专题8.2单项式乘多项式（3大知识点+ 8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦单项式乘多项式核心知识点，系统梳理基于乘法分配律的运算法则，通过文字、式子、几何意义（长方形面积）三重表征，前承单项式乘单项式，后启多项式乘多项式，构建整式乘法完整学习支架。 资料以分层题型设计为特色，基础题型强化法则应用，培优题型融入化简求值与参数求解，压轴题型结合错解还原、跨学科应用（如航天模型面积计算），培养几何直观与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过易错点总结与巩固练习查漏补缺，提升运算能力与推理意识。

专题8.2单项式乘多项式 知识点1：单项式乘多项式的运算法则 1.文字表述：单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2.式子表示：（为单项式，为多项式，均为整式）。 3.运算依据：乘法分配律，将单项式乘多项式转化为已学的单项式乘单项式运算。 4.几何意义：长为，宽为的大长方形面积，等于长为、宽分别为、、的三个小长方形面积之和，直观验证。 知识点2：单项式乘多项式的运算步骤 1.乘：用单项式分别乘多项式的每一项，注意多项式的每一项都包含其前面的符号。 2.加：将第一步所得的所有积相加，得到初步结果。 3.简：合并同类项，将结果化为最简形式（无同类项则直接保留）。 知识点3：单项式乘多项式的运算注意事项 注意点 具体说明 反例（错误） 正解 勿漏乘 单项式要乘遍多项式的每一项，包括常数项 符号准 多项式中负项与单项式相乘，结果取负；同号得正，异号得负 项数对应 非零单项式乘多项式，结果的项数与原多项式项数一致（可作为漏乘检验依据） （漏乘） 运算顺序 混合运算中，先乘方，再乘法，最后加减；有括号先算括号内 【基础必考题型】 【题型1】直接利用法则进行单项式乘多项式计算 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 单项式乘单项式的运算法则（同底数幂相乘、积的乘方） 2.解题方法技巧 严格遵循“乘每一项→定符号→算积”的步骤，多项式的每一项带着符号与单项式相乘； 单项式为负数时，可将负号先提出，乘完后再还原，降低符号出错率。 【例题1】.（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算：______． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·广西玉林·期末）计算：________． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广东汕头·月考）_______________． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型2】单项式乘多项式的简单几何意义应用 1.核心知识点 单项式乘多项式的几何意义 长方形/正方形的面积公式 2.解题方法技巧 把代数表达式转化为几何图形的边长，通过“整体面积=各部分面积和”验证运算公式； 若已知图形分割方式，直接根据边长写出面积的两种表达式，建立等式。 【例题2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别为，2x和x，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移（如图乙），则产生的裂缝的面积是多少平方厘米? 【变式题2-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）一个长方体的长，宽，高分别是，和x，则它的表面积是_____． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）请计算下列物体的体积和表面积． 【题型3】单项式乘多项式的混合运算 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 整式的混合运算顺序（先乘方，再乘法，最后加减） 同类项的合并法则 2.解题方法技巧 先计算积的乘方、幂的乘方，将单项式化为最简形式； 再按照法则展开单项式乘多项式，注意每一项的符号； 最后合并同类项，合并时注意系数的加减运算，字母和指数保持不变。 【例题3】.（2026七年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算： 【变式题3-2】.（2025九年级·全国·专题练习）计算：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·四川凉山·期末）化简： (1) (2) (3) 【培优高频题型】 【题型4】单项式乘多项式的化简求值 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 整式的化简与求值 整体思想的初步应用 2.解题方法技巧 先根据运算法则展开并合并同类项，将整式化为最简形式，切忌直接代入求值； 若已知条件为代数式的值（如），采用整体代入法，无需单独求字母的值。 【例题4】.（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：．其中，． 【题型5】根据单项式乘多项式的结果求参数 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 多项式中“不含某一项”的含义（该项系数为0） 一元一次方程的求解 2.解题方法技巧 按照法则展开多项式，合并同类项，找到对应项的系数； 根据“不含某一项”令其系数为0，建立关于参数的方程，解方程求参数值； 若涉及多项不含，分别令对应项系数为0，解方程组。 【例题5】.（25-26八年级上·江西赣州·月考）关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为______． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【变式题5-2】.（24-25八年级上·全国·期末）若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·陕西汉中·期中）要使的展开式中不含的项，则常数a的值为______． 【压轴素养题型】 【题型6】单项式乘多项式的错解还原问题 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 整式的加减运算 逆向思维的应用 2.解题方法技巧 根据错解过程，逆向推出原多项式（如抄错符号为“加”，则用结果减这个数得原多项式）； 用原多项式与正确的单项式进行乘法运算，按照法则展开并化简得到正确结果。 【例题6】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【变式题6-1】.（24-25八年级上·四川资阳·月考）（）已知，，且的值与无关，求的值； （）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【变式题6-2】.（24-25七年级下·湖南永州·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 【变式题6-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【题型7】单项式乘多项式的整体代换求值 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 整体思想的深度应用 代数式的恒等变形 2.解题方法技巧 先展开整式，通过恒等变形，将所求代数式转化为已知条件的代数式形式； 代入已知条件的值进行计算，注意系数的倍数关系（如已知，则）。 【例题7】.（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知，求的值________． 【变式题7-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【变式题7-2】.（23-24八年级上·山东德州·期末）若，则___________． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【题型8】单项式乘多项式的跨学科应用 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 物理公式（如路程=速度×时间）、生活中的数量关系 整式的化简 2.解题方法技巧 从跨学科情境中提取数量关系，列出含单项式和多项式的代数式； 利用单项式乘多项式法则展开化简，得到最终的数量表达式； 若涉及实际取值，结合题意确定字母的取值范围（如边长为正数）。 【例题8】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·重庆·期末）重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·山西朔州·月考）8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 【变式题8-3】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 易错点 1、单项式乘多项式时漏乘多项式的常数项，只乘含字母的项，忽略单独的数字项。 2、运算时符号处理错误，未注意多项式中负项的符号，或单项式为负数时未与多项式每一项正确定号。 3、混合运算中运算顺序混乱，先算乘法再算乘方，或未算括号内直接展开，导致乘方、括号运算错误。 4、合并同类项时系数计算错误，或把非同类项进行合并，改变字母和指数的取值。 5、根据“不含某一项”求参数时，未先合并同类项直接令系数为0，导致参数求解错误。 重点 1、掌握单项式乘多项式的运算法则，能准确用文字和式子表述，理解其乘法分配律的本质和几何意义。 2、能熟练进行单项式乘多项式的直接计算和混合运算，做到不漏乘、符号准、运算顺序正确。 3、掌握单项式乘多项式的化简求值方法，能运用整体思想进行代入求值，提高计算效率。 4、能解决单项式乘多项式的实际应用问题（几何、生活），实现代数与几何、数学与生活的结合。 5、掌握“根据结果不含某一项求参数”的方法，理解“系数为0”的核心含义，能建立方程求解参数。 难点 1、符号的正确处理，尤其是单项式为负数、多项式中多项为负时，能准确确定每一个积的符号。 2、整式混合运算的综合运用，将乘方、单项式乘多项式、同类项合并融合，做到步骤清晰、计算准确。 3、整体思想的灵活应用，能将所求代数式恒等变形为已知条件的形式，实现整体代入求值。 4、逆向思维的应用，如错解还原问题，能根据错误的运算过程逆向推出原多项式，再进行正确计算。 5、探究式问题的规律归纳，能从具体的单项式乘多项式运算中，归纳出一般的数字或代数式规律，并用数学式子表示。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·周测）若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 2．（25-26八年级上·河北张家口·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 二、填空题 5．（25-26七年级下·全国·周测）计算：____________． 6．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知，则代数式_____． 7．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 8．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为_______．（用含有m和n的式子表示） 三、解答题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 10．（25-26八年级上·广东河源·月考）一长方形花圃的长是宽的2倍少1米．设花圃的宽是米，请用含的式子表示出花圃的周长和面积． 11．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 12．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2单项式乘多项式 知识点1：单项式乘多项式的运算法则 1.文字表述：单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2.式子表示：（为单项式，为多项式，均为整式）。 3.运算依据：乘法分配律，将单项式乘多项式转化为已学的单项式乘单项式运算。 4.几何意义：长为，宽为的大长方形面积，等于长为、宽分别为、、的三个小长方形面积之和，直观验证。 知识点2：单项式乘多项式的运算步骤 1.乘：用单项式分别乘多项式的每一项，注意多项式的每一项都包含其前面的符号。 2.加：将第一步所得的所有积相加，得到初步结果。 3.简：合并同类项，将结果化为最简形式（无同类项则直接保留）。 知识点3：单项式乘多项式的运算注意事项 注意点 具体说明 反例（错误） 正解 勿漏乘 单项式要乘遍多项式的每一项，包括常数项 符号准 多项式中负项与单项式相乘，结果取负；同号得正，异号得负 项数对应 非零单项式乘多项式，结果的项数与原多项式项数一致（可作为漏乘检验依据） （漏乘） 运算顺序 混合运算中，先乘方，再乘法，最后加减；有括号先算括号内 【基础必考题型】 【题型1】直接利用法则进行单项式乘多项式计算 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 单项式乘单项式的运算法则（同底数幂相乘、积的乘方） 2.解题方法技巧 严格遵循“乘每一项→定符号→算积”的步骤，多项式的每一项带着符号与单项式相乘； 单项式为负数时，可将负号先提出，乘完后再还原，降低符号出错率。 【例题1】.（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式的运算，根据单项式乘多项式的运算法则展开计算即可． 【详解】 ． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·广西玉林·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算．熟练掌握单项式乘多项式法则，是解题的关键 直接按单项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广东汕头·月考）_______________． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，直接应用此运算法则进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为：． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的加减运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算； （2）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型2】单项式乘多项式的简单几何意义应用 1.核心知识点 单项式乘多项式的几何意义 长方形/正方形的面积公式 2.解题方法技巧 把代数表达式转化为几何图形的边长，通过“整体面积=各部分面积和”验证运算公式； 若已知图形分割方式，直接根据边长写出面积的两种表达式，建立等式。 【例题2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别为，2x和x，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的体积=长×宽×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：由题意知，长方体的体积=长×宽×高， ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了多项式乘单项式的运算法则，要熟练掌握长方体的体积公式是解题的关键． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移（如图乙），则产生的裂缝的面积是多少平方厘米? 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，分别求出平移前后的面积是解决本题的关键． 先求出平移前的面积，再求出由裂缝向右平移的面积，作差即可求解． 【详解】解：∵长为，宽为的长方形地板， ∴长方形地板的面积为， 把裂缝右边的一块向右平移， 此时长方形地板的长变为， 此时长方形地板的面积为， 产生的裂缝的面积为． 【变式题2-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）一个长方体的长，宽，高分别是，和x，则它的表面积是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的乘法的应用，根据长方体的表面积公式，计算长、宽、高的两两乘积的和，再乘以2并化简即可． 【详解】解：长方体的表面积公式为 ，其中，，， 计算： ， ， ， 则， 表面积， 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）请计算下列物体的体积和表面积． 【答案】圆柱的体积为、表面积为；长方体的体积为、表面积为 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据圆柱和长方体的体积公式、表面积公式列式，再计算单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、以及整式的加减，由此即可得． 【详解】解：圆柱的体积为 ． 圆柱的表面积为 ． 长方体的体积为 ． 长方体的表面积为 ． 【题型3】单项式乘多项式的混合运算 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 整式的混合运算顺序（先乘方，再乘法，最后加减） 同类项的合并法则 2.解题方法技巧 先计算积的乘方、幂的乘方，将单项式化为最简形式； 再按照法则展开单项式乘多项式，注意每一项的符号； 最后合并同类项，合并时注意系数的加减运算，字母和指数保持不变。 【例题3】.（2026七年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘单项式，先运算多项式乘单项式，再合并同类项，得． 【详解】解： ． 【变式题3-2】.（2025九年级·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则、多项式除以单项式法则． 根据多项式除以单项式法则、积的乘方法则，以及单项式乘多项式法则进行计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·四川凉山·期末）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【培优高频题型】 【题型4】单项式乘多项式的化简求值 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 整式的化简与求值 整体思想的初步应用 2.解题方法技巧 先根据运算法则展开并合并同类项，将整式化为最简形式，切忌直接代入求值； 若已知条件为代数式的值（如），采用整体代入法，无需单独求字母的值。 【例题4】.（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，先根据单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． 先去括号，再合并同类项计算，将代入化简后的整式计算即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练进行整式运算是解题关键；先去括号，再合并同类项完成化简，将代入求值即可． 【详解】解： 当时， ． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：．其中，． 【答案】，10 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把代入化简后的式子进行计算即可，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 【详解】解： ， 当时，． 【题型5】根据单项式乘多项式的结果求参数 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 多项式中“不含某一项”的含义（该项系数为0） 一元一次方程的求解 2.解题方法技巧 按照法则展开多项式，合并同类项，找到对应项的系数； 根据“不含某一项”令其系数为0，建立关于参数的方程，解方程求参数值； 若涉及多项不含，分别令对应项系数为0，解方程组。 【例题5】.（25-26八年级上·江西赣州·月考）关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为______． 【答案】 3 【分析】本题考查整式的混合运算，将代数式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零，求解a的值即可 【详解】原式 = = = ， ∵不含x的二次项， ∴ ， 解得 。 故答案为3 【变式题5-1】.（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的无关型运算． 先计算原整式，求出的系数，进而根据“不含项”计算即可． 【详解】解：原式 ． 因为不含项， 所以．解得． 【变式题5-2】.（24-25八年级上·全国·期末）若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则展开式子，进而由展开式中不含项，得到项的系数为，据此解答即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故选：． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·陕西汉中·期中）要使的展开式中不含的项，则常数a的值为______． 【答案】2 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出项的系数为，即可得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解： ， ∵展开式中不含的项， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【压轴素养题型】 【题型6】单项式乘多项式的错解还原问题 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 整式的加减运算 逆向思维的应用 2.解题方法技巧 根据错解过程，逆向推出原多项式（如抄错符号为“加”，则用结果减这个数得原多项式）； 用原多项式与正确的单项式进行乘法运算，按照法则展开并化简得到正确结果。 【例题6】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，多项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据整式加减的运算法则，先计算，根据题意得到关于k的方程，解方程即可解答； （2）设原来的多项式为M，根据题意先计算出M，然后根据多项式乘单项式的法则计算即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵的值与x无关， ∴， 解得； （2）解：设原来的多项式为M， 依题意得，， ∴正确的计算结果为． 【变式题6-1】.（24-25八年级上·四川资阳·月考）（）已知，，且的值与无关，求的值； （）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】（）；（） 【分析】（）把代入求出结果，进而根据的值与无关得到含项的系数为，据此即可求解； （）根据题意求出这个多项式，再列出正确的算式计算即可； 本题考查了整式的加减无关型问题，单项式乘以多项式，掌握整式是运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴ ， ∵的值与无关， ∴， ∴； （）这个多项式为， ∴正确的计算结果是． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·湖南永州·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式混合运算，涉及单项式乘以多项式运算、去括号法则及合并同类项等知识，熟练掌握整式的乘法运算、整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）根据题意，列式后，运用去括号法则及合并同类项求解即可得到答案； （2）根据题意，列式后，运用单项式乘以多项式的运算法则及合并同类项求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， ； （2）解：正确的计算结果为： ． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 【题型7】单项式乘多项式的整体代换求值 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 整体思想的深度应用 代数式的恒等变形 2.解题方法技巧 先展开整式，通过恒等变形，将所求代数式转化为已知条件的代数式形式； 代入已知条件的值进行计算，注意系数的倍数关系（如已知，则）。 【例题7】.（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知，求的值________． 【答案】2026 【分析】本题考查了代数式求值，整式乘法．根据已知等式得出，，然后对所求式子变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：2026． 【变式题7-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据单项式乘以单项式的运算法则得出，，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴． 【变式题7-2】.（23-24八年级上·山东德州·期末）若，则___________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式的计算，根据题意可得，则可求出，则，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2027 【分析】本题考查了整式的混合运算、整体代入思想和降次法。解题关键是通过变形将表达式转化为已知条件的形式，避免直接求解未知数，从而简化计算． （1）先展开整式乘法，将表达式整理为用表示的形式，再代入进行求值； （2）由已知等式变形得到和，通过降次将高次幂转化为低次幂，再整体代入化简求值． 【详解】（1）解： ． ∵， ∴原式 ． （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 【题型8】单项式乘多项式的跨学科应用 1.核心知识点 单项式乘多项式的运算法则 物理公式（如路程=速度×时间）、生活中的数量关系 整式的化简 2.解题方法技巧 从跨学科情境中提取数量关系，列出含单项式和多项式的代数式； 利用单项式乘多项式法则展开化简，得到最终的数量表达式； 若涉及实际取值，结合题意确定字母的取值范围（如边长为正数）。 【例题8】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【答案】(1) (2)保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由见解析 【分析】本题考查整式的应用，正确进行列代数式和代入求值是解答本题的关键． （1）分别求出、，根据长方形面积计算公式求解即可； （2）代入，求出长方形面积，再求出保留的面积，然后与进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由如下： 当时， ， 原正方形面积为， 保留的草坪面积为， ∵， ∴， 因此，保留的草坪面积能超过原来草坪面积的． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·重庆·期末）重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 【答案】(1) (2)该几何体的表面积为． 【分析】本题考查列代数式，整式乘法的应用，整式加减的应用，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据长方体的体积公式列出代数式即可； （2）根据长方体的表面积公式列式化简，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：该几何体的体积为； （2）解： ∵， ∴． 答：该几何体的表面积为． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·山西朔州·月考）8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 【答案】(1) (2)87 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，单项式乘以多项式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）把，代入求解即可． 【详解】（1）解：板模型的总面积为： ； （2）解：当，时， 板的总面积为： ． 【变式题8-3】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）小长方形的宽为（2）大长方形的周长为 【分析】本题考查了整式的加减运算和几何图形周长的计算，解题的关键是通过观察图形，建立小长方形长与宽的关系，并用代数式表示出阴影部分的周长． 设小长方形的长为，宽为，由图可知，大长方形的长为，宽为；分别计算图3和图4中阴影部分的周长，再根据两者的差为列出方程求解． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为． 由图可知：， 大长方形的长为，宽为． 图3中阴影部分的周长： 图4中阴影部分的周长： 由题意： ，，． 故小长方形的宽为． （2）解：大长方形的长为，宽为，大长方形周长， 将代入：． 故大长方形的周长为． 易错点 1、单项式乘多项式时漏乘多项式的常数项，只乘含字母的项，忽略单独的数字项。 2、运算时符号处理错误，未注意多项式中负项的符号，或单项式为负数时未与多项式每一项正确定号。 3、混合运算中运算顺序混乱，先算乘法再算乘方，或未算括号内直接展开，导致乘方、括号运算错误。 4、合并同类项时系数计算错误，或把非同类项进行合并，改变字母和指数的取值。 5、根据“不含某一项”求参数时，未先合并同类项直接令系数为0，导致参数求解错误。 重点 1、掌握单项式乘多项式的运算法则，能准确用文字和式子表述，理解其乘法分配律的本质和几何意义。 2、能熟练进行单项式乘多项式的直接计算和混合运算，做到不漏乘、符号准、运算顺序正确。 3、掌握单项式乘多项式的化简求值方法，能运用整体思想进行代入求值，提高计算效率。 4、能解决单项式乘多项式的实际应用问题（几何、生活），实现代数与几何、数学与生活的结合。 5、掌握“根据结果不含某一项求参数”的方法，理解“系数为0”的核心含义，能建立方程求解参数。 难点 1、符号的正确处理，尤其是单项式为负数、多项式中多项为负时，能准确确定每一个积的符号。 2、整式混合运算的综合运用，将乘方、单项式乘多项式、同类项合并融合，做到步骤清晰、计算准确。 3、整体思想的灵活应用，能将所求代数式恒等变形为已知条件的形式，实现整体代入求值。 4、逆向思维的应用，如错解还原问题，能根据错误的运算过程逆向推出原多项式，再进行正确计算。 5、探究式问题的规律归纳，能从具体的单项式乘多项式运算中，归纳出一般的数字或代数式规律，并用数学式子表示。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·周测）若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 2．（25-26八年级上·河北张家口·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据幂的乘方法则、负整数指数幂的定义、单项式乘单项式法则、单项式乘多项式法则，逐一分析每个选项的运算是否正确． 【详解】解：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故A错误． ∵负整数指数幂的定义为（为整数）， ∴，故B正确． ∵单项式乘单项式，系数相乘，同底数幂相乘， ∴，故C错误． ∵单项式乘多项式，用单项式乘多项式的每一项再相加， ∴， 故D错误． 故选：B 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 4．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 【答案】A 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【详解】解：∵多项式除以，商式为余3， ∴， ， ∴，解得：， ∴．即A选项符合题意． 二、填空题 5．（25-26七年级下·全国·周测）计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 先计算积的乘方，然后利用单项式乘多项式法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为． 6．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知，则代数式_____． 【答案】4 【分析】本题考查代数式的值问题，掌握代数式的求值方法，会利用整体代入法则求值是解题关键．将代数式展开后，利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为 4． 7．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 【答案】 【分析】将加法转化为减法，然后计算单项式乘以多项式，再利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得， 8．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为_______．（用含有m和n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图1和图2的阴影面积，可推出，则可推出，图3的阴影面积，据此求解即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∵图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴，即 ∴图3的阴影面积， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式与多项式的乘法法则进行计算即可； （2）先算单项式乘以多项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（25-26八年级上·广东河源·月考）一长方形花圃的长是宽的2倍少1米．设花圃的宽是米，请用含的式子表示出花圃的周长和面积． 【答案】周长：米；面积：平方米 【分析】本题考查了列代数式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据题意得到长方形花圃的长为米，再根据长方形周长和面积公式求解即可． 【详解】解：因为长方形花圃的长是宽的2倍少1米， 所以长方形花圃的长为米， 则花圃的周长为（米）， 面积为（平方米）， 答：花圃的周长为米，面积为平方米． 11．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 【答案】(1)； (2)44 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减计算，单项式乘多项式，正确理解题意是解题的关键． （1）由图可知，大长方形的长为；阴影长方形的长为，宽为，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，大长方形的长为； 阴影长方形的长为，宽为， 则阴影长方形的面积． 故答案为：  ； （2）解：由题意，知阴影长方形的长为，宽为，阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影长方形的周长为，阴影长方形的周长为， ∴阴影长方形与阴影长方形的周长的和为． ，则，即阴影长方形与阴影长方形的周长的和为44． 12．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 【答案】(1) (2)说明见解析 【分析】（1）分别求出两个三角形面积，即可得出答案； （2）根据题意表示出空白部分的面积即可求解． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积： ； （2）解：空白部分的面积为 空白部分面积与无关． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $