精品解析：云南省楚雄龙江中学2026届高三开年大联考数学试题

2026届高三开年大联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 8 C. D. 3. 某实验室新型AI处理器的算力每月提升10%，传统处理器的算力每月衰减5%．若初始二者算力相同，则当新型处理器算力是传统处理器的2倍时，大约需要经过（ ） （参考数据：，，） A. 4个月 B. 5个月 C. 6个月 D. 7个月 4. 已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 已知点为椭圆：的上顶点，点，均在椭圆上，且，两点关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 已知数列的通项公式为，前项和为，则当取得最小值时，的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 10 D. 11 8. 已知点抛物线焦点，直线过点且与抛物线交于、两点，其中点在第一象限，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知，，，则“”的充要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A 展开式共7项 B. 所有项的二项式系数之和为64 C. 常数项为540 D. 所有项的系数之和为64 11. 在四边形中，，，其外接圆半径为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 四边形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，则________． 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为________． 14. 在三棱锥中，，，，，，则异面直线与所成的角的余弦值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为助力“双碳”目标落地，某新型储能企业调研技术岗员工对钠离子电池产业扶持政策的认知情况，随机选取180名技术岗员工（含研发岗、运维岗）开展问卷调查，统计认知深度（深度认知、基础认知）与岗位类型的关联数据，初步整理数据如下： 类别 研发岗 运维岗 合计 深度认知 60 60 基础认知 20 40 合计 （1）补充表格，并根据小概率值的独立性检验，分析认知深度与岗位类型是否有关； （2）用按比例分配的分层随机抽样方法从基础认知的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示这6人中研发岗员工人数与运维岗员工人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 独立性检验中常用的小概率值和相应临界值． 0.1 0.05 0.025 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 7.879 10.828 16. 已知数列是递增等差数列，，且是和的等比中项；为数列的前项和，且，． （1）求数列和的通项公式； （2），求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，，，点为中点，过点作平面∥平面，且交于点． （1）求的值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若函数有2个极值点，，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 19. 已知点在离心率为2的双曲线：上，直线：交双曲线的右支于，两点． （1）求双曲线方程． （2）线段的垂直平分线过点． ①探究并写出与的关系式； ②求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三开年大联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为集合是分式不等式的解集，所以可将其转化为等价的整式不等式组来求解， 注意分母不为0的条件，求出集合后，根据补集的定义求出. 最后根据交集的定义，计算与集合的交集. 【详解】因为集合，则， 所以. 故选：B. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法法则化简，再由虚部的定义求解，即得结果. 【详解】因为，所以其虚部为8． 故选：B． 3. 某实验室新型AI处理器的算力每月提升10%，传统处理器的算力每月衰减5%．若初始二者算力相同，则当新型处理器算力是传统处理器的2倍时，大约需要经过（ ） （参考数据：，，） A. 4个月 B. 5个月 C. 6个月 D. 7个月 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得方程,再取对数法解指数方程可得. 【详解】设经过个月，新型AI处理器算力是传统处理器的2倍．若初始算力均为，则， 整理得，两边取常用对数，得，所以大约需要经过5个月． 4. 已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标，进而求出，的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答. 【详解】因为圆：关于直线：对称， 所以直线过圆心，即，因为，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是2． 故选：B． 5. 已知点为椭圆：的上顶点，点，均在椭圆上，且，两点关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为是椭圆上顶点，所以先确定点的坐标，又因为、关于轴对称，所以可设出、的坐标，再代入椭圆方程.因为直线、的斜率之积为，所以利用斜率公式列出斜率乘积的等式，结合椭圆方程，将等式转化为关于的关系，进而求出离心率. 【详解】设，则．由题意知， 由得，． 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以，即，所以椭圆的离心率. 6. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角恒等变换得，再由周期性条件得，，再结合函数的零点得即可得答案. 【详解】函数． 设函数的最小正周期为，由，得，， 所以，，即，． 又因为函数在上存在零点，且当时，， 所以，即． 综上，的最小值为4． 7. 已知数列的通项公式为，前项和为，则当取得最小值时，的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】令和，分别求解的取值范围，明确哪些项为负、哪些项为正，因为是前项和，所以当累加完所有负项，且下一项为正时，可能取得最小值，需结合为正整数的条件确定具体值. 【详解】由题知， 当 时，等价于，解得，其中为正整数； 当时，；当或时， 则 当时：，，，均为正，，都为负数，每加一个负数，都会减小， 因此；又， 当时：为正，每加一个正数，都会增大， 因此. 又，，，，， ，，，，，故， 因此取得最小值时，. 故选：C. 8. 已知点抛物线的焦点，直线过点且与抛物线交于、两点，其中点在第一象限，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，则直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据向量的坐标运算得出，求出、的值，即可得出的值，由此可得出直线的斜率. 【详解】因为点在第一象限，所以，显然直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为， 联立得，， 由韦达定理可得，，． 易知点，由得，所以， 所以，解得，所以，解得， 所以直线的斜率为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知，，，则“”的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，若，，则；若，，则，故A正确； 对于B，因为，，所以若，则，即， 又因为，所以，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C错误； 对于D，若，，，， 由幂函数的图象与性质知；若，，则，故D正确. 10. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. 所有项的二项式系数之和为64 C. 常数项为540 D. 所有项的系数之和为64 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的项的特征得出A，由二项式系数和项的系数之和的计算公式判断B、D，再利用通项公式判断C. 【详解】对于A，因，所以展开式共有7项，故A正确； 对于B，所有项的二项式系数和为，故B正确； 对于C，展开式的通项公式为，， 令，解得，此时常数项为，故C错误； 对于D，令，则所有项的系数和为，故D正确． 11. 在四边形中，，，其外接圆半径为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 四边形的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，利用余弦定理，结合已知边长计算的余弦值即得；选项B，先在中利用余弦定理求出的余弦值，再根据向量数量积计算即得；选项C，利用正弦定理结合三角形的边长和内角正弦值计算外接圆半径；选项D，利用三角形面积公式，结合已求的内角正弦值计算面积. 【详解】 如图连接，在中，由余弦定理及题意得； 在中，由余弦定理及题意得. ，， 解得，，，故A正确. ，故B错误. ，由正弦定理得， ，故C错误. 由C知，，， ， ， 四边形的面积，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由，两边平方并整理得，由，平方得，展开求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 整理得， 又因为， 所以， 则， 所以． 13. 若函数在区间上单调递增，则实数取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得导函数在该区间上恒大于等于0，然后分离参数，构造新函数，利用基本不等式或导数法求新函数在区间上的最小值，进而即得. 【详解】因为，所以. 又因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立， 即当时，恒成立. 因为，当且仅当时，等号成立，且在定义域内. 即，所以， 即实数的取值范围为. 14. 在三棱锥中，，，，，，则异面直线与所成的角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】将两直线夹角转化为两向量夹角的绝对值，先求解的数量积，再利用空间向量夹角余弦值公式进行求解即可. 【详解】因为在三棱锥中，，，，， 所以 又由题知所以，所以， 所以. 又因为，， 所以， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为助力“双碳”目标落地，某新型储能企业调研技术岗员工对钠离子电池产业扶持政策的认知情况，随机选取180名技术岗员工（含研发岗、运维岗）开展问卷调查，统计认知深度（深度认知、基础认知）与岗位类型的关联数据，初步整理数据如下： 类别 研发岗 运维岗 合计 深度认知 60 60 基础认知 20 40 合计 （1）补充表格，并根据小概率值的独立性检验，分析认知深度与岗位类型是否有关； （2）用按比例分配的分层随机抽样方法从基础认知的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示这6人中研发岗员工人数与运维岗员工人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 独立性检验中常用的小概率值和相应临界值． 0.1 0.05 0.025 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 7.879 10.828 【答案】（1） 类别 研发岗 运维岗 合计 深度认知 60 60 120 基础认知 20 40 60 合计 80 100 180 认知深度与岗位类型无关. （2）的分布列为： 0 2 4 6 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题意完成表格，然后利用公式计算的值进行分析即可； （2）根据题意先利用分层抽样的方法抽取研发岗和运维岗员工人数，找出随机变量的值，计算出各值对应的概率，计算出数学期望值即可. 【小问1详解】 （1）补充表格如下： 类别 研发岗 运维岗 合计 深度认知 60 60 120 基础认知 20 40 60 合计 80 100 180 零假设为：认知深度与岗位类型无关． 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认知深度与岗位类型无关． 【小问2详解】 用按比例分配的分层随机抽样方法在基础认知的60人中抽取12人，抽得研发岗4人，运维岗8人． 再从这12人中随机抽取6人，的可能取值为0，2，4，6． 则，，，． 的分布列为： 0 2 4 6 ． 16. 已知数列是递增等差数列，，且是和的等比中项；为数列的前项和，且，． （1）求数列和的通项公式； （2），求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【详解】解：（1）设等差数列的公差为， 由，且是和的等比中项得，， 整理得，，解得或． 因为数列是递增等差数列，所以． 所以，故． 数列前项和为，且满足①， 当时，，解得； 当时，②， ①②得，，即． 因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则， 所以． （2）由（1）得，， 所以， 等式两边同乘以2得，， 两式相减得，， 所以， 则． 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，，，点为的中点，过点作平面∥平面，且交于点． （1）求的值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知的面面平行，得到相应的线面平行和线线平行，通过平行线分线段成比例的性质求解的值. （2）以与的交点为原点，建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 设平面，连接，，，则平面即为平面，平面平面. 所以平面，平面. 因为平面，平面平面，所以. 因为点为的中点，所以为的中点. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 又因为点为的中点，所以点为的中点，即. 【小问2详解】 取与的交点为点，连接. 因为，为的中点，所以； 因为，点是的中点，所以. 因为四边形是菱形，所以. 设，因为，所以， 则，即， 解得，所以，，. 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则取，，，得. 设平面法向量为， 则取，，，得. 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若函数有2个极值点，，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）①由有两个不等实根，转化得有两个不等实根，然后令，利用导数确定函数的性质，结合单调性，函数值的变化规律得出参数范围；②问题在于转化，由①知，．令，，则．令，把要证不等式转化为关于的不等式，然后引入新函数，由函数的单调性证明. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即为. 【小问2详解】 ①． 函数有2个极值点，，即方程有2根，． 令，，令，解得． 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 当时，，当时，，当时，， ，当时，， 所以实数取值范围是． ②由题意得，，． 令，，由①知，则， 则，， 所以． 令，则， 所以，． 要证，即证， 即证当时，，即． 令，则， 当时，，单调递增，， 即当时，，不等式得证． 19. 已知点在离心率为2的双曲线：上，直线：交双曲线的右支于，两点． （1）求双曲线的方程． （2）线段的垂直平分线过点． ①探究并写出与的关系式； ②求的取值范围． 【答案】（1） （2）① ，；② 【解析】 【分析】（1）由双曲线离心率以及点在双曲线上，即可求解双曲线方程. （2）①设，，联立方程与双曲线，由韦达定理与的关系，求解线段的中点，再由线段的垂直平分线过点，可得，求解即可. ②由，得到与的关系，求解，，，由，再由，求解即可. 【小问1详解】 由双曲线：的离心率为2，得，解得． 又因为点在双曲线：上，则，解得，， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 ①设，， 联立消去得， 所以，即， 且，，由，得，所以． 则． 因为线段的中点为，所以． 因为线段的垂直平分线过点， 则，整理得． 结合，得，所以，． ②由①知，， 则，，． 因为点，是直线与双曲线的右支的交点，所以，，则，， 则，解得． 因为 ， 所以． 又因为， 所以，即． 因为， 所以的取值范围为，即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $