精品解析：上海华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

华二附中高三开学考数学试卷 2026.03 一．填空题 1. 已知集合，，则______． 2. 函数的最小正周期为______． 3. 样本数据5，6，8，11，5的方差为______. 4. 若事件、互斥，且，，则___________ 5. 已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 6. 圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________． 7. 二项式展开式中的系数为______． 8. 已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______． 9. 已知函数的部分图象如图所示，其中阴影部分的面积为，则不等式的解集为______． 10. 已知，若在上是严格增函数，则的取值范围是___________ 11. 若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m 12. 已知是公差不为0的无穷等差数列．若对于中任意两项，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质．若，则具有性质的数列的个数是___________ 二．选择题 13. 已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数为图像的对称中心，是该图像上相邻的最高点和最低点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的对称轴方程为 B. 的图像关于轴对称 C. 函数在区间上是严格增函数 D. 若函数在区间内有5个零点，则在此区间内有且只有2个极小值点 16. 设是两个非零向量的夹角，若对任意实数t，的最小值为1．命题p：若确定，则唯一确定；命题q：若确定，则唯一确定．下列说法正确的是（ ） A. 命题p是真命题，命题q是假命题 B. 命题p是假命题，命题q是真命题 C. 命题p和命题q都是真命题 D. 命题p和命题q都是假命题 三．解答题 17. 如图，在正四棱柱中，，． （1）求与底面所成角； （2）求点A到平面的距离 18. 已知直线是函数的一条对称轴. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在上的最大值和最小值. 19. 近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M，N两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据： 黄色蜂蜡罐 褐色蜂蜡罐 M品种蜜蜂 40 20 N品种蜜蜂 50 10 （1）判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？ （2）假设要计算某事件概率，常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式：求解现从装有a只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B． （ⅰ）证明：； （ⅱ）研究发现，①M品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到概率为；M品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；②N品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；N品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为．请从M，N两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 已知椭圆E：离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB斜率为，，求的最大值． 21. 设，. （1）求证：在上恒成立； （2）若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围； （3）设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华二附中高三开学考数学试卷 2026.03 一．填空题 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 2. 函数的最小正周期为______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接代入正切型函数的周期公式运算求解. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为：. 3. 样本数据5，6，8，11，5的方差为______. 【答案】5.2 【解析】 【分析】先求样本数据的平均数，然后由方差的定义求得方差. 【详解】这组样本数据的平均数为， 所以方差. 故答案为：5.2 4. 若事件、互斥，且，，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式列方程求概率即可. 【详解】由互斥事件的概率加法有， 所以. 故答案为： 5. 已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用实系数方程复数根的性质及根与系数关系得，再由共轭复数的运算性质求结果. 【详解】由实系数一元二次方程复数根的性质知， 故. 故答案为： 6. 圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积. 【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故， 则. 故答案为：. 7. 二项式展开式中的系数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】利用二项式定理直接求解. 【详解】因为的二项展开式的通项公式为， 所以二项式展开式中的项为， 故二项式展开式中的系数为7. 故答案为：7. 8. 已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】由函数是幂函数，则，解出的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案. 【详解】由函数是幂函数，则，得或， 当时，函数，其定义域为，，则是偶函数，满足条件； 当时，函数是奇函数，不合题意. 故答案为：2. 9. 已知函数的部分图象如图所示，其中阴影部分的面积为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】由阴影部分面积可知函数周期，进而确定的值，由特殊点代入可求的值，然后利用正切函数的性质解不等式. 【详解】如图所示， 由对称性可得题中阴影部分的面积等于矩形的面积， 所以， 所以的周期，解得， 所以． 将点代入，得， 所以， 所以． 又，所以，所以． 又，所以， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故答案为： 10. 已知，若在上是严格增函数，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】化简函数，求导，根据导数与单调性的关系结合二次函数性质列不等式计算求解. 【详解】因为， ， 所以 因为函数定义域为， 所以， 求导，， 因为在上是严格增函数， 所以在区间上恒成立且不恒为零， 因为是开口向上二次函数， 所以，即，解得或， 故的取值范围是. 11. 若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m 【答案】 【解析】 【分析】分析出与均为等腰三角形，结合余弦定理求解长即可. 【详解】如图，设与的交点为，则由题知为等腰三角形，所以， 又因为，所以，为等腰三角形，则， 又,所以，所以. 设，因为，所以，所以， 在中，由正弦定理可知，解得， 在中，由余弦定理可得, 代入、，有，代入 化简可得. 12. 已知是公差不为0的无穷等差数列．若对于中任意两项，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质．若，则具有性质的数列的个数是___________ 【答案】16 【解析】 【分析】先根据这个条件找到为负整数不成立，则为正整数，再利用等差数列的通项公式得到，，求出用表示的式子，代入已知等式中，解出，从此式子中可知只能是的正约数，求出的取值，从而得到的个数. 【详解】设数列的公差为，假设为负整数，则为递减数列， 所以中各项的最大值为， 由题意，中存在某项，且，所以， 而数列中存在，则，与题意相矛盾， 所以不是负整数，故为正整数. 因为，， 又，由题意，，使得，所以， 所以，d只能是的正约数， 因为， 所以. 当是552的正约数时，对任意， 右边三项均为的整数倍，故是的整数倍. 故具有性质P的数列有个. 二．选择题 13. 已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合特殊值法判断可得出结论. 【详解】若是有理数，不妨取，则，但是无理数， 即“是有理数”不能推出“是有理数”， 若为有理数，则存在、且，使得，则为有理数， 故“是有理数”“是有理数”， 所以“是有理数”是“是有理数”的必要非充分条件， 故选：B. 14. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算半通径，再利用椭圆定义即可得到齐次方程求解离心率. 【详解】 令，代入椭圆 则可知：，又因为，所以， 根据椭圆定义可知：， 所以椭圆的离心率为， 故选： B 15. 已知函数为图像的对称中心，是该图像上相邻的最高点和最低点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的对称轴方程为 B. 的图像关于轴对称 C. 函数在区间上是严格增函数 D. 若函数在区间内有5个零点，则在此区间内有且只有2个极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】根据距离公式求出，从而求出，根据对称中心求出，从而可得解析式，利用整体法判断AC的正误，根据正弦型函数的性质判断B，根据换元法结合正弦函数的性质判断D. 【详解】因为是对称中心，所以， 又因为是该图像上相邻的最高点和最低点，解得， 所以，得 ，所以，则. 对于A， ，解得，故A错误. 对于B，设， 则， 所以图像不关于轴对称，故B错误. 对于C，，解得， 当时，，当时，， 当时，即为， 此时区间不是的子集， 综上，不是函数增区间的子区间，故C错误. 对于D，令，得到零点为， 因为有5个零点，所以在第五个零点与第六个零点之间，所以. 函数取极小值时，即，即， 因为，故， 令，解得，即，只能为， 当时，，此时确有两个极小值点，故D正确. 16. 设是两个非零向量的夹角，若对任意实数t，的最小值为1．命题p：若确定，则唯一确定；命题q：若确定，则唯一确定．下列说法正确的是（ ） A. 命题p是真命题，命题q是假命题 B. 命题p是假命题，命题q是真命题 C. 命题p和命题q都是真命题 D. 命题p和命题q都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的最小值为1，分析可得，然后判断命题真假即可. 【详解】因为， 所以当时，取得最小值. 所以， 化简得 所以若确定，则唯一确定，若确定，则不唯一. 所以命题p为假命题，命题q为真命题. 故选：B. 三．解答题 17. 如图，在正四棱柱中，，． （1）求与底面所成角； （2）求点A到平面距离 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线面角的定义可知即为所求，在中利用三角函数进行求解. （2）在三棱锥中，利用等体积法求点A到平面的距离. 【小问1详解】 由题意得，与底面所成角为， 在中，，， 故与底面所成角为. 【小问2详解】 四棱柱为正四棱柱， ， ，， 设点A到平面的距离为，则， 即，解得：， 所以点A到平面的距离为. 18. 已知直线是函数的一条对称轴. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据给定的对称轴，结合正弦函数的图象与性质列式求解即得. （2）化简，再利用正弦函数的性质求出最值即可. 【小问1详解】 直线是函数的一条对称轴， 所以， 解得，由可得， 所以. 【小问2详解】 令，由， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，， 即在上的最大值为，最小值为. 19. 近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M，N两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据： 黄色蜂蜡罐 褐色蜂蜡罐 M品种蜜蜂 40 20 N品种蜜蜂 50 10 （1）判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？ （2）假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式：求解现从装有a只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B． （ⅰ）证明：； （ⅱ）研究发现，①M品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；M品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；②N品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；N品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为．请从M，N两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）选M品种，被抽到的概率为，选N品种，被抽到的概率为 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，与3.841比较即可得出结论； （2）（ⅰ）分别求出，，，，代入公式计算即可证明；（ⅱ）根据题意代入公式计算即可． 【小问1详解】 根据列联表得， 所以有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联． 【小问2详解】 由已知公式可得，，，，， 则 ，得证． （ⅱ）①选M品种，设选M品种蜜蜂被抽到为事件C， 由题意得, 故选M品种，被抽到的概率为． ②选N品种，令选N品种蜜蜂被抽到为事件D， 由题意， 故选N品种，被抽到的概率为． 20. 已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，结合题意列出方程组，解出的值，求得椭圆的方程. （2）（ⅰ）设出两点的坐标，进而求得中点的坐标，结合斜率公式和点差法计算证明结论. （ⅱ）设出的坐标，分别联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值. 【小问1详解】 根据椭圆的定义可知， 根据题意可得，解得，，， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）设，，因为M为AB中点，所以， 根据题意直线AB与OM的斜率都存在， 所以直线AB与OM的斜率乘积为， 因A，B在椭圆上，所以，， 两式相减可得， 化简得，可得， 因此直线AB与OM斜率乘积为． （ⅱ）设，，，由（1）可知，， 因为点P在椭圆上，所以， 由题意PA：，PB：， 将直线PA与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 同理，将直线PB与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 所以OP的斜率为，的斜率为， 故， 因为点P在第一象限内，故，， 的最大值为，当且仅当在处取到等号． 21. 设，. （1）求证：在上恒成立； （2）若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围； （3）设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造函数，通过导数法得到单调性，得到，从而得证； （2）设，利用导数的几何性质求出曲线在点处的切线的方程，由曲线在点处的切线与圆相切，则有圆心到切线方程的距离得到，令，由得到，解出，得到，利用二次函数的图像和性质得到实数的取值范围. （3）求出，通过讨论和得到点在曲线上，点在上，且，因此线段均在曲线下方，因为，所以直线与的交点都在轴的上方.构造函数，通过导数法得到单调性，从而得到的最小值为.讨论的最小值与的大小得解. 【小问1详解】 令，，，，在上为单调递增函数，， ，所以在上恒成立，即在上恒成立. 【小问2详解】 在曲线上，，，设， 不同于坐标原点，， ，，曲线在点处的切线的斜率为， 切线方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 曲线在点处的切线与圆相切， 圆心到切线方程的距离， 即， 令，，，，解得， 则，，时取最大值，且最大值为， ，，实数的取值范围. 【小问3详解】 ，， 当时，；当时，； 则点在曲线上，点在上， 当，，， ， 线段的方程为， 即， 在上任取一点， 设， ， ，，， ，， ，，，， 在上是单调递增函数， ， ， ， 线段均在曲线下方， ，直线与的交点都在轴的上方. 令，则， 当时，，则在上是单调递增函数， 当时，，则在上是单调递减函数， 当时，取最小值，且最小值为. 当时，，故，即直线在曲线上方，与折线段无交点； 当时直线与曲线相切于点，与折线段无交点； 当时，，在范围内的根不影响交点个数， 故存在唯一使得. 当时，直线在曲线上方，与折线段无交点； 当时，在这段区间上只有有限条线段，交点个数有限. 综上，直线与的交点不可能有无穷多个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $