上海市南洋模范中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试卷

2025-2026上海市南洋模范中学高三第二学期开学考 2026.3 一、填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分） 1.经过两点A(1,m),B(m-1,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是 2.设向量a,6的夹角的余弦值为，且=l,6=3,则(2a+b列6= 3.已知为嘘数单位，设复数2满足2-三=2m,则2= 7 4.若函数f(x)=x3-”(1)x2+3,则f(1)= 5.抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则实数a=_ 6.若x3-3x2-x-1=a(2x-3)+b(2x-3)+c(2x-3)+d,求a-b+c-d= 7.已知西数f)=cos'mx-sin'ox-sin2x+icos2ox+星(o>0)在区间 [0,2π]上恰有3条对称轴，则ω的取值范围是 8.上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部 纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映(5个连续的场次)，则两部悬疑片不 相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有 种 (结果用数字表示)· 9.已知x:2+1log,x<18,B:不存在正数ab,使得不等式(2a+b 、m +6 ≤x成立，若 α是B的充分条件，则正实数m的取值范围是 10.从1,2,3，…，10这10个数中任取4个不同的数aa243a4,则事件“存在 1≤i<j≤4，ij∈W,使得a,-a=1”的概率为 11.已知平面内不同的三点0、A、B,满足OA=AE=4,若元∈[0，]， 0丽-O1+(1-2)80-}8d的最小值为26，则o= 12.已知函数f(x),g(x)在R上可导，其导数为f'(x),g'(x),若f(x)=g(x),则 '(x)=g(x)成立·英国数学家泰勒发现了一个恒等式： e=a+ax+a2+…+a,x”+,则21= kkak 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13.“ac2>bc2”是“a>b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.已知两个随机事件A和B,其中P(A)=P(B)=8P(4UB)=则 3 P(A∩B)=() A.1 B. 1 C. D. 1 4 3 2 8 15.在一个有限的资源和空间环境下，某种生物的数量P(t)与时间t(单位：天)的关系式 K 为：P(-十A,共中K、A为正常数：已知该种生物数量为 ,时，所对应的时间分 9’3 别为t2,则t2-41=（ A.In2 B.In3 C.2In2 D.2In3 16.已知非空集合A,B满足：AUB=R,A∩B=②，函数f(x)= x2,x∈A 2x-1,x∈B1 对于下列两个命题： ①存在唯一的非空集合对(A,B),使得f(x)为偶函数； ②存在无穷多非空集合对(A,B),使得方程f(x)=2无解. 下面判断正确的是( A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①、②都正确 D.①、②都错误 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17.(本题共有2个小题，满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,等差数列{bn}满足b,=a,b,=a6: (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)设数列{bn}前n项和为Tn,求T,n的最大值 18.（本题共有2个小题，满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD, AB=2CD=2AD=2,E在棱PB上，PDM平面AEC,设PE EB (1)求2； (2)若点A到平面PBC的距离为1，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值 E D 19.(本题共有2个小题，满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 利用借题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学 建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他 们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀 数学成绩总评非优 合计 人数 秀人数 每天都整理数学错 20 10 题人数 不是每天都整理数 22 学错题人数 合计 60 (1)完成上述2×2列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成 绩总评优秀的概率； (2)根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题 是否有关联？ (3)从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数 学成绩总评优秀的人数为X,求X的分布列和数学期望. 附：x2= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d; (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 20.(本题共有3个小题，满分18分.第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 已知点A为椭圆「：父+号=1上一点，瓦，B分别为椭圆的左、右焦点 62 (1)若点A不在x轴上，求△AFF,的周长； (2)过右焦点的直线1与椭圆交于P,Q两点，若以PQ为直径的圆过F,求1的方程； (3)若点A在x轴上方，设直线AF,与T交于点B,与y轴交于点K,KF延长线与厂交于 点C,在x轴上方是否存在点C,使得FA+FB+FC-(A+FB+FC(1∈R)成立？ 若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由、 21.(本题共有3个小题，满分18分.第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 定义：如果函数∫(x)在定义域内，存在极大值f(x)和极小值∫(x2),且存在一个常数k, 使∫(x)-∫(x2)=k(x,-x2)成立，则称函数∫(x)为极值可差比函数，常数k称为该函 数的极值差比系数.已知函数f(x)=x-1-alnx, 5 ()）当a=2时，判断（是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在a使f(x)的极值差比系数为2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说 明理由； (3)若2 6≤a。求①的极值差比系数的取值细 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分） 1.经过两点A(1,m),B(m-1,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是 【答案】m<2或m>3 2.设向量a,b的夹角的余弦值为3且园=1，=3，则(2a+6)6= 【答案】11 3.已知为虚数单位，设复数z满足2二兰-m,则2= 【答案】1-i 4.若函数f(x)=x3-f'(1)x2+3,则f(1)= 【答案】3 5.抛物线y=ax2的准线方程是y=l,则实数a= 【答案】 6.若x3-3x2-x-1=a(2x-3)+b(2x-3)2+c(2x-3)+d,求a-b+c-d= 【答案】-1 7. 已知函数f(=cox-sin0r-sin20x+5cos2ax+)o>0)在区间 [0,2π]上恰有3条对称轴，则w的取值范围是 1115 【答案】 1616 8.上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部 纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映(5个连续的场次)，则两部悬疑片不 相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有 种 (结果用数字表示)· 【答案】44 9.已知a:2+bg,x<18B:不存在正激a么使得不等式2a+6)日+号水x成立，若 a是B的充分条件，则正实数m的取值范围是 【答案】6-4v√2 10.从1,2,3，…，10这10个数中任取4个不同的数4a2a3a4,则事件“存在 1≤i<j≤4，六j∈N°，使得a,-a=1”的概率为 【你利目 11.已知平面内不同的三点0、A、B,满足可A=A=4,若元∈[0，小， 0丽-0+1-刘80-号丽的最小值为26，则o= 【答案】2 12.已知函数f(x),g(x)在R上可导，其导数为f'(x),g'(x),若f(x)=g(x),则 f'(x)=g(x)成立·英国数学家泰勒发现了一个恒等式： er=a+ax+4r2++a,x”+,则2u= k台kag 3k 【答案】 k+1 【解析】由题意， (ex=(a+a,x+a2x2+…+anx+→3e3r=a,+2a2x+…+na,x-l+…, 故3a+3a,x+3a2x2+…+3anx”+…=a,+2a2x+…+nanx"-+…, 故 器= 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13.“ac2>bc2”是“a>b”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 14,已知两个随机事件A和B,其中P()=2P()P(U到=子则 P(A∩B)=( B. D 4 3 8 【答案】D 15.在一个有限的资源和空间环境下，某种生物的数量P(t)与时间t(单位：天)的关系式 为：P0=K 1十A,其中K、A为正常数已知该种生物数量为 KK 时，所对应的时间分 9’3 别为个t2,则t2-=（) A.In2 B.In3 C.2In2 D.2In3 【答案】C 16.已知非空集合A,B满足：AUB=R,A∩B=②，函数f(x)= x2,x∈A 对于下列 2x-1,x∈B 两个命题：①存在唯一的非空集合对(A,B),使得f(x)为偶函数；②存在无穷多非空集合 对(A,B),使得方程∫(x)=2无解.下面判断正确的是（ A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C.①、②都正确 D.①、②都错误 【答案】B 【獬析】由题意，x2=2x-1→x=0或x=1,x2=2→x=±V2,2x-1=2→x= 2 对于①，只需B三{0,1}即可满足f(x)为偶函数，故①错误； 对于②，只需2eA,士2∈B即可满足方程∫(x)=2无解，故②正确. 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17.(本题共有2个小题，满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,等差数列{bn}满足b=a,b。=a。· (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)设数列{bn}前n项和为Tn,求Tn的最大值. 【答案】（1)an=2,bn=68-4n (2)544 18.(本题共有2个小题，满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD, MB=2CD=2AD=2,E在棱PB上，PDM平面AEC,设PE=元. EB (1)求元； （2)若点A到平面PBC的距离为1，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值. E D √21 【答案】(1) (2) 2 14