上海华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

华二附中高三开学考数学试卷 2026.03 一．填空题 1. 已知集合，，则______． 2. 函数的最小正周期为______． 3. 样本数据5，6，8，11，5的方差为______. 4 若事件、互斥，且，，则___________ 5. 已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 6. 圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________． 7. 二项式展开式中的系数为______． 8. 已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______． 9. 已知函数的部分图象如图所示，其中阴影部分的面积为，则不等式的解集为______． 10. 已知，若在上是严格增函数，则的取值范围是___________ 11. 若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m 12. 已知是公差不为0的无穷等差数列．若对于中任意两项，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质．若，则具有性质的数列的个数是___________ 二．选择题 13. 已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数为图像的对称中心，是该图像上相邻的最高点和最低点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的对称轴方程为 B. 的图像关于轴对称 C. 函数在区间上严格增函数 D. 若函数在区间内有5个零点，则在此区间内有且只有2个极小值点 16. 设是两个非零向量的夹角，若对任意实数t，的最小值为1．命题p：若确定，则唯一确定；命题q：若确定，则唯一确定．下列说法正确的是（ ） A. 命题p是真命题，命题q是假命题 B. 命题p是假命题，命题q是真命题 C. 命题p和命题q都是真命题 D. 命题p和命题q都是假命题 三．解答题 17. 如图，在正四棱柱中，，． （1）求与底面所成角； （2）求点A到平面的距离 18. 已知直线是函数一条对称轴. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在上的最大值和最小值. 19. 近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M，N两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据： 黄色蜂蜡罐 褐色蜂蜡罐 M品种蜜蜂 40 20 N品种蜜蜂 50 10 （1）判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？ （2）假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式：求解现从装有a只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B． （ⅰ）证明：； （ⅱ）研究发现，①M品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；M品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；②N品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；N品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为．请从M，N两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 21. 设，. （1）求证：在上恒成立； （2）若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围； （3）设，点在函数图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 华二附中高三开学考数学试卷 2026.03 一．填空题 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】## 【3题答案】 【答案】5.2 【4题答案】 【答案】## 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】7 【8题答案】 【答案】2 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】16 二．选择题 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】B 三．解答题 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【19题答案】 【答案】（1）有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）选M品种，被抽到的概率为，选N品种，被抽到的概率为 【20题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【21题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $