板块一 函数与导数 二轮学前预备·激活基本知能-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略教师用书word

板块一　函数与导数 二轮学前预备·激活基本知能 一、由知识联系探析命题趋向 二、由核心纲要激活内存知识 1.函数的单调性 （1）一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D： ①如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2），那么就称函数f（x）在区间I上单调递增. ②如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），那么就称函数f（x）在区间I上单调递减. ③特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. （2）单调区间的定义：如果函数f（x）在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做y=f（x）的单调区间. （3）函数单调性的判断方法： ①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. 2.函数的奇偶性、周期性 （1）奇偶性：一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数；且f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数. （2）周期性：①周期函数：一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. 3.函数单调性和奇偶性的常用结论 （1）当f（x），g（x）同为增（减）函数时，f（x）+g（x）为增（减）函数. （2）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性； 偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性. （3）f（x）为奇函数⇔f（x）的图象关于原点对称； f（x）为偶函数⇔f（x）的图象关于y轴对称. （4）偶函数的和、差、积、商（分母不为零）是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商（分母不为零）是偶函数，奇函数与偶函数的积、商（分母不为零）是奇函数. （5）定义在（-∞，+∞）上的奇函数的图象必过原点，即有f（0）=0. 存在既是奇函数，又是偶函数的函数f（x）=0. （6）f（x）+f（-x）=0⇔f（x）为奇函数；f（x）-f（-x）=0⇔f（x）为偶函数. 4.函数的周期性的常用结论 （1）若f（x+a）=f（x-a），则函数的周期为2|a|. （2）若f（x+a）=-f（x），则函数的周期为2|a|. （3）若f（x+a）=，其中f（x）≠0，则函数的周期为2|a|. （4）若f（x+a）+f（x）=c（c为常数），则函数的周期为2|a|. 5.函数的对称性的常用结论 （1）f（a-x）=f（a+x）⇔f（x）的图象关于直线x=a对称. （2）f（a+x）=f（b-x）⇔f（x）的图象关于直线x=对称. （3）f（a+x）=2b-f（a-x）⇔f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称. 6.函数图象平移变换的相关结论 （1）把y=f（x）的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度（c>0时向左平移，c<0时向右平移）得到函数y=f（x+c）的图象（c为常数）. （2）把y=f（x）的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度（b>0时向上平移，b<0时向下平移）得到函数y=f（x）+b的图象（b为常数）. 7.函数图象伸缩变换的相关结论 （1）把y=f（x）的图象上各点的纵坐标伸长（a>1）或缩短（0<a<1）到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y=af（x）（a>0）的图象. （2）把y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长（0<b<1）或缩短（b>1）到原来的，而纵坐标不变，得到函数y=f（bx）（b>0）的图象. 8.函数零点 （1）函数零点的定义：对于一般函数y=f（x），把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点. （2）三个等价关系：方程f（x）=0有实数解⇔函数y=f（x）有零点⇔函数y=f（x）的图象与x轴有公共点. （3）函数零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的解. 9.指数函数与对数函数的基本性质 （1）过定点：y=ax（a>0，且a≠1）恒过点（0，1），y=logax（a>0，且a≠1）恒过点（1，0）. （2）单调性：当a>1时，y=ax在R上是增函数；y=logax在（0，+∞）上是增函数；当0<a<1时，y=ax在R上是减函数；y=logax在（0，+∞）上是减函数. 10.函数的单调性、极值及最值 （1）函数的单调性与导数的关系：在某个区间（a，b）内，如果f'（x）>0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内单调递增；在某个区间（a，b）内，如果f'（x）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内单调递减；如果恒有f'（x）=0，那么f（x）在区间（a，b）上是常数函数. （2）函数的极值： ①函数y=f（x）在点x=a处的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'（a）=0；而且在点x=a附近的左侧f'（x）<0，右侧f'（x）>0，则a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值. ②函数y=f（x）在点x=b处的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'（b）=0；而且在点x=b附近的左侧f'（x）>0，右侧f'（x）<0，则b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值. ③极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. （3）函数的最大（小）值： ①函数f（x）在区间[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. ②求y=f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：求函数y=f（x）在区间（a，b）上的极值；将函数y=f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $