精品解析：山东枣庄市滕州市北辛街道北辛中学2025-2026学年下学期九年级数学阶段学情自测试题

九年级数学 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列实数中，平方最大的数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下面图形中，中心对称图形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ） A. 我 B. 中 C. 国 D. 梦 4. 2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤=16两）．问玉、石各重多少？若设玉重两，石重两，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交边于，则（ ） A. B. C. D. 8. 某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________． 12. 因式分解：________． 13. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 14. 如图，已知内接于半径为1的，，则的面积的最大值为______． 15. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，则的长为_____． 16. 如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为_________． 三．解答题：本题共7小题，共72分． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为多少?将条形统计图补充完整； （2）请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角； （3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数． 19. 【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如Ⅲ-11①所示，它的侧面可视作如图②，为底板，为支撑杆，为电脑托板，分别可绕转动，测得，． 实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据，数学推算． 任务1：若，，求此时电脑托板最高点离底板的距离（精确到，）． 【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究． 任务2：陈老师工作时习惯于把电脑打开成大于角（如图③，）．现小甬同学为陈老师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕垂直于底板，量得，点到底板的距离是，问这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由．（参考数据：，，） 20. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 21. 如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． （1）求证：为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留） 22. 已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． （1）求a，c的值； （2）若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 23. 【问题解决】 （1）如图，在矩形中，点，分别在边上，，垂足点．求证：． 【拓展提升】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接，求证：． 类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列实数中，平方最大的数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可. 【详解】解：∵，，，， 而， ∴平方最大的数是3； 故选A 2. 下面图形中，中心对称图形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握概念是解题的关键．根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可求解． 【详解】解：第一个是中心对称图形，符合题意； 第二个是是中心对称图形，符合题意； 第三个是是中心对称图形，符合题意； 第四个不是中心对称图形，不符合题意； 所以符合题意的有3个． 故选：C． 3. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ） A. 我 B. 中 C. 国 D. 梦 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体表面展开图，根据特点作答即可． 【详解】A、“我”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； B、“中”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； C、“的”字一面的相对面上的字为“国”，不符合题意； D、“梦”字一面的相对面上的字为“我”或“中”，不符合题意； 故选：C． 4. 2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将374000000用科学记数法表示为． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数幂，根据相关运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 6. 《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤=16两）．问玉、石各重多少？若设玉重两，石重两，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识．根据石头总重及体积，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵石头总重11斤， ∴，即； ∵石头的体积为27立方寸， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：B． 7. 如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交边于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和与正多边形的性质，熟练掌握多边形的内角和与正多边形的性质是解题的关键．根据多边形的内角和与正多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：正六边形中， ，， 正方形中，， ， ， ． 故选A． 8. 某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种， ∴恰好选到同一种营养套餐的概率是． 故选：A． 9. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 10. 如图1，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故选：C． 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义得到求解，取恰当的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴使在实数范围内有意义的的值可以为； 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 14. 如图，已知内接于半径为1的，，则的面积的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理、解直角三角形是关键．作直线交于点H，交于点，当在位置时，的面积最大，进一步求解即可． 【详解】解：如图，作直线交于点H，交于点， 由题意可知，当在位置时，的面积最大， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，连接，根据旋转的性质推出，再根据勾股定理求出的长，最后在等腰直角三角形中解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接交于．求解，，，，设运动时间为，则，，证明，可得，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，证明在上，且在弧上，再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：如图，∵在菱形中，，对角线，连接交于． ∴，，，， ∵设运动时间为，则，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ∴，，， ∴， ∴在上，且在弧上， ∴在此过程中，点P的运动路径长为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的确定，三角函数的应用，弧长的计算，证明在上，且在弧上是解本题的关键. 三．解答题：本题共7小题，共72分． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算、分式的运算： （1）根据求算术平方根和负整数指数幂、有理数的减法的运算法则计算即可； （2）先通分，然后求解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 将代入，得 原式 18. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为多少?将条形统计图补充完整； （2）请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角； （3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数． 【答案】（1）参加调查的总人数为180人，补充条形统计图见解析 （2） （3）500人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握由样本百分比估算总体数量的方法，圆心角的计算方法是解题的关键． （1）根据C组人数与占比计算求解调查总人数，由此得到B组人数，即可补全条形图； （2）根据圆心角的计算方法求解即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可求解． 【小问1详解】 解：调查总人数为：（人）； 选择B人数为：（人）； 答：参加调查的总人数为180人， 补全条形图如下， 【小问2详解】 解：， 答：B部分扇形所对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：若该校共有3600名学生估计选择D小组的学生人数为500人． 19. 【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如Ⅲ-11①所示，它的侧面可视作如图②，为底板，为支撑杆，为电脑托板，分别可绕转动，测得，． 实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据，数学推算． 任务1：若，，求此时电脑托板的最高点离底板的距离（精确到，）． 【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究． 任务2：陈老师工作时习惯于把电脑打开成大于角（如图③，）．现小甬同学为陈老师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕垂直于底板，量得，点到底板的距离是，问这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由．（参考数据：，，） 【答案】任务1：点离底板的距离约为；任务2：不符合陈老师的工作习惯，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、三角形的外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 任务1：过作于，过作于，过作于，在中，解直角三角形得出的长，在中，解直角三角形得出的长，从而得出的长，即可得出答案； 任务2：延长交于，过作于，利用正弦的定义得出的度数，结合平行线的性质以及三角形外角的定义及性质得出的度数，即可得解． 【详解】解：任务1：如图①，过作于，过作于，过作于， 在中，． 在中，， ， 即点离底板的距离约为． 任务2：如图②，延长交于，过作于， 在中，，． ， ， ， 不符合陈老师的工作习惯． 20. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， 【小问2详解】 解：如图，设点，那么点， 由可得， 所以， 解得（舍）， ; 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 21. 如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． （1）求证：为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键． （1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果． （2）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：连接如图， 根据题意可知：， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∴， ∴为所在圆的切线． 【小问2详解】 过作于点， 由图可得：， 在中，，， ∴， ∴， 由题可知：扇形和扇形全等， ∴， 等边三角形的面积为：， ∴ 22. 已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． （1）求a，c的值； （2）若该二次函数最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①该二次函数的解析式为：；， ②存在，P点横坐标为：或或 【解析】 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当点P在点A右侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，， ∴点P横坐标为或； 当点P在点A左侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ∴点P横坐标为， 综上所述，P点横坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 23. 【问题解决】 （1）如图，在矩形中，点，分别在边上，，垂足为点．求证：． 【拓展提升】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接，求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $