精品解析：2026年江苏省南通市海门实验初级中学中考模拟试卷（一）

江苏省南通市海门区实验初级中学2026年中考模拟试卷（一）数学试题 考生在答题前请认真阅读本注意事项: 1． 本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2． 答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3． 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答是题一律无效． 4．作弊者，本试卷按 0 分处理． 5．在本试卷答题者，不计入成绩． 6．请考生如实填写自己的信息，不填、错填、漏填为无效试卷，按 0 分处理． 一．选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法：①同位角相等；②同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③与同一条直线垂直的两条直线也互相垂直；④若两个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；⑤一个角的补角一定大于这个角，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若，则a的值是（ ） A. 7 B. C. D. 4. 某同学打算制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，其方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．接着将用细线和铅锤做成的铅锤线顶端固定在量角器中心点处．现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时铅锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 6. 德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件，下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知是的直径．分别以，为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，两点．…若设长为2，则图中阴影部分的面积为（　　　） A. B. C. D. 7. 如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图是二次函数，，是常数，图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列结论：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确结论的个数为　　 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 如果，，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 10. 如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，于点，的角平分线交于点，弦，那么的面积是（ ） A. 80 B. 85 C. 90 D. 95 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 分解因式：_______________． 12. 有三个连续的正整数，n，，以n为边长作正方形，记其面积为；以，为长和宽作长方形，记其面积为，则______． 13. 在矩形内作正方形（如图所示），矩形的对角线交正方形的边于点P．如果点F恰好是边的黄金分割点，且，那么_________． 14. 如图，，均是等腰直角三角形，点P，Q均在函数的图象上，直角顶点A，B均在x轴上，则点B的坐标为________． 15. 如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 16. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，若，则_________． 17. 已知a＞0，＜0，化简=_____________________． 18. 已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为___________． 三．解答题（共7小题，共96分） 19. 计算： （1） （2）若整数使得关于的不等式组有且仅有个整数解，且使关于的一元一次方程的解满足．求整数所有可能的值． （3）先化简，再求值：，其中整数满足． 20. 在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y. （1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果； （2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数的图象上的概率； （3）求小明、小华各取一次小球所确定的数x、y满足的概率. 21. 如图，一次函数y1＝﹣x+的图象与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点，已知△AOC的面积为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求A、B的坐标并根据图象，直接写出当y1＞y2时，x的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点” （1）点的“长距”等于___________，点的“长距”等于___________． （2）若两点为“等距点”，求k的值． 23. 综合探究 如图所示，为的直径， 为上的两点，且 为的中点，弦 相交于点． （1）求证: ； （2）若、 ，求的长 (结果用表示)； （3）过点作的切线，交的延长线于点 ，若 求的长． 24. 如图，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点是线段上的动点（与端点、不重合），过点作直线交折线于点． （1）记的面积为，求与的函数关系式； （2）当点在线段上时，若矩形关于直线的对称图形为四边形，，试探究四边形与矩形的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由． 25. 如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为． （1）求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围． （2）当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度) （3）如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得? 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 26. 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边． 例如：若△ABC中，∠A＝2∠B，则△ABC为以边AB为底边的倍角三角形． （1）已知△ABC为倍角三角形，且． ①如图1，若BD为△ABC的角平分线，则图中相等的线段有______，图中相似三角形有______； ②如图2，若AC的中垂线交边BC于点E，连接AE，则图中等腰三角形有______． 问题解决 （2）如图3，现有一块梯形板材ABCD，，∠A＝90°，AB＝48，BC＝132，AD＝68．工人师傅想用这块板材裁出一个△BCP型部件，使得点P在梯形ABCD的边上，且△BCP为以BC为底边的倍角三角形．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①作BC的中垂线l交BC于点E； ②在BC上方的直线l上截取EF＝33，连接CF并延长，交AD于点P； ③连接BP，得△BCP． 1）请问，若按上述作法，裁得的△BCP型部件是否符合要求？请证明你的想法． 2）是否存在其它满足要求的△BCP？若存在，请画出图形并求出CP的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市海门区实验初级中学2026年中考模拟试卷（一）数学试题 考生在答题前请认真阅读本注意事项: 1． 本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2． 答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3． 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答是题一律无效． 4．作弊者，本试卷按 0 分处理． 5．在本试卷答题者，不计入成绩． 6．请考生如实填写自己的信息，不填、错填、漏填为无效试卷，按 0 分处理． 一．选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解，解题的关键是注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等式号方向要改变．依次移项、合并同类项可得不等式的解集，从而得出答案． 【详解】解：移项，得：， 合并同类项，得：， 故选：A． 2. 下列说法：①同位角相等；②同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③与同一条直线垂直的两条直线也互相垂直；④若两个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；⑤一个角的补角一定大于这个角，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要参考了平行线的性质、同位角的概念、余角补角的概念，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交(重合除外)． 依据平行线的性质、同位角的概念、余角补角的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：①同位角不一定相等，故说法①错误； ②同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故说法②正确； ③同一平面内，与同一条直线垂直的两条直线互相平行，故说法③错误； ④若两个角的两边互相平行，则这两个角一定相等或互补，故说法④错误； ⑤一个角的补角不一定大于这个角，故说法⑤错误； 故选：A． 3. 若，则a的值是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由绝对值的定义确定a的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键，正数或0的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数即可求解． 4. 某同学打算制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，其方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．接着将用细线和铅锤做成的铅锤线顶端固定在量角器中心点处．现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时铅锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 5. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项． 【详解】解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC， 由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形； C选项添加OA=OC， 由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD， ∵OA=OC， ∴BD也垂直平分AC， ∴AB=BC， ∴AB=AD=BC=DC， 所以四边形ABCD是菱形； D选项添加“ ∠ABC=∠BCD=90° ， 由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， 由AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通． 6. 德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件，下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知是的直径．分别以，为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，两点．…若设长为2，则图中阴影部分的面积为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作法得到BC=BA=AC=BD=AD，则△ACB和△ADB都是等边三角形，所以∠ABC=∠ABD=60°，然后根据扇形的面积公式求出扇形面积，再减去三角形的面积求出弓形的面积再减圆的面积可求出阴影的面积． 【详解】解：连接AC、BC、DA、DB，如图， 由作法得BC=BA=AC=BD=AD=2， ∴△ACB和△ADB都是等边三角形， ∴∠ABC=∠ABD=60°， ∴∠CAD=120°， ∴S扇形CAD == ∴S△CAD == ∴S阴影 =2（S扇形CAD - S△CAD -S圆）=2（--） =-2- = 故选A． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式． 7. 如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 8. 如图是二次函数，，是常数，图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列结论：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确结论的个数为　　 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判定与0的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，． 【详解】解：①对称轴在轴右侧， ． 、异号， ，故①正确； ②对称轴， ； 故②正确； ③， ， 当时，， ， 故③错误； ④根据图示知，当时，有最大值； 又当时，， 当时，有， 当时，， ， ， 为实数）． 故④正确． ⑤观察图象可得：当时，也可能等于0或小于0． 故⑤错误． 综上，正确的序号有：①②④，有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于． 9. 如果，，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 10. 如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，于点，的角平分线交于点，弦，那么的面积是（ ） A. 80 B. 85 C. 90 D. 95 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理．连接，过点作，垂足为，利用等角的余角相等可得，再利用等腰三角形的性质以及等量代换可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用等式的性质可得，进而可得，最后在中，求出，的长，再在中，利用等腰直角三角形的性质求出的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：连接，过点作，垂足为， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，，，， ， 在中，， ， ， ， 的面积 ， 故选：B． 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 分解因式：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】观察原式结构，可将其转化为平方差的形式，再利用平方差公式进行因式分解，最后化简括号内的整式即可． 【详解】解： ． 12. 有三个连续的正整数，n，，以n为边长作正方形，记其面积为；以，为长和宽作长方形，记其面积为，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意表示正方形和长方形的面积，然后根据整式的混合运算求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解决本题的关键是掌握整式的混合运算法则． 13. 在矩形内作正方形（如图所示），矩形的对角线交正方形的边于点P．如果点F恰好是边的黄金分割点，且，那么_________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合已知条件易证得，，则，根据点F恰好是边的黄金分割点可得，求解即可． 【详解】∵四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点F恰好是边的黄金分割点，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，黄金分割，熟练掌握黄金分割比的值是解题的关键． 14. 如图，，均是等腰直角三角形，点P，Q均在函数的图象上，直角顶点A，B均在x轴上，则点B的坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合问题．若是等腰直角三角形，那么，设，则，由题意得，求得，同理求得，，即可得出B点的坐标． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得或(舍去) ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， 解得：(负值舍去)， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 【答案】 【解析】 【分析】设尺，可得尺，尺，再由和可得，即得，得到，最后代入解答即可求解． 【详解】解：由题意可得，尺，， 设尺， ∵尺，尺， ∴尺，尺， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴尺． 16. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，若，则_________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；由矩形的性质及勾股定理求得，再由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，,， 由勾股定理得：， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴, 故答案为：2.5． 17. 已知a＞0，＜0，化简=_____________________． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知确定出b<0，继而得出a-b+1＞0，b-a-4＜0，再根据二次根式的性质进行化简即可得. 【详解】∵a＞0，＜0， ∴b＜0， ∴a-b+1＞0，b-a-4＜0， ∴ =a+4-b-（a-b+1） =3， 故答案为3. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简=，确定出a-b+1＞0，b-a-4＜0是解题的关键. 18. 已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】设出、两点的坐标，并表示出三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值． 【详解】解：如图： 设点，， 则：直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， ， 过点分别作轴垂线，交轴于点， ∴， ∴， ∴， ， ， 则直线的表达式为：， 直线必过点， 当与轴平行时，边上的高有最大值，为． 三．解答题（共7小题，共96分） 19. 计算： （1） （2）若整数使得关于的不等式组有且仅有个整数解，且使关于的一元一次方程的解满足．求整数所有可能的值． （3）先化简，再求值：，其中整数满足． 【答案】（1） （2），，，， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有且仅有个整数解， ∴， 解得， ，得， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴整数所有可能的值为，，，，； 【小问3详解】 解：原式 ， ∵整数满足，且，，， ∴或， 当时，原式； 当时，原式． 20. 在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y. （1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果； （2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数的图象上的概率； （3）求小明、小华各取一次小球所确定的数x、y满足的概率. 【答案】 （1）（x，y）的所有可能出现的结果如下表 1 2 3 4 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) （2）P=； （3）P=． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出表格即可； （2）找到点（x，y）落在反比例函数的图象上的坐标个数，再利用概率公式求解； （3）根据xy＜4求出可能的情况即可用概率公式求解. 【详解】（1）略 （2）依题意得P= （3）依题意得P= 【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意把所有的可能情况列出表格. 21. 如图，一次函数y1＝﹣x+的图象与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点，已知△AOC的面积为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求A、B的坐标并根据图象，直接写出当y1＞y2时，x的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣ （2）x＜﹣或0＜x＜2 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得； （2）解析式联立，解方程组即可求得A、B的坐标，然后根据函数的图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵△AOC的面积为． ∴|k|＝， ∴|k|＝3, ∵在第二象限， ∴k＝﹣3, ∴反比例函数为y＝﹣； 【小问2详解】 解 得或 ∴A(﹣,2),B(2,﹣), 观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围x＜﹣或0＜x＜2． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，解一元二次方程，待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点” （1）点的“长距”等于___________，点的“长距”等于___________． （2）若两点为“等距点”，求k的值． 【答案】（1）3，7 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据定义分别求得点到轴的距离，B点到轴的距离，即可求解； （2）点到轴的距离为，到轴的距离为，点到轴的距离为，到轴的距离为6，根据定义可得出①；②，解绝对值方程得出合适的k值即可． 【小问1详解】 ∵点 ∴点到轴的距离为3，到轴的距离为2 点的“长距”为3； ∵点 ∴点B到轴的距离为5，到轴的距离为7 点的“长距”为7； 故答案为：3，7． 【小问2详解】 ∵ ∴点到轴的距离为，到轴的距离为，点到轴的距离为，到轴的距离为6， ∵两点为“等距点”，分以下情形， ①根据定义可得 或 解得或（舍） ②根据定义可得 即或 解得或（舍） 综上所述，或． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，绝对值方程，理解定义，分类讨论是解题的关键． 23. 综合探究 如图所示，为的直径， 为上的两点，且 为的中点，弦 相交于点． （1）求证: ； （2）若、 ，求的长 (结果用表示)； （3）过点作的切线，交的延长线于点 ，若 求的长． 【答案】（1） 证明：∵点为的中点， ∴， ∴（等弧所对的圆周角相等 ）， 又∵（公共角）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）； （2）的长； （3） 【解析】 【分析】（）根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可得证； （）根据已知得半径为，由求出，结合是中点推出对应的圆心角为，最后用弧长公式计算出的长； （）先利用圆的切线性质得到垂直关系，再结合三角函数和勾股定理求出三角形的边长与圆的半径，接着通过角的关系证明三角形相似得到比例关系，最后设未知数建立方程并求解，舍去不合题意的解得到最终结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴所对的圆心角为 ∵， ∴半径， ∴的长； 【小问3详解】 解：如图： ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴， 解得：（舍去）， 即． 24. 如图，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点是线段上的动点（与端点、不重合），过点作直线交折线于点． （1）记的面积为，求与的函数关系式； （2）当点在线段上时，若矩形关于直线的对称图形为四边形，，试探究四边形与矩形的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由． 【答案】（1）； （2）矩形与矩形的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为． 【解析】 【分析】（1）要表示出的面积，要分两种情况讨论，①如果点在边上，只需求出这个三角形的底边长点横坐标）和高点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点在边上，这时的面积可用长方形的面积减去、、的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在边上的线段长度是否变化． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，点、的坐标分别为、， ， 若直线经过点时，则； 若直线经过点时，则； 若直线经过点时，则． ①如图1，若直线与折线的交点在上时，即， 此时 ； ②如图2，若直线与折线的交点在上时，即， 此时，， ， 综上所述，； 【小问2详解】 解：如图3，设与相交于点，与相交于点，则矩形与矩形的重叠部分的面积即为四边形的面积． 由题意知，，， 四边形为平行四边形 根据轴对称知， 又， ， ， 平行四边形为菱形． 过点作，垂足为，设菱形的边长为， 由题意知，，， ，， ， 则在中，由勾股定理知：， ， ． 矩形与矩形的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为． 【点睛】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度． 25. 如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为． （1）求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围． （2）当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度) （3）如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得? 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为，直线的函数解析式为； （2）； （3）存在，点的坐标为； 【解析】 【分析】（）先根据抛物线顶点设出顶点式，代入原点求出抛物线解析式并确定其自变量取值范围；再将落点的横坐标代入抛物线解析式得到点坐标，最后将点坐标代入过原点的直线方程，求出直线解析式并确定其自变量取值范围； （）先由点的坐标求出到的距离，再结合已知时间算出平均速度，最后利用平均速度公式和速度关系式，逐步求出初速度与末速度； （）先假设存在满足的点，利用勾股定理列出方程；再设，代入坐标表示出和，通过换元法化简方程，求解后舍去不符合取值范围的解，最后将有效解代入抛物线解析式，得到点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线解析式： ∵小球能达到的最高点的坐标为， ∴设抛物线顶点式， 由图可知抛物线过原点，代入得， ∴， 令，则， 解得：， ∴自变量的取值范围：； 即：抛物线解析式为， 直线解析式： ∵小球在斜坡上的落点的横坐标为， 设点代入抛物线， 得：， ∴， 把点代入斜坡直线，得， ∴， ∴直线解析式为， ∴自变量的取值范围：， 即：直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（）得， ∴到的距离， ∵小球从点滑落到点需要秒， ∴平均速度， ∵与满足， 即， ∴， 即：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在点，使得， 则满足：， 设点的坐标为，（） ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， 整理，得， 令，则方程变为：， 去括号，合并同类项，得， 将代回，得， 整理，得， ，对应点，舍去； ，即：对应点，舍去； ，解得， 结合，， ∴代入抛物线解析式，得 ， ∴点的坐标为． 26. 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边． 例如：若△ABC中，∠A＝2∠B，则△ABC为以边AB为底边的倍角三角形． （1）已知△ABC为倍角三角形，且． ①如图1，若BD为△ABC的角平分线，则图中相等的线段有______，图中相似三角形有______； ②如图2，若AC的中垂线交边BC于点E，连接AE，则图中等腰三角形有______． 问题解决 （2）如图3，现有一块梯形板材ABCD，，∠A＝90°，AB＝48，BC＝132，AD＝68．工人师傅想用这块板材裁出一个△BCP型部件，使得点P在梯形ABCD的边上，且△BCP为以BC为底边的倍角三角形．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①作BC的中垂线l交BC于点E； ②在BC上方的直线l上截取EF＝33，连接CF并延长，交AD于点P； ③连接BP，得△BCP． 1）请问，若按上述作法，裁得的△BCP型部件是否符合要求？请证明你的想法． 2）是否存在其它满足要求的△BCP？若存在，请画出图形并求出CP的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①，和 ②， （2） (1）符合要求， 证明：延长交于，则四边形为矩形 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 作于 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴平分 ∴ ∵在的垂直平分线上 ∴ ∴ ∴ ∴符合要求 (2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料给出的定义结合已经学过的三角形的知识点，推到即可得出结论； （2）根据已知条件利用相似三角形即可得出①中的作法是符合条件的；第②小题根据已知条件画出图形，再根据图形得出结论． 【小问1详解】 解：①∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝2∠C ∴ ∴ ∴图中相等的线段有 ∵， ∴ ∴图中相似的三角形有：和 ②∵AC的中垂线交边BC于点E ∴ ∴是等腰三角形 ∵， ∴ ∴是等腰三角形 【小问2详解】 解：①略 ②存在， . I.若在上时，连接，如图所示， ∴， 取的中垂线交与，作于 ∴四边形为矩形 ∴，，，， ∴， 设，则 ∵ ∴由勾股定理 ∴ ∴ ∴ 在上取点，使，连接 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴在上所有点都满足 ∴不存在； II. 若在上时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴在上不存在其它满足要求的△BCP； III. 若在上时，如图所示，作的垂直平分线交于点、交于点，作的平分线交于点，连结并延长交于点，此时有， ∴△BCP是以BC为底边的倍角三角形， 作于点，连结、， ∵平分，，， ∴， 设，则，， 由得 ， 解得： 在中，, ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 由得 ， 解得， 【点睛】本题考查了角的倍数关系，角平分线的性质，相似三角形的判定等相关知识，明确题意根据已知条件画出图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $