专题2.3解二元一次方程组重难点题型专训（3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦解二元一次方程组核心知识点，系统梳理代入消元法、加减消元法、换元法三大方法，从定义、步骤到即时训练，构建从基础操作到特殊技巧的学习支架，帮助学生逐步掌握解题逻辑。 资料通过7大题型（含代入消元、参数求解等）及2大拓展训练，结合经典例题与实际问题（如购物发票、加密规则），培养学生抽象能力（换元法）、推理意识（错解复原）和模型意识。课中辅助分层教学，课后助力自我检测，有效查漏补缺。

专题2.3 解二元一次方程组重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 构造二元一次方程组求解 题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型六 二元一次方程组的错解复原问题 题型七 方程组相同解问题 拓展题型一 求解二元一次方程组 拓展题型二 用二元一次方程组的特殊解法解决错解复原问题 知识点一：代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 【即时训练】 1．（25-26七年级下·安徽合肥·专题练习）将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海浦东新·专题练习）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ____________． 知识点二：加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 【即时训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）数学老师在黑板上写下了一个关于的方程，如下．若和是该方程的两个解，则的值分别为（    ） 方程： A．3，3 B．2，2 C．3，2 D．2，3 2．（24-25七年级下·湖北武汉·专题练习）在一场趣味数学游戏中，玩家输入两个数字，，游戏系统根据加密规则生成两个密文：，．若玩家收到的密文为16和13，已知，则的值是__________． 知识点三：换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫做换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 【即时训练】 1. （2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： 2.已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【经典例题一 代入消元法】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知，用含x的代数式表示y，则_______． 1．（22-23七年级下·河南新乡·月考）下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法方程组的步骤，其中开始出现错误的是（　　） A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）填空： （1）若是关于的二元一次方程，则________． （2）若是二元一次方程的解，则________． （3）把方程写成用含的代数式表示的形式是________． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）在上节课的“观察与思考”中，我们用两种方法解决了货车载质量的问题，分别列出了一元一次方程和二元一次方程组． (1)由方程组怎样才能得出方程？ (2)求方程组的解． 【经典例题二 加减消元法】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）规定，如．如果同时满足，那么的值分别为（   ） A． B． C．4，5 D．5，4 【例2】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）对于二元一次方程组若使两个方程中的系数相等，则的最小系数为________；若使两个方程中的系数相等，则的最小系数为________． 1．（22-23七年级下·广西来宾·期中）已知 ，且，为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北石家庄·专题练习）【问题】已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值. 嘉嘉同学有如下两种解题思路和部分步骤： Ⅰ.将方程组中的两个方程相加并整理，可得到，再求k的值； Ⅱ.解方程组，得到，再代入中，可求k的值. 下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ的解题思路不正确 B．Ⅱ的解题思路不正确 C．Ⅱ的解题思路正确，求解不正确 D．Ⅰ与Ⅱ的解题思路与求解都正确 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解方程组时，要使的系数相等，则可将该方程组转化为________；要使的系数为相反数，则可将该方程组转化为________． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法． 解：方程①去分母，得，即．③ ③＋②，得，解得． 把代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 【经典例题三 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（24-25七年级下·山西太原·专题练习）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（   ） A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）利用整体代换思想变式解方程组，我们可以把看成一个整体，设，很快可以求出原方程组的解为________． 1．（24-25七年级下·重庆·期中）对定义一种新运算T，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如，若，，则下列结论正确的个数为(   ) （1）；（2）若，则；（3）若，则有且仅有1组整数解；（4）若对任意有理数都成立，则． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级下·广西玉林·月考）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26七年级下·广东佛山·专题练习）已知二元一次方程组的解为，那么的解为___． 4．（25-26七年级下·山西晋中·专题练习）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2） 利用上述方法解方程组 【经典例题四 构造二元一次方程组求解】 【例1】（23-24七年级下·河南信阳·专题练习）某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，下表是本次购买图书的发票，部分数据看不清，根据其他数据求出购买爱的教育、边城的数量分别为（    ） A．15，10 B．10，15 C．12，13 D．13，12 【例2】（23-24七年级下·江苏南通·专题练习）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“互助点”，例如：点的一对“互助点”是点与，若点Q的一对“互助点”之一为，则点Q的坐标为__________． 1．（24-25七年级下·重庆北碚·专题练习）对有理数、、定义一种新运算，规定．下列说法： ①当时，若，则； ②当且时，则； ③当时，若，，自然数、满足，且，则满足条件的的值有15个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某工艺品店推出每件价格分别为元、元、元三种工艺品，小安用元买了这三种工艺品共件，则单价为元的数量比单价为元的数量多（    ） A．件 B．件 C．件 D．件 3．（24-25七年级下·浙江宁波·自主招生）已知正实数，，，，满足，，如图是以，，，为边长作正方形或矩形．若图1阴影部分的面积为6，求图2阴影部分的面积为______． 4． （2025七年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 【经典例题五 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例1】（24-25七年级下·安徽芜湖·专题练习）现代高等代数中将关于x，y的方程组简约地表示为，这种由方程组中未知数的系数与常数项按照一定顺序排列组成的表称为矩阵．若关于x，y的二元一次方程组的矩阵是，且满足，则t与m关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：已知，满足，且，则的值为______________． 1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知满足和的x，y也满足，那么（　　） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24七年级下·河北邯郸·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．针对x，y，m，n的取值．三人的说法如下． 甲：若，则； 乙：的值一定是2； 丙：若，则． 下列判断正确的是（   ）    A．甲对，乙错 B．乙和丙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对 3．（24-25七年级下·浙江杭州·专题练习）若二元一次方程组的解满足或，则称该方程组为“二倍解方程组”．已知关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，则m的值为_______． 4．（25-26七年级下·辽宁大连·开学考试）自习课上，数学老师为了检验小明同学对方程组这部分内容的掌握情况，给他出了这样一道练习： “当m为何值时，方程组的解、互为相反数．”这下可把平时学习不认真的小明给难住了，聪明的同学，你能帮小明求出的值吗？ 【经典例题六 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心，他把看错了，从而解得，则_____，_____． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北邯郸·月考）在解关于，的方程组时，小亮解出的结果为老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的抄错了，该方程组的正确结果比大5．”则，的值分别为（    ） A．4， B．4，2 C．，2 D．， 3．（24-25七年级下·重庆·专题练习）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为___________ 4．（23-24七年级下·河南商丘·专题练习）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 【经典例题七 方程组相同解问题】 【例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·专题练习）已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．2007 【例2】（25-26七年级下·湖南邵阳·专题练习）已知关于，的方程组与方程组同解，则________，________． 1．（25-26七年级下·广西贵港·专题练习）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）若方程组与的解相同，则__________，__________． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·专题练习）已知关于、的二元一次方程组与的解相同，求的值． 【拓展训练一 求解二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·浙江温州·自主招生）关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为__________． 1．（24-25七年级下·重庆·专题练习）若关于x，y的方程组的解是，则关于m，n的方程组的解为 （　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·云南昆明·专题练习）已知x、y是二元一次方程组，那么的值是（   ） A． B．5 C．3 D． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为_____． 4．（25-26七年级下·江西景德镇·专题练习）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【拓展训练二 用二元一次方程组的特殊解法解决错解复原问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东潍坊·专题练习）甲、乙两人同时解关于的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为，则的值应为________． 1．（23-24七年级下·安徽·单元测试）解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 3．（24-25七年级下·山东青岛·月考）在解方程时，小明把看错了，得而他看后面正确的答案是，则______，______，______． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组： 下面是小虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法． 解：方程①去分母，得，即．③ ，得，解得． 把代入②，得，解得．故原方程组的解为 1.（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解方程组有以下过程： （1）由①，得．③ （2）将③代入②，得． （3）去括号，得． （4）解得．将代入③，得．所以这个方程组的解是 以上解题过程中，开始出错的一步是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 2．（25-26七年级下·安徽安庆·专题练习）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25七年级下·吉林·专题练习）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26七年级下·山西运城·专题练习）已知关于x，y二元一次方程组的解满足，则的值为（  ） A．0 B．2 C．-2 D． 6．（25-26七年级下·安徽宣城·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7．（23-24七年级下·山东济宁·月考）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·专题练习）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 9．（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）若无论取何值，关于的二元一次方程组都有解，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·全国·周测）已知用含的式子表示，则＝_____________． 12．（2025七年级下·上海·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为________ 13．（25-26七年级下·河南郑州·月考）对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 14．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知关于的方程组的解是整数，是正整数，那么的值是______． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 16．（24-25七年级下·陕西汉中·专题练习）解方程组： (1) (2) 17． （25-26七年级下·湖南湘潭·专题练习）已知方程组，求的值． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． (1)当时， ． (2)若，则 ． ． 19．（25-26七年级下·全国·周测）小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 20．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 解二元一次方程组重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 构造二元一次方程组求解 题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型六 二元一次方程组的错解复原问题 题型七 方程组相同解问题 拓展题型一 求解二元一次方程组 拓展题型二 用二元一次方程组的特殊解法解决错解复原问题 知识点一：代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 【即时训练】 1．（25-26七年级下·安徽合肥·专题练习）将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，解题的关键是将x看成已知求出y．用含的式子表示，可先移项，再将系数化为1即得答案． 【详解】解：对， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 2．（25-26七年级下·上海浦东新·专题练习）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ____________． 【答案】 【分析】本题考查了用含一个未知数的代数式表示另一个未知数． 将x视为已知数，通过解方程求出y的表达式 【详解】解：解方程， 移项得， 两边同时除以2得． 故答案为：． 知识点二：加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 【即时训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）数学老师在黑板上写下了一个关于的方程，如下．若和是该方程的两个解，则的值分别为（    ） 方程： A．3，3 B．2，2 C．3，2 D．2，3 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据和是该方程的两个解列出二元一次方程组，进而求解即可． 【详解】解：∵和是该方程的两个解， ∴， 整理得， 解得：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·专题练习）在一场趣味数学游戏中，玩家输入两个数字，，游戏系统根据加密规则生成两个密文：，．若玩家收到的密文为16和13，已知，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法计算即可得解，熟练掌握加减消元法是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 由可得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点三：换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫做换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 【即时训练】 1.（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，设，利用换元法解出，再解即可． 【详解】解：设， 则原方程组可化为， 解得， 所以， 解得， 所以原方程组的解是． 2.已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是观察题目特点，灵活运用换元法求解．两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答，即可获得答案． 【详解】解：对于方程组，可设，， 可得， 结合题意可知， 解得． 故选：C． 【经典例题一 代入消元法】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据等式的性质和四位同学的求解过程逐步检查即可． 【详解】解：由①得，显然甲同学正确 将③代入②得，显然乙同学正确 去分母得，显然丙同学错误， 由解得，代入③，得，显然丁同学正确， 故解题中出现错误的同学是丙， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知，用含x的代数式表示y，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法．通过消去参数m，将y用含x的代数式表示 【详解】解：由，得． 代入，得． 故答案为：． 1．（22-23七年级下·河南新乡·月考）下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法方程组的步骤，其中开始出现错误的是（　　） A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【答案】C 【分析】根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤，即可判定． 【详解】解： 由得：， 把代入得：， 去分母得：， 解得：， 则开始出现错误的是步骤三， 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握和运用解二元一次方程组的方法是解题的关键． 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组．根据定义将行列式转化为二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：由新定义得， ， 得方程组： 解得， 故选：B． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）填空： （1）若是关于的二元一次方程，则________． （2）若是二元一次方程的解，则________． （3）把方程写成用含的代数式表示的形式是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，二元一次方程的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据二元一次方程的定义可得且，求解即可． （2）把代入中，求解即可． （3）把方程通过移项，系数化为一，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是关于的二元一次方程， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． （2）把代入中， 即， 解得：． 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）在上节课的“观察与思考”中，我们用两种方法解决了货车载质量的问题，分别列出了一元一次方程和二元一次方程组． (1)由方程组怎样才能得出方程？ (2)求方程组的解． 【答案】(1)从方程组第一个方程解出 ，然后代入第二个方程 (2)方程组的解为 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）观察所给方程，可知先解方程得出，再通过代入消元可得出方程； （2）利用代入消元法求解． 【详解】（1）解：由方程，可得， 将代入，可得； （2）解： 由得， 将代入，得：， 解得， 则， 故该方程组的解为． 【经典例题二 加减消元法】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）规定，如．如果同时满足，那么的值分别为（   ） A． B． C．4，5 D．5，4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 由新定义得：，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：由新定义，得 ①-②，得 解得： 把代入②，得 解得： ∴方程组的解为 故选： C． 【例2】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）对于二元一次方程组若使两个方程中的系数相等，则的最小系数为________；若使两个方程中的系数相等，则的最小系数为________． 【答案】 【分析】此题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据题意找到未知数的系数的最小公倍数即可． 【详解】解：当把二元一次方程组中含有项的系数都化为相等时，的最小系数为，将含有项的系数都化为相等时，的最小系数． 故答案为：6，6． 1．（22-23七年级下·广西来宾·期中）已知 ，且，为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立两个方程得，将b和c都用含a的代数式表示出来，然后再进行化简即可． 本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是关键． 【详解】解：联立两个方程得， ，得， ，得， ，得， 得， 把代入①，得， ． 故选：A． 2．（23-24七年级下·河北石家庄·专题练习）【问题】已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值. 嘉嘉同学有如下两种解题思路和部分步骤： Ⅰ.将方程组中的两个方程相加并整理，可得到，再求k的值； Ⅱ.解方程组，得到，再代入中，可求k的值. 下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ的解题思路不正确 B．Ⅱ的解题思路不正确 C．Ⅱ的解题思路正确，求解不正确 D．Ⅰ与Ⅱ的解题思路与求解都正确 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解一元二次方程组，根据题中的方法求解，再求得k的值，最后进行判断即可． 【详解】解：Ⅰ：， 由得，，即， ∵关于x，y的方程组的解满足， ∴， 解得， ∴Ⅰ的解题思路正确； Ⅱ：∵关于x，y的方程组的解满足， ∴的解满足， 由得，， 由得，， 把代入①得，， 把，代入，得， ∴Ⅱ的思路正确， 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解方程组时，要使的系数相等，则可将该方程组转化为________；要使的系数为相反数，则可将该方程组转化为________． 【答案】 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，两边同时即可得到①，两边同时即可得到② 【详解】解：中， 两边同时即可得到 ； 两边同时即可得到 ； 故答案为：①② ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法． 解：方程①去分母，得，即．③ ③＋②，得，解得． 把代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 【答案】不正确，正确解法见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据马虎去分母时方程右边未乘以可知马虎的解法不正确．方程①去分母，然后根据加减消元法计算即可． 【详解】解：不正确．方程①去分母，得，即．③ ③+②，得，解得． 把代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 【经典例题三 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（24-25七年级下·山西太原·专题练习）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（   ） A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 【答案】C 【分析】本题考查利用“换元”法解二元一次方程组．令，，根据题意可得出，解出x，y即可． 【详解】解：令，， ∴原方程组可化为， 依题意，得， ∴，解得． 小明这样解方程的思想是换元思想． 故选：C． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）利用整体代换思想变式解方程组，我们可以把看成一个整体，设，很快可以求出原方程组的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 先根据题意建立新的方程组，再利用加减消元法解方程组，然后将方程组的解代入，最后求解即可． 【详解】解： 设， 则原方程组转化为 ①+②得，， 解得， 将代入①，得， 解得：， 方程组的解为， ， ， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·重庆·期中）对定义一种新运算T，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如，若，，则下列结论正确的个数为(   ) （1）；（2）若，则；（3）若，则有且仅有1组整数解；（4）若对任意有理数都成立，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，正确理解题目所给的新定义是解题的关键． 由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据中、为整数，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（1）正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确； ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或或或0或， ∴满足m、n都是整数值的有， 故（3）错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数、都成立， ∴，故（4）错误． 故选B． 2．（25-26七年级下·广西玉林·月考）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的消元法应用，熟练掌握通过方程组相减直接表示出的方法是解题的关键．先通过方程组消元，用表示出，再结合列方程求解． 【详解】解： 用得，整理得， ∵ ， ∴ ， 解得， 故选：． 3．（25-26七年级下·广东佛山·专题练习）已知二元一次方程组的解为，那么的解为___． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法． 通过变量代换，将原方程组化为与已知方程组相同的形式，利用已知解直接求解即可． 【详解】解：设，则原方程组化为：， 整理得：， 令，则：， ∵该方程组与已知方程组形式相同，且已知解为， ∴， 所以，解得， ，解得， 故原方程组的解为． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·山西晋中·专题练习）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【详解】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 【经典例题四 构造二元一次方程组求解】 【例1】（23-24七年级下·河南信阳·专题练习）某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，下表是本次购买图书的发票，部分数据看不清，根据其他数据求出购买爱的教育、边城的数量分别为（    ） A．15，10 B．10，15 C．12，13 D．13，12 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设购买爱的教育x本，边城y本，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设购买爱的教育x本，边城y本， 根据题意有：， 解得：， 则购买爱的教育15本，边城10本， 故选：A． 【例2】（23-24七年级下·江苏南通·专题练习）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“互助点”，例如：点的一对“互助点”是点与，若点Q的一对“互助点”之一为，则点Q的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组，设点，根据新定义列方程组求解即可． 【详解】设点， ∵点Q的一个“互助点”的坐标为， ∴或， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 1．（24-25七年级下·重庆北碚·专题练习）对有理数、、定义一种新运算，规定．下列说法： ①当时，若，则； ②当且时，则； ③当时，若，，自然数、满足，且，则满足条件的的值有15个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了新定义问题，二元一次方程组的应用，解题的关键掌握新定义运算法则． ①将代入判断即可；②根据题意列出二元一次方程组求出x，y的值，然后代入判断即可；③根据定义得到，然后结合自然数，且，逐个代入求解判断即可． 【详解】①当且时， 代入定义得，即，正确； ②当且时， 解得， ∴，错误； ③当，时，，即， ∵自然数，且， ∴ ∴ ∴当时， ∴（舍去）或0或1， ∴或2； ∴当时， ∴或1或2， ∴或6或7； ∴当时， ∴或2或3， ∴或10或12； ∴当时， ∴或3或4， ∴或15或17； ∴当时， ∴或4或5， ∴或20或22； ∴当时， ∴或5或6， ∴或25或27； 综上所述，满足条件的的值有17个，故③错误． 综上，其中正确的个数是1． 故选：B． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某工艺品店推出每件价格分别为元、元、元三种工艺品，小安用元买了这三种工艺品共件，则单价为元的数量比单价为元的数量多（    ） A．件 B．件 C．件 D．件 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系．设购买单价为元的工艺品件，购买单价为元的工艺品件，则购买单价为元的工艺品件，根据题意列出二元一次方程，进而得到，代入即可求解． 【详解】解：设购买单价为元的工艺品件，购买单价为元的工艺品件，则购买单价为元的工艺品件， 根据题意得：， 整理得：， ， ， ， 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·自主招生）已知正实数，，，，满足，，如图是以，，，为边长作正方形或矩形．若图1阴影部分的面积为6，求图2阴影部分的面积为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意由图形1得，联立方程组，解得，，由方程组得，即可得，从而可得图2阴影部分的面积． 【详解】解：根据题意得图1阴影部分的面积为， ∴， ∵正实数，，，，满足，， ∴联立方程组得， 解得，， 由方程组得 ∴， ∴， ∴图2阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 【答案】有公共解， 【分析】本题主要考查二元一次方程的性质和求解方法，解题关键在于理解方程结构，采用合理的方法寻找公共解，并进行验证； 选取两个特定的值得到两个方程组成方程组求解，然后将解代入原方程进行验证，并且通过验证确保得到的解是所有方程的公共解． 【详解】解：设当，时，有，这两个方程的公共解， 解得：， 把代入等式，得 左边， ∴无论m取何值恒为0， ∴是原方程的解， ∴这 10 个方程有公共解，公共解为． 【经典例题五 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例1】（24-25七年级下·安徽芜湖·专题练习）现代高等代数中将关于x，y的方程组简约地表示为，这种由方程组中未知数的系数与常数项按照一定顺序排列组成的表称为矩阵．若关于x，y的二元一次方程组的矩阵是，且满足，则t与m关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵表示的方程组，结合解满足的条件，通过消元法求解方程组，代入条件式得到关于t和m的关系式． 【详解】根据题意得， 得， 解得 将代入①得， ∵ ∴ 整理得，． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：已知，满足，且，则的值为______________． 【答案】4 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解求参数，先理解题意，整理得，运用加减消元法进行解出，，再把，分别代入，求出的值，即可作答． 【详解】解：∵已知，满足，且， ∴， ，得， ∴， 把代入，得， 解得， 把，分别代入， 得 ∴ ∴， 故答案为：4 1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知满足和的x，y也满足，那么（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知方程的解求参数，先解即可用含m的代数式表示出x，将x的值代入方程①中便可用m的代数式表示出y，把x、y的值代入方程中进行计算即可求出m的值． 【详解】解：， ①②得：， ， 把代入①得：， 解得：． 把和代入得： ， 解得． 故选：B． 2．（23-24七年级下·河北邯郸·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．针对x，y，m，n的取值．三人的说法如下． 甲：若，则； 乙：的值一定是2； 丙：若，则． 下列判断正确的是（   ）    A．甲对，乙错 B．乙和丙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】此题主要考查了整式的加法，先用m，n表示x，y的式子，结合，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得 ②①得，解得 把 代入①得，解得， 所以， 因为 ， 甲：时，，解得，正确； 乙：，正确； 丙：则，即，正确； 故选D. 3．（24-25七年级下·浙江杭州·专题练习）若二元一次方程组的解满足或，则称该方程组为“二倍解方程组”．已知关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，则m的值为_______． 【答案】3或4 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，利用加减消元法可得原方程组的解为，再根据“二倍解方程组”的定义得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的方程组是“二倍解方程组”， ∴或， ∴或， 解得或， 故答案为：3或4． 4．（25-26七年级下·辽宁大连·开学考试）自习课上，数学老师为了检验小明同学对方程组这部分内容的掌握情况，给他出了这样一道练习： “当m为何值时，方程组的解、互为相反数．”这下可把平时学习不认真的小明给难住了，聪明的同学，你能帮小明求出的值吗？ 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，解答此题关键是掌握相关知识．本题由、互为相反数可得方程组为，即可求解． 【详解】解：、互为相反数， 方程组可变形为， 解得，， ． 【经典例题六 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：把甲的解代入方程可得：， 把乙的解代入方程可得：， 联立可得：， 解得：； 故选C． 【例2】（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心，他把看错了，从而解得，则_____，_____． 【答案】 3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，由题意得出，解方程组即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：3，． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入中得一个方程，把代入中的一个方程，联立解方程组即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， 把代入中，得， 根据题意，得； 解得， 故选：B． 2．（25-26七年级下·河北邯郸·月考）在解关于，的方程组时，小亮解出的结果为老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的抄错了，该方程组的正确结果比大5．”则，的值分别为（    ） A．4， B．4，2 C．，2 D．， 【答案】A 【分析】先由小亮的解求出a的值，并得到关于x，y的一个二元一次方程，再根据老师的话得到关于x，y的另一个二元一次方程，由上面两个方程联立可以得到原二元一次方程组的正确解，把此解代入含有b的二元一次方程可以得到b的值，问题即得解． 【详解】解：由题意可得：-2a+10=2， ∴a=4， ∴4x+5y=2①， 又由老师的话可得x=y+5②， ②代入①可得：4y+20+5y=2， 解得：y=-2，代入②得x=3， 把x=3，y=-2代入bx-7y=8可得：3b+14=8， 解得：b=-2， ∴，的值分别为4、-2， 故选A ． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程的有关概念及二元一次方程组的解法是解题关键． 3．（24-25七年级下·重庆·专题练习）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为___________ 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 【详解】解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 4．（23-24七年级下·河南商丘·专题练习）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 【经典例题七 方程组相同解问题】 【例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·专题练习）已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．2007 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据已知条件，知x，y的值适合四个方程，故可以联立解方程组，求得x，y的值后，再联立解方程组，从而求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 把代入含有a，b的两个方程，得， 由②得． 则． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·湖南邵阳·专题练习）已知关于，的方程组与方程组同解，则________，________． 【答案】 1 8 【分析】本题考查两个方程组同解求参数，先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 ，得， 解得 故答案为 1，8． 1．（25-26七年级下·广西贵港·专题练习）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同解方程组的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的解． 先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， ，得； ，得； ，得， ∴； 把代入，得， 即， 解得， 将代入， 得， ①+②，得， 两边同时除以8，得， 故选：B． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）若方程组与的解相同，则__________，__________． 【答案】 【分析】本题考查同解方程组的求解，核心是利用“同解方程组的解相同”这一关键条件．解题思路：先解不含参数的方程组得到公共解、，再将、代入含参数的方程组，转化为关于、的二元一次方程组，最后求解该方程组得到、的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵两个方程组的解相同， ∴将，代入，得， 解得， 故答案为：，． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·专题练习）已知关于、的二元一次方程组与的解相同，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 根据题意可得和，解得，则，解得，代入计算即可． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组与的解相同， ∴方程组可重新分配为和， 解得， 将代入得， 解得， ∴． 【拓展训练一 求解二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程组的解与整体思想，整体思想的运用是解题关键． 将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数值即可求解． 【详解】解：变形为 由题意得：， 解得：． 故选：B． 【例2】（23-24七年级下·浙江温州·自主招生）关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：． 1．（24-25七年级下·重庆·专题练习）若关于x，y的方程组的解是，则关于m，n的方程组的解为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，把，看作一个整体，则第二个方程组与第一个方程组形式和结构一样，是同解方程组，得出，由此即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴由，可知：， 解得：． 故选：C． 2．（23-24七年级下·云南昆明·专题练习）已知x、y是二元一次方程组，那么的值是（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ①②，得， ∴， 故选C． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为_____． 【答案】3 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式的值，弄清题中方程组解的特征是解题的关键． 根据关于，的二元一次方程组的解为，得到，求解即可解答． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴把关于，满足二元一次方程组看作关于和的二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 4．（25-26七年级下·江西景德镇·专题练习）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 【拓展训练二 用二元一次方程组的特殊解法解决错解复原问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解含参的二元一次方程组．根据方程组的解满足没有看错的二元一次方程，求出，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意，得：，满足；满足， ∴， ∴， ∴原方程组为：，解得：； 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·山东潍坊·专题练习）甲、乙两人同时解关于的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为，则的值应为________． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程组解的运用，根据甲的解得到，根据乙的解得到，运用特殊解法得到，由此即可求解． 【详解】解：甲解得正确结果为，代入方程组， ∴， ∴由②解得，， 乙因为抄错了，解得错误结果为， ∴，即， ∴得，，即， ∴， 故答案为：7 ． 1．（23-24七年级下·安徽·单元测试）解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识，根据题意，由错解得到，再由正解确定，进而得到二元一次方程组，求解即可得到，代入代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识是解决问题的关键． 【详解】解：设一学生将看错成，则方程组的解是， ，则， 方程组的解是， ，则， 综上所示，联立，解得， ， 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，理解题中方程组的解的含义是解题的关键．将代入方程组可得，即可求出的值，再将代入方程可得，然后解方程组可得，的值，代入计算即可得． 【详解】解：将代入方程组， 得：， 解得：， 将代入方程， 得：， 联立， 解得：， ． 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东青岛·月考）在解方程时，小明把看错了，得而他看后面正确的答案是，则______，______，______． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解及解二元一次方程组的应用． 根据题意得出，，，先求出，然后联立，再解出，的值即可． 【详解】解：∵解方程时，小明把看错了，得， ∴， ∵正确的答案是， ∴，， 解得：，联立， 解得：， 故答案为：，，． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组： 下面是小虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法． 解：方程①去分母，得，即．③ ，得，解得． 把代入②，得，解得．故原方程组的解为 【答案】他的解法不正确．正确解法见解析 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 根据加减消元法解方程组进行判断，然后再写出正确的解法． 【详解】解：他的解法不正确．正确解法如下： 方程①去分母，得， 即．③ ，得，解得． 把代入②，得，解得． 故原方程组的解为 1.（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解方程组有以下过程： （1）由①，得．③ （2）将③代入②，得． （3）去括号，得． （4）解得．将代入③，得．所以这个方程组的解是 以上解题过程中，开始出错的一步是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】C 【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 根据代入消元法的运算法则进行判断即可． 【详解】解：∵ 由①得 ③，正确； 将③代入②得 ，正确； 去括号时，，但过程写为 ，错误； ∴ 开始出错的一步是（3） 故选：C． 2．（25-26七年级下·安徽安庆·专题练习）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解．方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出k的值即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·吉林·专题练习）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得； 故选D． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据二元一次方程要求两个未知项的指数均为，因此需使的指数，的指数，解方程组即可． 【详解】解： 方程是二元一次方程， 的指数，的指数， 解方程组， 可得：． 故选：A． 5．（25-26七年级下·山西运城·专题练习）已知关于x，y二元一次方程组的解满足，则的值为（  ） A．0 B．2 C．-2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．由①②得，故，进而推断出，再求解即可． 【详解】解：． ①②，得． ． 又关于，的二元一次方程组的解满足， ． ． 故选：B． 6．（25-26七年级下·安徽宣城·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，先解方程组得到解为，，然后逐一验证三个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； 结论③：，为定值，正确； ∴①②③都正确； 故选：D． 7．（23-24七年级下·山东济宁·月考）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，将甲同学的解代入方程组得到关于a与b的方程，并求出c的值，将乙同学的解代入方程组中第一个方程得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值即可． 【详解】解：将代入方程组得：①，，即， 将代入方程组中的第一个方程得：②， 得：，即， 将代入①得：，即， 则． 故选：B． 8．（24-25七年级下·全国·专题练习）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 9．（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，可重新组成两个关于x，y的两个方程组和，先计算不含参的二元一次方程组，得的值，然后代入含参的二元一次方程组，求的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵两个方程组同解 ∴可知关于x，y的两个方程组和有相同的解 解方程组 ②①得 将代入①式得 解得 ∴方程组的解为 将代入方程组得 解关于的方程组 ③④得 解得 将代入③式得 解得 ∴方程组的解为 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了同解方程组，解二元一次方程．解题的关键在于将两个方程组重新组成新的方程组求解． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）若无论取何值，关于的二元一次方程组都有解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程组解的情况，先通过加减消元法消去，得到关于和的方程，再根据方程组有解的条件确定的值. 【详解】解：二元一次方程组， ②-①，得， 整理得， 即， ∵无论取何值，关于的二元一次方程组都有解， ∴， 解得：， ∴， 解得； 故选：C ． 11．（25-26七年级下·全国·周测）已知用含的式子表示，则＝_____________． 【答案】 【分析】通过消去参数 ，将方程组转化为用 表示 的形式． 【详解】解： ， 得：， 解得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，解决问题的关键是熟练掌握计算方法． 12．（2025七年级下·上海·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为________ 【答案】2024 【分析】本题考查二元一次方程组的整体思想． 通过将两个方程相加，得到与的关系式，进而求解的值． 【详解】解：， 得：， 即：， 两边同时除以6，得：， ， ， 解得：， 故答案为：2024． 13．（25-26七年级下·河南郑州·月考）对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据新运算的定义，由已知条件列出关于a和b的二元一次方程组，解出a和b的值，再代入即可求的值． 【详解】解：由题意，得，解方程组得． ∴， ∴， 故答案为：17． 14．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知关于的方程组的解是整数，是正整数，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 通过消元法求出的表达式，根据解为整数及为正整数，确定是的约数，从而求出的值。 【详解】解：解方程组：， 得：， 得：， 即， ∴， ∵解为整数， ∴为整数，是5的约数， 即或， 解得：；；；； 又∵是正整数， ∴， 当时，， 将代入得， 解得：， ∴均为整数，符合条件， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 【答案】 1 －3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解题关键是能正确得到，的值． 甲看错方程①中的，但其解满足方程②；乙看错方程②中的，但其解满足方程①；分别代入得到关于和的方程组，解之即可． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，此解满足方程②， 代入得：，即． 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，此解满足方程①， 代入得：，即． 联立方程组： 由④得， 代入③得：，即， 解得． 代入，得， 解得： 故答案为：，． 16．（24-25七年级下·陕西汉中·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 原方程组可变为， 得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 17．（25-26七年级下·湖南湘潭·专题练习）已知方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是换元法解二元一次方程组，灵活运用换元思想简化复杂方程组是解题的关键．观察到方程组中和重复出现，可令，，将原方程组转化为关于、的二元一次方程组，解出m的值，即可得到的值． 【详解】解：令，， 则原方程组变为， 解得：， ． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． (1)当时， ． (2)若，则 ． ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据条件列出方程组即可求出的值． 【详解】（1）解：当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得： 解得： 故． 19．（25-26七年级下·全国·周测）小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，；0 【分析】小明看错了方程①中的，但他的解对于方程②是成立的，因此可以代入方程②求出的值； 小红看错了方程②中的，但她的解对于方程①是成立的，因此可以代入方程①求出的值； 最后将、的值代入代数式计算结果． 【详解】解：将代入②，得，解得． 将代入①，得，解得． 故． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，解题关键是明确：看错某个方程的系数，意味着该解对于另一个未看错系数的方程是成立的，从而代入求解． 20．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，再把代入得出，求出a、b的值，最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和有相同解， ∴解方程组得：， 把代入得：，解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $