板块二 习题讲评（一）三角函数的化简与求值-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略教师用书word

习题讲评（一）　三角函数的化简与求值 （1）三角函数的化简与求值是高考的命题热点，每年必考一道小题，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具. （2）三角恒等变换是利用三角恒等式（两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式）进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心. 教学点（一）　三角函数公式的基本应用 [例1]　（2025·全国Ⅱ卷）已知0<α<π，cos=，则sin= （　　） A. B. C. D. 解析：选D 法一　因为α∈（0，π），cos=， 所以cos α=2cos2-1=2×-1=-， sin α===， 故sin=sin αcos-cos αsin=×-×=. 法二　因为0<α<π，所以0<<. 又cos=，所以sin==. 故sin α=2sincos=2××=， cos α=cos2-sin2=-=-. 所以sin=sin αcos-cos αsin=×+×=，故选D. 法三　因为0<α<π，cos=， 所以0<α<，tan=2. 所以sin=（sin α-cos α） = =× =× =×=. 法四：估值法　因为cos=∈， 所以<<，所以<α-<， 所以sin>，排除A、B、C，故选D. 拓展延伸：利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化，利用=tan α可实现弦切互化. 教材溯源：（本题源自人教A版必修①P218例3） 已知sin α=-，α是第四象限角，求sin，cos，tan的值. [例2]　（2025·泰安模拟）若α∈，且5（1+cos 2α）-10sin 2α=3，则tan 2α= （　　） A.-7 B. C. D. 解析：选C　 ∵5（1+cos 2α）-10sin 2α=3， ∴（1+cos 2α）-sin 2α=， ∴cos2α-2sin αcos α=， ∴=⇒3tan2α+20tan α-7=0， ∴tan α=（舍去）或tan α=-7， ∴tan 2α===. |思|维|建|模| 已知部分角的三角函数值，求目标角的三角函数值的步骤 （1）确定目标角与已知角的关系：将目标角表示为已知角的和、差或倍角. （2）计算所需中间量：利用同角三角函数基本关系求未知三角函数值，注意角的范围对符号的影响. （3）代入适当的公式求解，避免展开时符号混淆. [即时训练] [练1]　（2025·自贡三模）已知sin（x-y）=cos（x+y），tan（x-y）=3，则tan xtan y= （　　） A. B.- C. D.- 解析：选B 根据题意可知cos xcos y≠0，因为sin（x-y）=cos（x+y），所以sin xcos y-cos xsin y=cos xcos y-sin xsin y，整理得sin x（cos y+sin y）=cos x（sin y+cos y），等式两边同除cos xcos y得tan x（1+tan y）=tan y+1，即tan x-tan y=1-tan xtan y.又因为tan（x-y）=3，所以==3，解得tan xtan y=-，故选B. 拓展延伸：两角和与差的公式的常用变形 （1）sin αsin β+cos（α+β）=cos αcos β. （2）cos αsin β+sin（α-β）=sin αcos β. （3）tan α±tan β=tan（α±β）（1∓tan αtan β）. （4）tan αtan β=1-=-1. [练2]　（2025·青岛模拟）已知sin 2α=2sin 2β，cos 2α=4sin2β，则cos（2α+β）= （　　） A.0 B. C.1 D. 解析：选A　 依题意sin 2α=2sin 2β，cos 2α=4sin2β，若sin β=0，则cos 2α=0，而sin 2α=2sin 2β=4sin βcos β=0，与sin22α+cos22α=1矛盾，得到sin β≠0，cos 2α≠0，所以===，则cos 2αcos β-sin 2αsin β=0，即cos（2α+β）=0，故A正确. 教学点（二）　变换求值 [例1]　（2025·郴州三模）已知α+β=，sin 2α+sin 2β=，则cos 2α+cos 2β= （　　） A.± B. C.- D. 解析：选C 法一　sin 2α+sin 2β=sin[（α+β）+（α-β）]+sin[（α+β）-（α-β）]=2sin（α+β）cos（α-β）=. 由α+β=，得sin（α+β）=，则cos（α-β）=， cos 2α+cos 2β=cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]=2cos（α+β）cos（α-β）=2××=-. 法二　因为sin 2α+sin 2β=2sin（α+β）cos（α-β） =2sincos（α-β）=cos（α-β）=， 所以cos 2α+cos 2β=2cos（α+β）cos（α-β）=-cos（α-β）=-. 拓展延伸： 1.积化和差公式 （1）cos αcos β=[cos（α+β）+cos（α-β）]； （2）sin αsin β=-[cos（α+β）-cos（α-β）]； （3）sin αcos β=[sin（α+β）+sin（α-β）]； （4）cos αsin β=[sin（α+β）-sin（α-β）]. 2.和差化积公式 （1）sin θ+sin φ=2sincos； （2）sin θ-sin φ=2cossin； （3）cos θ+cos φ=2coscos； （4）cos θ-cos φ=-2sinsin. [例2]　已知-=4，则λ= （　　） A.1 B. C. D.2 解析：选C　 由-=4，得λ=-4cos 10°== = ====，故选C. 拓展延伸：三角恒等变换常用方法 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如：1=sin2x+cos2x=tan等. （2）降幂扩角：sin θcos θ=sin 2θ， sin2θ=，cos2θ=等. （3）升幂缩角：1+cos θ=2cos2， 1-cos θ=2sin2等. |思|维|建|模| （1）“变角”在三角函数求值中起着关键作用，即把所求角用含已知角的式子表示，如α=（α+β）-β，2α=α+β+（α-β），+α=-，求角时注意对角的范围的讨论. （2）注意下列变换：sin 2x=cos=-cos，cos 2x=sin=sin的应用，以上变换结合二倍角公式可将2x的三角函数与±x的三角函数联系在一起. [即时训练] [练1]　（2025·丰台二模）已知cos=cos，则tan α= （　　） A. B. C. D. 解析：选A　 因为cos=cos，所以cos=cos， 即sin=cos， 所以tan=， 则tan α=tan==. [练2]　（2025·蚌埠三模）已知cos=，θ∈，则sin= （　　） A.- B. C.- D. 解析：选D　 因为 θ∈，所以θ+∈.因为cos=，所以sin===，所以sin=sin=sin=cos=cos=cos=coscos-sinsin=×-×=. 教学点（三）　三角恒等变换的综合应用 [例1]　（2025·荆州模拟）已知△ABC的两个内角A，B（A≠B）都是关于x的方程cos 2x+2mcos x+2m2-=0的解，其中-1<m<-，则C= （　　） A. B. C. D. 解析：选B 思维路径：由题意cos2x+mcos x+m2-=0，进一步cos A+cos B=-m，cos Acos B=m2-，进一步结合三角恒等变换即可求解. 因为cos 2x=2cos2x-1，所以方程可化为cos2x+mcos x+m2-=0. 又根据题意及根与系数的关系有cos A+cos B=-m，cos Acos B=m2-， 则（cos A+cos B）2=（-m）2，整理可得cos2A+cos2B=-m2. 因为|sin Asin B|= = ==|m2-|， 又-1<m<-，所以sin Asin B=m2-，所以在△ABC中，cos C=cos（π-A-B）=-cos（A+B）=-cos Acos B+sin Asin B=m2--=，则C=. [例2]　（2025·长春模拟）已知C为锐角，若存在△ABC，使得tan A+tan B=tan C，则tan C的取值范围是　　　　.  思维路径：由tan C=-tan（A+B）及和角的正切公式得tan Atan B=2，再结合tan A+tan B=tan C，将问题转化为tan C=x+在（0，+∞）上有解，即可求取值范围. 解析：由tan C=-tan（A+B）知tan A+tan B=-，故tan Atan B=2，于是tan C=tan A+，由tan C>0，知tan A>0. 存在△ABC使tan A+tan B=tan C等价于关于x的方程tan C=x+在（0，+∞）上有解，因为x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，所以tan C的取值范围是[2，+∞）. 答案：[2，+∞） |思|维|建|模| 三角恒等变换中的范围与最值一般有两类 第一类是利用三角函数的性质求出函数的最值； 第二类是利用基本不等式、求导等方法求出最值. [即时训练] [练1]　（2025·哈尔滨模拟）已知函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）为奇函数，则y=|f（x）|在上的最大值为 （　　） A. B. C.+1 D. 解析：选D 由题意得f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2=2sin.因为f（x）为奇函数，所以φ=-+kπ，k∈Z.所以f（x）=2sin（2x+kπ），k∈Z.当x∈时，2x+kπ∈，k∈Z，所以|sin（2x+kπ）|∈，所以f（x）的最大值为2sin=2sin=2××+2××=. [练2]　（2025·许昌模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=，则tan B+tan C的最小值是 （　　） A. B. C. D.3 解析：选C 思维路径：利用正弦定理化边为角，通过三角公式推出tan Atan B=9，再将tan B+tan C转化，借助基本不等式求最小值. 因为+=，由正弦定理得+=，所以tan A+tan B=8tan C.又C=π-（A+B），所以tan A+tan B=-，所以1=，即tan Atan B=9.所以tan A=，tan C=（tan A+tan B）=，显然tan B必为正，否则tan B和tan C都为负，为两个钝角，所以tan B+tan C=tan B+=tan B+≥2=，当且仅当tan B=，即tan B=1，B=时取等号，所以tan B+tan C的最小值是. [课时验收评价] 一、单项选择题 1.（2025·张家口二模）已知2tan θ-1=0，则= （　　） A. B.- C. D.- 解析：选D 由题意可得tan θ=，则===-. 2.（2025·白银一模）已知cos=，则sin= （　　） A. B.- C. D.- 解析：选D 思维路径：注意已知角α-与未知角2α+的关系：2α+=2+. sin=cos=cos=cos=2cos2-1=2×-1=-. 3.已知tan α=e，则= （　　） A.- B. C.- D. 解析：选A　 因为tan α=e，且0<α<，所以==e，解得cos α=，所以==-2cos α=-. 4.已知tan α，tan β是方程x2-4x-3=0的两根，且α，β∈，则α+β的值为 （　　） A. B. C. D. 解析：选C 由题意， 则tan（α+β）===1，因为α，β∈，则π<α+β<2π，所以α+β=. 5.（2025·邯郸二模）利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°之间的三角函数值，下表是部分5°的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则sin 2 200°= （　　） α 5° 15° 25° 35° tan α m n p q A. B. C. D. 解析：选A sin 2 200°=sin（6×360°+40°）=sin 40°=cos 50°===. 6.（2025·福州模拟）已知α，β，γ∈，α+β+γ=π，tan γ=，则tan αtan β的最小值为 （　　） A.3 B.5 C.9 D.25 解析：选C　 依题意，tan（α+β）=tan（π-γ）=-tan γ=-，即=-，则（tan αtan β-1）=tan α+tan β≥2，当且仅当tan α=tan β时取等号，因此3（）2-8-3≥0，解得tan αtan β≥9，所以当tan α=tan β=3时，tan αtan β取得最小值9. 7.（2025·潍坊二模）已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，其终边与圆O交于点A（3，4）.若角α终边沿逆时针方向旋转角θ，交圆O于点B，则角θ可能为 （　　） A.75° B.105° C.375° D.405° 解析：选D 因为角α的终边与圆O交于点A（3，4），所以由任意角三角函数定义得cos α=，sin α=，设旋转后的角为β，且旋转后的角交圆O于点B，则由任意三角函数的定义得cos β=-，sin β=，得到sin θ=sin（β-α）=×-×==，cos θ=cos（β-α）=×+×==，故θ=45°+2k·180°，k∈Z，当k=1时，θ=405°，故D正确. 8.（2025·合肥模拟）已知α，β为锐角，sin α=，sin（α-β）=，则tan（2α-β）的值为 （　　） A. B. C.1 D.- 解析：选C　 因为α为锐角，sin α=，所以由sin2α+cos2α=1，可得cos α==.又α，β为锐角，则-<α-β<，由sin（α-β）=，得cos（α-β）==.因为sin（2α-β）=sin（α+α-β）=sin αcos（α-β）+cos αsin（α-β） （将2α-β表示成α+（α-β）是解题的突破口） =×+×=，同理cos（2α-β）=cos（α+α-β）=cos αcos（α-β）-sin αsin（α-β）=×-×=，所以tan（2α-β）==1.故选C. 二、多项选择题 9.（2025·长沙二模）已知sin β+cos β=，β∈（0，π），则下列各式正确的有 （　　） A.sin 2β=- B.sin β-cos β=± C.cos 2β= D.tan β=- 解析：选AD 由已知得sin2β+cos2β+2sin βcos β=，因此sin 2β=2sin βcos β=-，故A正确；因为sin βcos β<0，且β∈（0，π），所以β∈， （注意根据三角函数值的符号缩小角的范围） 因此sin β-cos β>0.又因为（sin β-cos β）2=1-2sin βcos β=，因此sin β-cos β=，故B错误；cos 2β=cos2β-sin2β=（cos β-sin β）（cos β+sin β）=-，故C错误；由方程组解得于是tan β=-，故D正确. 习得方略：sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α之间的关系： （sin α+cos α）2=1+2sin αcos α；（sin α-cos α）2=1-2sin αcos α；（sin α+cos α）2+（sin α-cos α）2=2.由以上关系，可知对于sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α，可“知一求二”，也就是已知这三个三角函数式中任意一个式子的值，就能求其他两个三角函数式的值.同时注意“1”的代换. 10.下列式子化简后等于sin α的是 （　　） A. B.4sincoscos C. D. 解析：选ABC 对于A，==sin α，故A正确；对于B，4sincoscos=2sincos=sin α，故B正确；对于C，===sin α，故C正确；对于D，===tan α≠sin α，故D错误.故选ABC. 11.已知α，β，γ∈，sin β+sin γ=sin α，cos α+cos γ=cos β，则下列说法正确的是 （　　） A.cos（β-α）= B.cos（β-α）=- C.β-α= D.β-α=- 解析：选AD 由已知可得所以1=sin2γ+cos2γ=（sin α-sin β）2+（cos β-cos α）2=2-2（cos βcos α+sin βsin α）=2-2cos（β-α），所以cos（β-α）=.因为α，β，γ∈，所以-<β-α<，因为sin γ=sin α-sin β>0，函数y=sin x在上单调递增，所以α>β，则-<β-α<0，故β-α=-，故选AD. 三、填空题 12.（5分）（2025·金华二模）已知sin αcos（α+β）-cos αsin（α+β）=，则sin β=　　　　.  解析：因为sin αcos（α+β）-cos αsin（α+β）=sin[α-（α+β）]=sin（-β）=-sin β=，所以sin β=-. 答案：- 13.（5分）（2025·南京模拟）已知向量a=（cos（α-β）+cos β，t），b=（cos α，1），若a∥b且cos α的最小值为-，则实数t=　　　　.  解析：因为a∥b，所以cos（α-β）+cos β=tcos α，则cos αcos β+sin αsin β+cos β=tcos α，即（cos α+1）cos β+sin αsin β=tcos α，则sin（β+φ）=tcos α，其中tan φ=，得sin（β+φ）=，故||≤1，得t2cos2α-2cos α-2≤0，因为cos α的最小值为-，所以t2-2×-2=0，解得t=±2. 答案：±2 14.（5分）已知α∈（0，π），β∈，且sin αsin=sin2，cos α=costan，则α-β=　　　　.  解析：由题可得sin αsin=sin2=cos2　①，由cos α=costan=sintan，得cos αcos=sin2　②，①+②得sin αsin+cos αcos=1，得cos=1.因为α∈（0，π），β∈，所以α-β-∈，所以α-β-=0，即α-β=. 答案： 易错提醒： （1）利用诱导公式时，不清楚函数名和符号的变化规律. （2）得到cos=1后，不能根据角α，β的范围确定α-β的值. （3）防范措施：①熟练掌握诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”. ②根据角的余弦值确定角的大小时，要先确定角的大致范围，从而确定角的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $