故答案为：C； 【分析】（1）根据方程图象定义，将A、B、C三个点的坐标代入方程，逐个验证即可； （2）将方程ax+3(y-a)=1整理，得a(x-3)+3y=1，结合“无论a为何值，关于x、y的二元一次方程ax+3(y-a)=1的图象都经过定点”可知方程的一个解与字母a的取值无关，故可得项-=0，求解得出x的值，进而求出y的值，最后将x、y的值代入2x+by=5可求出b的值； （3）将方程组化简，得，将方程组中的两个方程相加得(2+k)x+2y=28，由2x+y=9，得y=9-2x，将y=9-2x代入(2+k)x+2y=28，得(k-2)x=10，进而结合方程组有解且x、y、k都是正整数求出符合题意的解，将求得的解代入①方程即可算出m的值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $