精品解析：河南许昌市长葛市民办实验中学2026-2027学年高二上学期阶段性测试二数学试题

高二数学阶段测试（二） 一、单选题（共40分） 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 某校举行“数学文化节”知识竞答，高二（3）班10名同学参加初赛的得分（单位：分）分别为62，70，74，78，82，84，88，90，94，96.则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 82 B. 84 C. 86 D. 88 4. 已知圆锥的轴截面为，在空间直角坐标系中，点，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 在三角形中，点，满足，且，若，则三角形面积最大值为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“圆与坐标轴有四个交点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，4，5，6，7，8，9的平均数是5.5 B. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”不互斥 D. 若事件与事件相互独立，，，则 10. 如图，在直三棱柱中，E、F分别是边，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 和平面平行 B. 若，则异面直线和垂直 C. D. 若，，与平面所成角为，则 11. 已知圆：，直线：，动点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线与圆相切，则 B. 直线恒过的定点在圆外 C. 存在，使直线交圆于点，，且 D. （为坐标原点）的最小值为 三、填空题（共15分） 12. 正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为______． 13. 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_______． 14. 已知，，，，，，则的最小值为______． 四、解答题（共77分） 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 16. 每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积．请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求，的值； （2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，…，，已知这个分数的平均数，若剔除其中的和两个分数，求剩余8个分数的平均数． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形． （1）若直线是平面和平面的交线，证明：； （2）若四棱锥的体积为，二面角和二面角都是，求直线与平面所成角的正弦值． 18. （1）已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？该图形有何特征？ （2）已知直线，其中、均为任意实数，． （i）证明：直线过定点； （ii）过点作直线，使得，且，过作的垂线，垂足为，求的面积的最大值． 19. 已知圆，，， （1）直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； （2）圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学阶段测试（二） 一、单选题（共40分） 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以在复平面内对应的点为，其横坐标为正，纵坐标为负，故该点位于第四象限． 2. 已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得该直三棱柱的底面是一个等腰三角形，底边长， 边的高，从而， 所以此三棱柱的体积为. 3. 某校举行“数学文化节”知识竞答，高二（3）班10名同学参加初赛的得分（单位：分）分别为62，70，74，78，82，84，88，90，94，96.则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 82 B. 84 C. 86 D. 88 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】将10个数据从小到大排列（题中已排列）：62，70，74，78，82，84，88，90，94，96， 因为，为整数， 所以第60百分位数为第6个数与第7个数的平均数，即. 4. 已知圆锥的轴截面为，在空间直角坐标系中，点，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意圆锥底面的半径，圆锥的高， 所以圆锥的体积为. 5. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两条直线一般式的平行条件列等式求出参数的可能值，再代入验证排除两直线重合的情况，最终得结果. 【详解】、平行，得： ， 整理：，解得或. 当时，，，两条直线完全重合，不符合平行要求，舍去； 当时，，，斜率均为1且截距不同，是平行直线，符合条件. 因此最终. 6. 在三角形中，点，满足，且，若，则三角形面积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先以为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系，进而发现点轨迹为一个圆，而为中点，则可求出点到直线距离的最大值. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，以为原点，为轴正方向，则， 设，则，化简得， 的轨迹是圆心为，半径为的圆， 则点到直线距离最大值为，而为中点， 故点到直线距离最大值为， 所以面积最大值为． 7. “”是“圆与坐标轴有四个交点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由能推出圆心到原点距离小于半径，原点在圆内，则圆与坐标轴必有个交点，充分成立；而圆与坐标轴有个交点只需、，存在满足该条件但的例子，必要性不成立，由此判定是充分不必要条件 【详解】由，可知点在圆的内部， 此时圆与坐标轴有四个交点，充分性成立； 反之，由圆的方程可知，圆心为，半径为， 要使圆与坐标轴有四个交点，只需，，且， 此时即可，所以存在满足条件且的情况，必要性不成立， 故“”是“圆与坐标轴有四个交点”的充分不必要条件． 8. 已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件可知直线恒过定点即为曲线的对称中心，再由向量性质可得动点在以为圆心，半径的圆内含边界，从而可知的最大值为原点到点的距离与半径的和. 【详解】由可知，直线过定点，设定点为，则为， 由可知，曲线由反比例函数平移得到，则曲线对称中心为，即为点， 所以点为，两点中点，则由向量中点公式可得， 又，所以，即，所以动点在以为圆心，半径的圆内含边界， 因为，所以. 二、多选题（共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，4，5，6，7，8，9的平均数是5.5 B. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”不互斥 D. 若事件与事件相互独立，，，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A选项，因为，故A选项错误； 对于B选项，因为，所以，故B选项正确； 对于C选项，抛掷两次硬币，事件 “第一次正面朝上” 包含 {正正，正反}，事件 “第二次反面朝上” 包含 {正反，反反}，二者的交集为 {正反}（可以同时发生），因此两个事件不互斥； 对于D选项，， 因为事件相互独立，所以， 由，得，，故D选项正确. 10. 如图，在直三棱柱中，E、F分别是边，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 和平面平行 B. 若，则异面直线和垂直 C. D. 若，，与平面所成角为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据面面平行的判定定理及面面平行的性质证明即可； 对于B，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质，结合异面直线所成角的求法求解即可； 对于C，利用等体积法和棱锥体积公式计算即可； 对于D，建立空间直角坐标系，利用线面角公式求出. 【详解】选项A：取的中点，连接，. 在中，为的中点，为的中点，所以. 直三棱柱中，，所以. 因为平面，平面，所以平面. 在中，为的中点，为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，所以平面平面. 因为平面，所以平面.故A正确. 选项B：直三棱柱中，，平面， 所以异面直线和所成的角即为直线和所成的角. 连接.若，且为的中点，则. 因为平面，所以. 又，平面，所以平面. 因为平面，所以，所以.故B正确. 选项C：设直三棱柱的高为，底面的面积为， 则. 因为是的中点，所以到平面的距离. 因为是的中点，所以. 所以.故C错误. 选项D：直三棱柱中，平面， 又平面，所以，. 因为， 所以两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，. 因为为中点，则，为中点，则，所以. 因为，，，平面， 所以平面，所以即为平面的法向量. 因为与平面所成角为， 则， 即，解得，即，即.故D正确. 11. 已知圆：，直线：，动点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线与圆相切，则 B. 直线恒过的定点在圆外 C. 存在，使直线交圆于点，，且 D. （为坐标原点）的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式求相切时斜率判断A选项，B选项确定直线定点并判断其与圆位置，C选项联立方程结合向量垂直求斜率，D选项根据距离关系确定轨迹求最值. 【详解】由题意可得：圆的圆心为，半径， 直线：，即，点，， A选项中，若直线与圆相切，根据点到直线的距离公式可得： ，所以，即， 化简可得：，即，解得，A正确， B选项中，由，得，令，则， 所以直线恒过定点，且，所以定点在圆外，B正确， C选项中，因为，即， 联立直线和圆可得： 消去，得， 又因为直线交圆于，， 所以，解得， 设直线与圆的交点为，， 则，， 由，得， ， ，即， 因为，所以满足条件的不存在，C错误， D选项中，取，设点，且， 则， 整理得，所以， 当且仅当O，P，B在一条直线上，且时，等号成立， 所以的最小值为4，D正确. 三、填空题（共15分） 12. 正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为______． 【答案】 【解析】 【详解】如图过作于，连接， 因为面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 则． 又，所以， 13. 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求点关于直线的对称点，由反射定律知反射光线所在直线就是直线，再由两点式写出方程并整理. 【详解】设点关于直线的对称点为. 因为的斜率为，由 得，即①； 又的中点在上，即②. 联立①②解得、，即. 由反射定律知，反射光线所在直线即为直线，其斜率. 所以反射光线所在直线方程为，即. 14. 已知，，，，，，则的最小值为______． 【答案】25 【解析】 【分析】将所求问题转换成与的距离问题，再结合两圆位置关系即可求解. 【详解】 设点，由可知： 点在以为圆心、半径的圆上， 设点，由可知： 点在以为圆心、半径的圆上， ， 它表示点与点的距离的平方， 因为，两点关于原点对称， 所以的轨迹是以为圆心、半径仍为的圆， ， 又，说明小圆完全内含于大圆， 内含两圆上点的最小距离为， 因此的最小值为. 四、解答题（共77分） 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）直接由正弦定理及两角和的正弦公式可得，进而可得所求角的值； （2）由正弦定理可得，再结合（1）中结果分两种情况讨论，并用余弦定理及三角面积公式计算可得. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 代入条件，得， 再由两角和的正弦公式得， 又因为中，，所以，且， 所以，即，且，因此或. 【小问2详解】 由正弦定理得，代入， 得，又因为，所以. 由（1）解析知或， ①当时，由余弦定理，，， 得，解得. 由基本不等式，验证成立，三角形存在， 所以. ②时，由余弦定理，，， 得，解得. 由基本不等式，验证不成立，不存在，舍去. 综上所述，的面积为. 16. 每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积．请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求，的值； （2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，…，，已知这个分数的平均数，若剔除其中的和两个分数，求剩余8个分数的平均数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图的性质构造关系式，根据已知条件列方程求出，进而求出； （2）根据已知样本数据确定分层抽样比例，列举出抽取总数及符合条件的事件数，求出相关概率； （3）根据题意，先求出名学生的分数总和，再剔除后求解平均数． 【小问1详解】 由频率直方图的性质得， ， 化简可得， 已知第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积，设样本容量为， 则，解得， 代入得，． 【小问2详解】 样本数据在组频率为：， 样本数据在组频率为：， 两组频数比为：，分层抽取6人， 则从组抽4人，记为，组抽2人，记为 从6人中选2人，总共抽法为： ， ，共计种； 两人来自不同小组的事件为： ，共计8种， 故概率为：． 【小问3详解】 已知这个分数的平均数，故总和为：， 剔除和后，剩余8个分数总和：， 故剩余8个分数的平均数为：． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形． （1）若直线是平面和平面的交线，证明：； （2）若四棱锥的体积为，二面角和二面角都是，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） ∵正方形，， 平面，平面， 平面，又平面，直线是平面和平面的交线， ； （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）过点作平面的垂线，垂足为，过点作，垂足为，连接，由锥体的体积公式求出，再由二面角得到，同理可得点到的距离为，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作平面的垂线，垂足为，过点作，垂足为，连接， 因为二面角和二面角都是， 可知点在正方形内， 四棱锥的体积为，即，可得， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，所以为二面角的平面角， 可得，可得，同理可得点到的距离为， 以为坐标原点，向量，与平面垂直的方向分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得． 设平面的法向量为， 有取，可得， 所以，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. （1）已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？该图形有何特征？ （2）已知直线，其中、均为任意实数，． （i）证明：直线过定点； （ii）过点作直线，使得，且，过作的垂线，垂足为，求的面积的最大值． 【答案】（1）方程表示过定点的所有直线（不包含直线）. （2）（i）证明：的方程可化为. 由得，所以过定点. （ii） 【解析】 【分析】对于（1），因为方程是过两定直线交点的直线系形式，所以先求两条定直线的交点，再分析λ变化时方程对应的图形及恒过该交点的特征； 对于（2）（Ⅰ），将方程按、整理为合并同类项的形式，令、的系数和常数项分别为，解方程组得到定点坐标； 对于（2）（Ⅱ），先写出直角三角形的面积，求出到的距离，求出面积的最大值. 【详解】方程即为， 因为与不能同时为， 所以方程表示一条直线. 由得，所以该直线过定点， 无论取何值，都不成立， 所以直线不能与直线重合， 所以方程表示过定点的所有直线（不包含直线）. （2）（i）略 （ii）设到的距离为，即. 由题意得的面积. 因为恒过定点，且， 所以，当且仅当与垂直时取到，因此面积最大值 19. 已知圆，，， （1）直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； （2）圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）（ⅰ）（ⅱ）存在定点 【解析】 【分析】(1) 根据垂径定理，可求圆心M到直线l的距离，根据圆心到直线的距离为，可求直线方程； (2) （ⅰ）当圆H面积最小时，就是以圆M与圆N交点弦为直径的圆； （ⅱ）在y轴上存在一定点E，使得y轴平分，即，设，，，代入，根据韦达定理即可求解. 【小问1详解】 设圆心M到直线l的距离为d，则，故， 由得或， 故直线l的方程为或． 【小问2详解】 （ⅰ）设圆M与圆N交点分别为P，Q，圆H面积最小时，圆H是以为直径的圆， ，即，① 圆，即，② ①−②得公共弦所在直线方程：， 圆M圆心、圆N圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心H就是直线与的交点， 联立解得． 将代入， 得，即，所以， 所以圆H的方程为． （ⅱ）假设存在点E，使得y轴平分，满足，设，，， 则，将，代入， 得，即．（*） 联立，得，． 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入（*）式，得， 即，因为对任意k，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $