第六章 变量之间的关系综合与实践2：制作万花筒 教案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第六章 变量之间的关系情境激趣:呈现两个生活场景,场景一:汽车以60km/h的速度行驶,提问:“汽车行驶的时间越长,行驶的路程会发生什么变化?” 场景二:一杯热水放在房间里,提问:“随着时间的推移,水的温度会如何变化?” 引导学生观察,发现“时间”“路程”“温度”这些量都在发生变化,且相互之间有联系。 2. 引出课题:结合学生的观察结果,明确本节课的学习内容——变量之间的关系,告知学生本节课将重点探究什么是变量、自变量、因变量,以及如何用不同方式表示变量之间的关系,激发学生的探究兴趣,让学生体会变量关系在生活中的广泛存在。 二、探究新知(20分钟) (一)变量、自变量、因变量的概念 1. 实例探究:以“汽车行驶”为例,给出具体数据:行驶1小时,路程60km;行驶2小时,路程120km;行驶3小时,路程180km。引导学生分组讨论:“这里有哪些量在变化?哪些量是固定不变的?” 给学生3分钟时间交流讨论,梳理量的变化特点。 2. 概念讲解:结合学生的探究结果,明确相关概念:在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量(如汽车行驶速度60km/h是常量)。在两个变量中,主动变化的量叫做自变量(如行驶时间),随着自变量的变化而变化的量叫做因变量(如行驶路程)。强调:自变量和因变量是相对的,需结合具体变化过程判断,补充实例(如热水降温中,时间是自变量,温度是因变量),纠正“常量与变量混淆”的易错认知。 3. 即时练习:让学生列举生活中变量之间的关系,指出其中的自变量、因变量和常量,同桌之间相互判断,教师巡视指导,强化概念记忆。 (二)用表格表示变量之间的关系 1. 情境引导:展示“某地区某天的气温变化表”,表格中包含时间(时)和气温( )两组数据,提问:“表格中记录了哪些变量?如何根据表格中的数据判断气温随时间的变化规律?” 引导学生发现表格能清晰呈现两个变量的对应关系。 2. 方法讲解:明确用表格表示变量关系的特点——直观、清晰,能直接找到自变量与因变量的对应值。结合气温变化表,引导学生分析:当时间(自变量)变化时,气温(因变量)如何变化,学会从表格中提取信息、分析规律,如“上午6时到14时,气温随时间增加而升高”。补充说明:表格表示时,需明确自变量和因变量的对应关系,数据要准确。 (三)用关系式表示变量之间的关系 1. 动手推导:结合“汽车行驶”实例,引导学生思考:“路程、速度、时间之间的关系是什么?” 学生回答后,推导关系式:路程s = 速度v 时间t,其中v=60km/h(常量),t是自变量,s是因变量,即s=60t。给学生5分钟时间,尝试根据关系式计算不同时间对应的路程,小组交流计算结果。 2. 方法总结:明确用关系式表示变量关系的特点——简洁、严谨,能准确反映两个变量之间的内在联系。强调:关系式中,自变量的取值要符合实际意义(如时间不能为负数),学会根据关系式求因变量的值,或根据因变量的值求自变量的值,重点掌握关系式的书写规范和应用方法。 三、巩固练习(15分钟) 1. 基础题(7分钟):给出题目让学生完成:① 判断下列变化过程中的自变量、因变量和常量:a. 购买单价为5元的笔记本,购买的数量与总价;b. 圆柱的高固定,底面半径与体积。② 已知某商品的单价为8元,填写购买数量(1-5件)与总价的表格。③ 已知关系式y=2x+3,求x=1、2、3时对应的y值。学生独立完成,教师巡视,针对“自变量与因变量判断错误”“关系式应用不当”等易错点进行集中讲解。 2. 提升题(5分钟):设计综合性题目,如“一个长方形的长为10cm,宽为x cm,面积为y cm ,写出y与x之间的关系式;若宽为5cm,求面积;若面积为80cm ,求宽”,培养学生的分析和计算能力,小组讨论后派代表发言,教师点评并强调关系式的应用技巧。 3. 拓展题(3分钟):提问:“除了表格和关系式,我们还可以用什么方式表示变量之间的关系?(如折线图)” 引导学生初步思考图形表示法,展示简单的折线图(如气温变化折线图),让学生直观感受不同表示方法的特点,为后续学习铺垫。 四、课堂小结与作业布置(5分钟) 1. 小结:引导学生自主梳理本节课知识点,提问:“本节课我们学习了哪些内容?变量、自变量、因变量的定义是什么?表示变量之间关系的方法有哪些?” 学生回答后,教师总结,强调重点:区分自变量、因变量和常量,掌握表格和关系式两种表示方法,理解变量之间的相互依存关系。 2. 作业布置:布置基础作业,让学生完成教材对应练习题,巩固变量概念和两种表示方法;布置拓展作业,让学生回家观察生活中一个变量变化的场景,记录相关数据,用表格或关系式表示出变量之间的关系,将理论知识与生活实际结合。 整个教学过程注重实例分析和动手练习,结合生活场景降低变量知识的抽象性,逐步培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力,引导学生主动探究、积极思考,确保学生掌握核心知识点,达成教学目标。 综合与实践:制作万花筒 1.了解万花筒的基本结构成像原理,观察万花筒中的图案,理解“镜子门”张角大小对成像完整度的影响,并能用数学方法进行分析. 2.掌握制作万花筒的步骤和方法,提高动手实践能力. 3.通过观察、分析万花筒的结构,培养学生的观察能力和逻辑思维能力;在制作过程中,锻炼学生解决实际问题的能力和团队协作能力. 重点:万花筒的制作与成像原理. 难点:理解“镜子门”张角大小对成像完整度的影响,理解万花筒成像的复杂规律. 一、导入新课 知识链接 课上展示一个万花筒,让学生观察并描述看到的景象.万花筒为什么能呈现出如此美丽而多变的图案呢? 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究一:万花筒“镜子门”张角的大小对成像完整的影响 课前展示的万花筒,随着转动万花筒的筒身,碎玻璃渣的流动随机变化出千奇百怪的美丽花型,所以顾名思义叫作万花筒.让我们来制作一个万花筒. 问题:制作万花筒需要准备哪些材料? 卷纸筒、一个三棱镜或者三条玻璃片、彩色纸屑、卡纸、剪刀、胶带. 活动1:在制作万花筒时,如果用不同的平面镜去组装,那么万花筒中看到的像有时会不完整.怎样才能保证万花筒中的像都是完整的“花”呢?为此,可以先将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”,通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响,进而寻找万花筒成像完整的方法. 实施方案(见教材P171-172) 小组合作进行实验,探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响,并填写下面的实验报告. 实验目的:探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响. 实验器材:几面同样大小的平面镜,胶带,剪刀,印有不同图片的纸张. 操作要点:实验操作要注意安全,观察点应处于“镜子门”的中间位置. 实验过程: (1)如图①、图②、图③,把一个正方形图片放在“镜子门”中间,转动“镜子门”,改变其张角的大小,观察“镜子门”的成像情况.可以发现:当“镜子门”张角为90 时(如图②),正方形图片与它在镜中的像共同组成了如图④所示的图形,此时镜子中的像是完整的;而图①、图③镜子中的像是不完整的.请说明为什么会这样. 万花筒中的图像,在“镜子门”的图案是对称的,只有一个图案是真实的,其他图案是镜子反射出来的. 总体图像是一个花样的再复制,随着镜子门张角的变化,镜像的位置随之改变. (2)将“镜子门”垂直放在图⑤上,调整“镜子门”的位置和张角,使镜前的图形与镜中的像共同组成如图⑥所示的图形.你们有几种操作方法? (小组合作,操作“镜子门”,试一试.) (3)如何用类似(2)的方式,使镜前的图形与镜中的像共同组成如图⑥所示的图形?先在图中画一画,再动手试一试. (4)改变图形形状,继续进行类似(2)(3)那样的实验.“镜子门”的张角满足怎样的条件时镜子中的像是完整的? (5)运用数学方法研究“镜子门”成像完整的方法. 思考:如果用三面镜制作“镜子门”,那么怎样制作才能使镜子中的像是完整的?先思考设计,再动手实验进行验证. 探究二:小组合作,制作万花筒 活动2:小组合作,设计制作万花筒的方案. 1.准备材料展示 向学生展示制作万花筒所需的材料,如塑料镜片、纸筒、彩色珠子或亮片、透明胶等. 2.制作步骤演示 ①制作镜筒:将塑料镜片用透明胶按照三棱柱的形状粘贴在纸筒内部,注意镜片的角度和光滑度. ②放入彩色碎屑:将彩色珠子或亮片放入镜筒底部. ③封闭镜筒:用不透明的纸或塑料片封住镜筒的一端,另一端装上观察口的镜片或透明塑料片. 如图所示: 要点归纳:万花筒成像原理:万花筒看起来很奇妙,实际上很简单,万花筒的原理就是利用组成等边三角形的镜面互相反射堆积在一角的碎彩色玻璃而形成规则的美丽图案. 如图,一个万花筒图案,其中平行四边形FJKG变成平行四边形FDAC,如果看成是经过以点F为旋转中心、旋转角为 的旋转移动得到的,那么 的度数为( B ) A.60 B.120 C.180 D.以上答案都不对 三、当堂检测 完成教材P173课后,评估反思与成果展示. (其他课堂拓展题,见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 制作万花筒 步骤要求:设计方案 实施方案 评价反思 成果展示. 通过本次综合与实践课程,学生不仅对图形的对称性有了更深入的理解,还提高了动手能力和合作能力.在教学过程中,要注意引导学生积极思考,发挥他们的创造力.同时,要关注学生在万花筒制作过程中遇到的问题,及时给予指导和帮助.生活处处都隐藏着数学知识,隐藏着美好,只要善于发现,就能看到. 学科网(北京)股份有限公司 $