天津市实验中学津南学校2025-2026学年高三下学期开学恢复性练习数学试卷

2025-2026学年高三年级下学期开学恢复性练习-数学试卷 一、单选题 1.已知集合A={xx2+x-2≤0，B=在∈Z-1<x<2},则A∩B=（) A.{x-1<x<2}B.{x-2≤x≤1}C.{-1,0,1 D.{0,} 2.已知a,b∈R,则“a2>b2”是“a3>b3”的（) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D,既不充分也不必要条件 3.已知m,n是两条直线，C是·个平面，下列命题正确的是（) A.若m⊥a,m⊥n,则n/1a B.若m/1a,n/la,则m/ln C.若m/a,m⊥n,则n⊥a D.若m⊥a,nC,则m⊥n 4.函数y=sinr+4x “的图象大致为() 5.下列说法正确的有（) ①数据2,3,5,7,11,13的第75H分位数为11，中位数为6： ②·组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等： ③若随机变量5，n满足n=35-2,则E(7)=3E(5)-2,D(n)=9D(5)-2: ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去 三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有 36种分配方式. ⑤在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好， ⑥样本数据2x+1,2x2+1,,2x,+1的方差为8，则数据X,x2,,,的方差为2. @若随机变量X服从正态分布N(3,o2),且P(X≤4)=0.6，则P(3<X<4)=0.2 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 6.函数f(x)=Asi(ox+p)(A>0,w>0,0<p<)的图象如阁，则下列有关f(x)性质的描述正确的 是() 12 2π A.9= B.-君+，keZ为函数/()的对称轴 C.(向右移行后的函数为偶函数 D.数了的单递减间为[+，ke2 7.若a=2b=o382c=m管则（) A.a<c<b B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c 8.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角 攒尖、八角接尖如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径 相等)，已知此组合体中圆柱底面的半径为2，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下 底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为() A.9V2元 B.36√2元 C.72π D.722π 9. 直线l过双曲线C:y a2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点F,且与C的左、右两攴分别交于A,B两 点，点B关于坐标原点对称的点为P,若PF⊥AB,HAF=3PF,则C的渐近线方程为( A.y=x B. 3 D.y= y=土x 二、填空题 10.已知复数z= 3-i (其中为虚数单位)，则其共轭复数的虚部为 1+2i 11. 二项 展开式中x3项的系数是 2 (用数学作答) 12.已知圆C过抛物线y2=4x的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆心C到直线1：x+y-2=0 距离为√2，H圆心的纵坐标大于3，则直线/被例C截得的弦长为一 13.某校发起“AI赋能乡村教育”公益项目，项目团队下设技术研发组5人、课程设计组3人.为推进 乡村高中智能教学设备落地，需从两个组中随机抽取2人组成执行小组抽取的2人中恰好有1名课 程设计组成员的概率为：已知抽取的2人中至少有1名课程设计组成员，其中恰好有1名课 程设计组成员的概率为 14.在△ABC中，CA.CB=2,AC=3AE,BC=3DC,F为AD与BE的交点，记CA=a,CB=b, 则用a,方表示CF=:向量CF在CA上的投影向量的模的最小值为一· 15.已知函数f()= 620若关于x的方程了()-)+=0有8个相约实根.则 川x+3引，x≤0 实数b的取值范围为 三、解答题 16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为35，b-c=2,0s4=-】 (1)求a的值：(2)求sinC的值：(3)求cos(2A+的值. 17.在如图所示的儿何体中，叫边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PA∥BE,AB=PA=2, BE=1.(I)求证：CE/平面PAD; (2)求PD与平面PCE所成角的正弦俏： (3)求点B到平面PCE的距离， 1c的方程为=1P-引 在椭圆上，椭例的右项点为A,椭圆的离心*为2· (1)求椭圆C的方程： (2)在x轴负半轴上找·点？，使得∠A2P=2∠PAQ,求出点2的坐标： (3)椭圆上点T（不同于点P),使线段AT的中垂线与y轴的交点也在线段AP的中垂线上.，求出点T 的坐标. 19.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,数列{bn}为递增的等比数列，b=2,b=8. (1)求数列{an}和{b}的通项公式： (2)设cn=abn,数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn: 股4-可H.=d+4++(eN),求使得对任意meN,均有所>写成立的 最大整数m, 20.已知函数f)=ae-+2x(aeR)的导函数为r闪. (I)当a=1时，求f(x)的图象在(0，f(0)处的切线方程： (2)若f'(x)有两个不同的姿点，求实数a的取值范围： ®吧知A=-2-+hx,若冈在定文城内有三个不同的极位点，且满足 h(x)h()小h)2-1,求实数a的取值范围.《2026年02月24日数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 8 9 答案 D 0 D D A D 1.D【详解】易得B={0,1},而02+0-2=-2≤0,12+1-2=0≤0，所以0∈A,1∈A,所以A⌒B={0,1}, 2.D【详解】由a2>b2得d>b,由a>b3得a>b,当a=-2,b=1时，满足d>b,但不满足a>b: 当a=-2,b=-3时，满足a>b,但不满足d>b；故“ad2>b2是“d>b的既不充分也不必要条件， 3.D【详解】选项A:若m⊥a,m⊥n,则n/a,选项A错误，n有可能在平面&内： 选项B:若m/,n/a,则m//n,选项B错误，两条直线都平行于同一个平面时，它们的位置关系 可以是平行、相交或异面；选项C:若m/la,m⊥n,则n⊥&，选项C错误，n的位置不确定，它可 以平行于a、在a内，或与a斜交，不一定垂直于a;选项D:若⊥o,nC,则m⊥n,选项D正 确，根据线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线 4.A详解1伯题意，函效f()的定义域为取，且f人--94(-+.一-元寸， e e 所以函数/)为奇函数，图象关于原点对称，排除C、D:当x=1时，可得f0-4e,2,且：→ 时，∫(x)→0，结合选项，可得A选项符合题意 5.c【详解】0：由6x75%45,得第75百分位数为第5个数，即1，中位数为7-6，故0正确： ②：根据标准差定义，一组数据x,x2,,x的标准差5= Lc矿+++。可0时， 显然有x=七，=…=七，=x,故②正确；③：若随机变量5，刀满足刀=35-2，则 E(7)=E(35-2)=3E()-2,D()=D(35-2)=9D(),故③错误；④：一个医疗队有男医生36人， 女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，男医生5×，36=3人，女医生5×，24=2人 36+24 24+36 现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去同 一个医院，三个医院人数可以为3,1,1，共有C2CA=18种分配方式；三个医院人数可以为2,2,1，共有 CCA=18种分配方式；综上，共有36种分配方式，故④正确；⑤：在回归模型中，决定系数R2越大， 表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故⑤正确：⑥：若数据x,x2,,x,的方差为s2,则数据 答案第1负 2x+1,2x2+1,,2x,+1的方差为22s2=42,由题意4s2=8,则s2=2,故⑥正确： ⑦：因X~N(3,o),可得均值u=3,则P(X≤3)=0.5，因为(X≤4)=0.6，所以 P(3<X<4)=P(X≤4)-P(X≤3)=0.6-0.5=0.1，故⑦错误.故正确的有①②④⑤⑥共5个 6p珠解1白图案知4=1号沿号手则=，：停-2，=a+,为合 在图象上，则n（石-1，所以名+p2+太e乙，则9=2+号e乙，又0<p<, 则e营所以a)=m2+司令2x+骨台=z,解得x经晋ez, 3 212 所以八)的对得辅方程为X-冬+后e五，9向方移行后得到函数 g-2引引m2+周.令2a+2+骨必警e7,新得 31 kn+ 2 ≤x≤km+ 晋女ez,所以儿的单调送减区间为血+合点+侣e乙kZ、放选：D 7.C【详解】张题意，a=2">2-1号6g2i<16g2<og21=m及m- 62 ,所以c<b<a. 8.A【详解】如图，A是圆锥的锥项，O是圆柱上底面的圆心，O2是圆柱下底面的圆心， 0 0 0票 O是圆球的圆心，B是圆柱上底面和圆球的交点，BO=2, 设圆锥和圆柱的高为2h,则40=2h,00,=00,=h,因为40=B0,所以咖=4+忙，所以h= 2 所以球的半径为3功=3V巨，所以球的体积为 4,32 -9√2元. 2 3"2 9.D【详解】如图所示，取双曲线左焦点耳，设|PF=,则|AF=3引PF=3, 由双曲线定义可得|AF|-|AF-BFI-|BF=2a,又B、P关于原点对称， 故|AF=3m-2a,|Br曰PF=m,|BF=m-2a,则|AB=3m-(m-2a=2m+2a,因为 PF⊥AB,所以FB⊥AB，所以(3-2a)'=(2m+2a)+m2, 化简可得m=5a,所以BEPF=5a,1BF=3a,因为PF⊥AB,所以(2c)2=(5a)2+(3a)2, ,共5页 所以4c-3d,即4G+b)-34,即=5，所以=士3c,所以渐近线方程为y=±3D、 a2-2 2 2 r. 10号【详1网为：01与号，9所以：所以：能为 (1+2i)1-2i) 1 11. 64 令指数 -6=3，解得=6，此时系数为c(》 =1x-1 6464 12.6√3【详解】抛物线y2=4x的焦点为F1,0),准线方程为x=-1,设圆心为C(1,b),且b>3, 所以r=C列=√(-1-1)+(b-0)2=V4+b2，,因为圆心C到直线1：x+y-2=0距离为√2， 所以 l-1+b-21=√5b-32,因为b>3,所以b=5.所以r=4+B=V29, √2+12 所以直线1被圆C截得的弦长为2√29-2=63 15 13. 5 28 【痒解】从5+3=8人中随机抽取2人的总组合数为G、8 8×1=28种， 21(8-2)！2×1 、从3名课程设计组成员中选1人，有C63 二=3种选法 。从5名技术研发组成员中选1人，有C6-5种选法 所以根据分步乘法原理可得，恰好有1名课程设计组成员的选法共有C?×C:=3×5=15种， 15 根据古典概率公式可得：抽取的2人中，恰好有1名课程设计组成员的概率为 28 从5名技术研发组成员中选2人的组合数为C:= 5! 5×4=10种， 2!(5-2)！2×1 所以没有课程设计组成员的概率为 C-10 28, 则至少有1名课程设计组成员的概率为1-10=18 2828 设事件A为抽取的2人中恰好有1名课程设计组成员”，事件B为“抽取的2人中至少有1名课程设计组 成员”，则所求概率为PAB),根据条件概率公式可得：P4B)=PL1B) P(B) 又因为A∈B,所以P4B)=P0-5, 281 答案第2 15 则P(AB)= P(AB) 28 P(B) 1818 28 4v2 14. 1 【详解】设CF=20i+aCD-兰ca函-号C(久AeR) 3 2+u=1 = 4-7 如图，因为A,F,D三点共线，B,F,E三点共线，所以 32+业1解得1 E 23 所以c丽-ci+co-+c-a+5, 7 cF.ca_1（ CA 当且仅当4CA= ic, 1C=Y2时等号成立，向量C在C上的投影向量的模的最小值为 1 2W528 15 3’9 详解】了四的图象如图所示：令f四)=1，若关于x的方程了产()-()+}0有8个 相异的实根，则t:-bt+}=0在(0,3)上有两个不等的实根 b2- 470 △>0 0 b b 0<<3 1 3 3 令8(t)=-bt+ ,则 ，即 3 1 8(0)>0 >0 8(3)>0 3 1 9-36+3>0 3 012 解得25<b<28 3 实数b的取值范围为 2328 3 -9 160g西G 16 【详解】1)因为eoA=子，0<A<,所以nA=-cogA= 因为△ABC的面积为35，所以be sinA=35,即bc.M5-35,解得c=24, 4 ,共5页 b-c=2 b=6 所以 (bc=24，解得 c=4' 银郑会这花可样o4产：片可5：一解带a-8 2×244 ②》由正弦定理得1品C,即店m1C,解得snC-正 84 8 （3)根据二倍角公式可知c0e2A-2co24-1-2×(-1- 4 81 则sn24=-2sim4cosA=2×51）-5 4(4-8 所以os(2A+=cos2Acos严-sim2Asim5-75,V1V5-3 6 6828216 立山明见解析包以6 3 【详解】(1)如图建立空间坐标系 ZA 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(2,0,1),P(0,0,2) CE=(0,-2,1) 平面PAD的一条法向量为AB=(2,0,0) 因为CE.AB=0,所以CE⊥AB B 又因为CE丈平面PAD所以CE//平面PAD (2)PC=(2,2,-2),PE=(2,0,-1),PD=(0,2,-2) 设平面PCE的一个法向量为n=(x,y,), 所以 mp四=2-2=0，令x=1,则y-1z=2,所以n=12） i.PC=2x+2y-2z=0 n.PD 设PD与平面PCE所成角为&.则sina= lcos(,PD列 园P元 V6×2√26 所以PD与平面PCE所成角的正弦值是 6 答案第 22 (3)BE=(0,0,1)设点B到平面PCE的距离为d,则d= 3 所以点B到平面PCB的距离为y6 18. +号=1go月 【详】①糯画C约方程为会+后=1，点P-引 a 在椭圆上， 椭圆的离心率为， 3) [a2=4 所以有 （)2 -=1→ b2 b2=3 所以椭圆C的方程是父+少 4*31: c2=a2-b2 (2)椭圆的右顶点A的坐标为(2,0)，设点Q的坐标(m,0)(<0), 3 3 因为k 2,k=1-22 2 -1-m }所以m40P=产nmAQ-（}} -1-m 因为∠AOP=2∠PAg,所以tan∠A0P=tan(2∠PAg)→tan∠AOP 2tan∠PAg 1-tan2∠PAg 3-2 .1 2× 2 17 即一1-m = 1 8, 所以点的坐标 ,A(2,0)的坐标可得线段AP的中点坐标为 1 =2 由上可知ka=- ,所以线段AP所在直线的斜率为了 因此线段AP中垂线的方程为 2 s+2 1 43 22 当s=2时，t=0,点T与点A重合，不合题意；当s=-2时，t=0,此时线段AT的中垂线是纵轴，显 然纵精上的所有点不可能都在直线y一}2 上，不符合题意；显然5≠士2，t≠0， 15-2 于是有飞，'2，所以线段Ar所在直线的斜率为 t, 5-2 3页，共5页 因比线段A7中垂线的方程为片号孔-生)。 红二恒成立，只需)←子，解得m<6,所以存在最大的整数m玉 令x=0,得y=5-2.5+21 t2+2' 20.03x-+1=oa)o2 因为线段AT的中垂线与y轴的交点也在线段AP的中垂线上， 【详潮1当a=1时.国e+2x,则f因-c-+2,所以f0-1,fo-3, 所以9-25+2+53-20-)25-9+3=1 所以f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为y-1=3x,即3x-y+1=0; t224气021 (2)由题知，f"(x)ae-x2(aR),因为f(x)有两个不同的零点， 43 3 t 所以有 73 2-4+2=-1s=1 政合去，所以点r的坐标为引 5=-1 所以方程四-x+2=0有两个不等实根化筒可得方程a=。号有两个不等实银， 可看成直线y=a与曲线8()=。2有两个不同的交点，所以g'()=。, 19.(1)a,=21,b,=2”(2)Tn=(n-1)2m+2+4(3)5 所以当x∈(-∞，3)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(3，+∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 【详解】(1)当n=1时，a=S=2当n≥2时，a,=S。-S1=n2+n-(n-1)°+(n-1)=2m 所以当x=3时，8(y有极大值也是最大值为g(3)=。当x→+口时，8(y→0， 上式中当n=1时，2×1=2=4，所以数列{a}的通项公式为a=21设地}的公比为9，b,=bq=2q2=8, 且当x→∞时，g()→-”，要使了)有两个不同的零点，需0<a<行，即ac（Q司月 1 所以9=±2，数列也}为递增的等比数列，所以q=2 （(3)由感知，)-空+，关定义城为@+回) b=b=2×2”-=2” 则rx)=a-ae-1+a--k>0） （2)cn=ab,=21x2”=n.2H x2 x2 T=1×22+2×2+3×24+.+(0n-1)×2”+n21① 令h()=0,得x=1或a=X r, 2T=1×23+2×24+3×2+.+(n-1)x×21+n.22② 设)0叭，则1 ①-@.得-7=2+2+2+…+2-n-2=2-2x2n-2=2:-2-4, 当x∈(0,1)时，p(x)>0,所以p(x)单调递增， 1-2 所以T=(n-1)2+2+4 当x∈(L,+)时，p(x)<0,所以p(x)单调递减 2 11 又当x→0时，p(四)→0：当x→时，9(y→0，且)=， 3)由(1)可得d,2-12可2-12 所以p(x)的大致图象如图所示， 11）.11 则以=4+d++d-(产2中221与 11） 2 显然丑，随n的增大而增大，故(H,)a。=H=了 答案第4项，共5页 y=(x) V-a 因为(x)在定义域内有三个不同的极值点x,x2,x, 所以p(x)与y=a有两个不同的交点，所以0<a< e 不妨设x<x2<x3,则0<x,<1=x2<x3, 所以a=立=三，所以 hx =x+ha ee Inx=x3+lna 所以h(x)h(s,)h()= =(ae-1)(1-x+lhx)(1-x,+lnx)=(ae-1)(1+lha) 令pa=(c-+hosa 则p'a)=+na)3e+ena- 因为y=elha在 日上单润造婚，y后在)上单诚 所以y=3c+eha名在o日 上单调递增， a 所以3e+elna- 2<3e+eln。-2e=0 e 又1+na<1+n=0,在天津考生下载更多资料 所以Pa>0,所以p@在(0日 上单调递增 因为p )日a-1 所以当a[时，pa名1恒成立 即当a∈ [是}时，M)))日1恒废立 所以实数a的取值范围 [周 答案第5