专题1.6图形的平移重难点题型专训（1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦图形的平移这一核心知识点，系统梳理平移的定义（平面内图形按某方向移动一定距离）和性质（对应线段、角相等，对应点连线平行且相等），构建从生活现象识别到性质应用、作图、综合题再到拓展实际问题的递进学习支架。 该资料特色在于结合生活实例（如移动的黑板、草地小路）培养数学眼光，通过分层题型（基础到综合）发展推理能力与空间观念，课中例题辅助理解，课后检测与拓展训练助力查漏补缺，有效提升应用意识与创新思维。

专题1.6图形的平移重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 生活中的平移现象 题型二 图形的平移 题型三 利用平移的性质求解 题型四 利用平移解决实际问题 题型五 平移 (作图) 题型六 平移综合题（几何变换） 拓展题型一 探究生活中的平移并解决实际问题 拓展题型二 结合平移作图与性质解决几何变换问题 知识点一：平移 1.平移的定义：在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移. 如图，平移△ABC 得到△A'B'C'，其中点A'是点A的对应点，线段A'B'是线段 AB 的对应线段，A'B' =AB，∠A'B'C'是∠ABC 的对应角，∠A'B'C'=∠ABC 射线 BB'的方向就是平移的方向，线段 BB'(或AA'或CC')的长度就是平移的距离. 2.平移的性质：平移前后的图形可以重合；对应线段相等，对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·周测）如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段相等，平移距离等于对应点连线的长度是解题的关键． 根据平移的性质，得到与相等，与等于平移距离，再将四条边长相加求出四边形的周长． 【详解】解：∵将线段平移得到线段 ∴， ∵ ∴ ∵平移的距离为 ∴， ∴四边形的周长为： 故选：B． 2．（25-26七年级下·山东青岛·课后作业）如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则 cm． 【答案】4 【分析】本题考查了平移的性质．直接利用平移的性质即可求解． 【详解】解：∵沿方向平移到的位置， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【经典例题一 生活中的平移现象】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、工作中的雨刮器不属于平移，故该选项不符合题意； B、移动中的黑板属于平移，故该选项符合题意； C、折叠中的纸片不属于平移，故该选项不符合题意； D、骑行中的自行车不属于平移，故该选项不符合题意； 故选：B 【例2】（24-25七年级下·河南洛阳·课后作业）如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为 平方米． 【答案】171 【分析】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积． 利用平移道路的方法得出草地的绿地面积，进而得出答案． 【详解】解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：（平方米）． 故答案为：171． 1．（22-23七年级下·四川广元·期中）下面生活中的现象可以看成平移的是（    ） ①转动的指针②水平传输带上物品的运动③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）④随风摆动的旗帜 A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平移的定义，平移是指将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，逐项进行判断即可． 【详解】解：平移是指将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，生活中也很多物体存在平移现象， ②水平传输带上物品的运动，③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）是平移， ①转动的指针，④随风摆动的旗帜都改变了方向，不是平移， 故选：． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键． 2．（25-26七年级下·浙江台州·课后作业）如图，从起点A到终点B有多条路径，其中第一条路径为线段，其长度为a，第二条路径为折线，其长度为b，第三条路径为折线，其长度为c，第四条路径为半圆弧，其长度为d，则这四条路径的长度关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点之间，线段最短可知a最小，根据平移的性质可知b=AC+BC=c，根据圆的定义，可得c＜d．据此解答即可． 【详解】解：根据两点之间，线段最短可知a最小， 根据平移的性质可知b=AC+BC=AD+DE+EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KL+LB=c， 由圆的定义可知c＜d， ∴； 故选：C 【点睛】本题主要考查了平移的性质以及三角形的三边关系，理清题意的解答本题的关键． 3．（23-24七年级下·江苏南京·月考）如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是 . 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了平移及性质，根据平移的性质即可求解，正确理解平移的性质是解题的关键． 【详解】解：根据平移的性质知，“丰”字每一笔的面积与长为厘米，宽为厘米的小长方形的面积相等，可将横着的三笔都平移到上方，竖着的一笔平移到左侧， 则剩余部分(空白区域)的面积为平方厘米， 故答案为：平方厘米． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 【答案】见详解 【分析】将③号棒左移，②号棒移动到③号棒另一头，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【详解】解：如图，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，培养学生的观察能力和动手能力，具有较强的空间想象能力是解题关键． 【经典例题二 图形的平移】 【例1】（25-26七年级下·山东青岛·课后作业）如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，最小正方形的边长为1，将字母“V”向左平移 格（两个“V”无重叠）后与平移前的图形可以组成字母“W”． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平移的性质．先画出平移后得到的“W”，然后再根据平移的性质即可解答． 【详解】解：将字母“V”向左平移2格会得到字母“W”，平移后画出图形如下： 故答案为：2． 1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质和图形的平移的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据平移的性质和图形的平移的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：A、不能通过基本图形平移得到，符合题意； B、能通过基本图形平移得到，不符合题意； C、能通过基本图形平移得到，不符合题意； D、能通过基本图形平移得到，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级下·四川泸州·开学考试）下面的方格图中标出了四个点，将点F（    ）后，再顺次连接四个点可以围成一个平行四边形． A．向左平移1格 B．向左平移2格 C．向右平移1格 D．向右平移2格 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及平移，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据题意即可得到点向右平移2格即可围成平行四边形． 【详解】解：根据平行四边形的定义可知， 需将点向右平移2格即可围成平行四边形． 故选D． 3．（22-23七年级下·贵州铜仁·期中）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是 ．    【答案】 【分析】设矩形花园的宽，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积． 【详解】解：设矩形花园的宽， 根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）把三角形A向右平移5格，得到三角形B，再将三角形B按扩大，得到三角形C，请在下面方格纸中画出三角形B和三角形C． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查的是平移的作图，把图形放大，先把三角形A的每个顶点向右平移5格，再顺次连接得到三角形B，再把三角形B按扩大，得到三角形C即可. 【详解】解：如图，作图如下： 【经典例题三 利用平移的性质求解】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（   ） A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移由平移方向和平移距离决定，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，掌握图形的平移是解题的关键． 利用平移变换的性质判断即可． 【详解】解：观察图象可知由图形①变成图形②，把图先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·上海虹口·课后作业）“方胜”是中国古代的一种发饰图案，象征同心吉祥，由两个相同的正方形交错叠合而成、如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图如果平移距离为3，且，那么点到点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：由平移可得， 所以， 所以， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·贵州·月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为15，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：B． 2．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测量测得，则这个剪出的图形的周长是（　　）． A．40 B．44 C．48 D．49 【答案】C 【分析】此题主要考查了生活中的平移，关键是利用平移的方法表示出垫片的周长等于正方形的周长加．首先把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，根据平移的性质可得这个垫片的周长等于正方形的周长加． 【详解】解：把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置， 这个垫片的周长：． 答：这个垫片的周长为． 故选：C． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，．将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移6 cm，得到三角形．已知，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】先根据平移的性质确定对应线段的长度与平行关系，得到直角条件，再求出梯形的上下底边长，最后利用梯形面积公式计算阴影部分的面积． 【详解】解：直角三角形沿射线方向平移得到 ，且 阴影部分是梯形，以为上下底，为高 故答案为：18． 【点睛】本题考查平移的性质与梯形面积公式，掌握平移后对应线段平行且相等、梯形面积是解题的关键． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·课后作业）如图，在的正方形网格中，点是的边上的一点． (1)将向右平移个单位，再向上平移个单位至，与的位置关系是______； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点E； (4)线段、、这三条线段大小关系是______．（用“”号连接） 【答案】(1)平行 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查平移的性质，网格中的垂线作图，垂线段最短，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平移的性质，直接得出与的位置关系； （2）利用网格的垂直特性，过点作竖直线与 交于，得到垂线； （3）根据的格数特征，过点作的垂线，延长该线与交于点，得到垂线； （4）根据垂线段最短即可得出、、这三条线段的大小关系． 【详解】（1）解：已知向右平移个单位，再向上平移个单位至， 平移不改变线段的方向， 则与的位置关系为平行． 答：平行． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． （4）解：， ， ， ， ． 答：． 【经典例题四 利用平移解决实际问题】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江·月考）如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后求出面积即可． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且 这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 所以草坪面积（平方米）， 故选：B 【例2】（25-26七年级下·山东烟台·课后作业）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ． 【答案】44 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由题意，空白部分是长方形，长为，宽为， ∴阴影部分的面积． 故答案为：44． 1．（23-24七年级下·河南周口·期中）有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ）    A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式，可得答案，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 【详解】解：由平移可知， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， ∴四条小路面积大小一样， 故选：． 2．（23-24七年级下·浙江金华·课后作业）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（    ） A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的平移，通过计算可得所给纸片的面积为5，图1中以为边构造正方形，图2中以为边构造正方形，通过平移即可判断求解． 【详解】解：方案甲，如下图所示，将四边形移至处，将四边形移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形； 方案乙，如下图所示，将移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形． 因此甲、乙都可以， 故选D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 【答案】176 【分析】本题考查平移的实际应用，掌握通过平移将曲折线段的长度转化为规则线段的长度进行计算是解题的关键． 观察小路的曲折路线，通过平移线段的方法，将横向线段的总长度转化为长方形的长，纵向线段的总长度等于，再将两部分长度相加得到总路线长． 【详解】解：利用平移的方法：路线中横向线段平移后，总长度等于长方形的长； 路线中纵向线段平移后，总长度等于； 因此，总路线长为． 故答案为：176． 4．（24-25七年级下·湖北十堰·课后作业）如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 【答案】(1)平方米 (2)条 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，平移的性质，正确计算是解题的关键． （1）观景桥经过平移，根据“长方形面积=长×宽”，桥的面积是用长方形湖泊的面积减去长是米，宽是米的长方形面积，即可解答； （2）用湖泊的面积乘每平方米投放金鱼的条数即可； 【详解】（1）解： （平方米）， ∴这座桥的面积是平方米； （2）（条）， ∴管理员准备投放条金鱼． 【经典例题五 平移 (作图)】 【例1】（25-26七年级下·浙江衢州·课后作业）如图，在边长为1的正方形网格中，将周长为12的格点三角形ABC向右平移，得到三角形DEF（点A、B、C分别对应点D、E、F），则四边形AEFC的周长和面积分别为（    ） A．10，14 B．14，10 C．22，20 D．20，22 【答案】D 【分析】先画出平移图形，利用平移性质，得出四边形AEFC的边长，再由周长与面积公式求解． 【详解】解：如图， 因△ABC周长为12，则AB=3，BC=4，AC=5， 又由图知AD=4， 由平移性质，得CF=AD=4，DE=AB=3，EF=BC=4， ∴AE=AD+DE=7， ∴四边形AEFC的周长=AE+EF+FC+AC=7+4+4+5=20， 四边形AEFC的面积=（AE+FC）BC=(7+4)×4=22． 故选：D． 【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是银题的关键． 【例2】（22-23七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 1．（22-23七年级下·福建厦门·期中）如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A．有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 【答案】B 【分析】根据两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形可得出答案． 【详解】解：（1）当两斜边重合时可组成一个长方形，此时，，；    （2）当两直角边重合时有两种情况： ①短边重合，此时，，； ②长边重合，此时，，．    综上可得或8． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的知识，有一定难度，关键是利用两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形进行解答． 2．（23-24七年级下·山西吕梁·课后作业）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【答案】D 【分析】此题考查了图形的平移，线段的位置及数量关系，根据平移的规律画出图形，即可得到答案，熟练掌握平移的性质是解题的关键 【详解】解：由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格， ∴线段与线段的关系是平分且垂直， 故选：D 3．（23-24七年级下·北京·期中）如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为 ； ②当时，区域内的整点个数为 ． 【答案】 3 3 【分析】本题主要考查了平移作图，根据题意画出平移后的图形是解题的关键． ①将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可； ②将图中正方形向左平移6.5个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可． 【详解】解：①当时，将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3； 解：①当时，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3． 故答案为：3,3 4．（25-26七年级下·江苏宿迁·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)线段___________线段；（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解； (4)> 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平移的性质，垂线的定义，垂线段最短． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可； （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，则即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． ； （4）解：∵， ∴根据垂线段最短，得． 故答案为：>． 【经典例题六 平移综合题（几何变换）】 【例1】（25-26七年级下·广西钦州·课后作业）如图，三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O，若∠C的度数为x，则∠A1OC的度数为（    ） A．x B．90°﹣x C．180°﹣x D．90°＋x 【答案】C 【分析】根据平移性质得出，∠C1＝∠C，根据平行线性质得出∠COC1＝∠C1，进而得出∠A1OC的度数． 【详解】解：∵三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O， ∴∠C1＝∠C，， ∴∠COC1＝∠C1（两直线平行内错角相等）， ∴∠A1OC＝180°﹣x， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，运用平行线的性质得出∠COC1＝∠C1是解题关键． 【例2】（25-26七年级下·陕西渭南·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是 ． 【答案】6 【分析】利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，然后由平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD，根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵平移折线AEB，得到折线CFD， ∴四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形， ∴折线AEB在平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD =AO•EF+BO•EF =EF（AO+BO） =EF•AB =[2-（-1）]×[1-（-1）] =6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形-平移，熟练掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键． 1．（25-26七年级下·河北衡水·课后作业）如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2； 结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据平移的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF， ∴BE＝CF＝a， ∵BF＝BE+CE+CF，BF＝8，EC＝4， ∴8＝a+4+a， ∴a＝2，故结论Ⅰ正确； ∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF， ∴AC＝DF， ∵四边形ABFD的周长为22， ∴AB+BC+CF+DF+AD＝22， ∴AB+BC+CF+AC+AD＝22， ∵三角形ABC的周长为18， ∴AB+BC+AC＝18， ∴18+CF+AD＝22，即18+a+a＝22， ∴a＝2，故结论（Ⅱ）不正确， ∴Ⅰ对Ⅱ不对， 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 2．（24-25七年级下·全国·期中）在直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（    ） A．横、纵坐标分别乘以2 B．横坐标不变，纵坐标分别加2 C．横坐标不变，纵坐标变成原来的2 倍 D．横坐标加2，纵坐标乘以2 【答案】B 【分析】本题主要考查了学生对图形的平移等有关知识的掌握情况，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度可得答案． 【详解】解：．横坐标、纵坐标分别乘2，横、纵坐标分别乘以2，这种变换会使五边形各边在横纵方向上都拉伸为原来的2倍那么五边形的大小会改变，故该选项不符合题意； ．横坐标不变，纵坐标分别加2，这表示五边形在垂直方向上向上平移了2个单位长度，在这个过程中五边形的大小和形状都不会发生改变，故该选项符合题意； ．横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍，这会使五边形在垂直方向上拉伸，大小会改变，故该选项不符合题意； ．横坐标加2，纵坐标乘以2，横坐标加2是水平方向平移，纵坐标乘以2是垂直方向拉伸，五边形的大小会改变，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，已知三角形ABC中，∠ABC=90°，边BC=12，把三角形ABC沿射线AB方向平移至三角形DEF后，平移距离为6，GC＝4，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】60 【分析】由题可知，BE=6，BG=8，EF=12，阴影部分面积为直角梯形的面积，利用面积公式求解即可． 【详解】解：根据平移可知 BE=6，EF=BC=12， ∵CG=4， ∴BG=8， ∴阴影部分面积为：×（8+12）×6=60． 故答案为：60． 【点睛】本题考查平移的实际应用，根据题意找到平移对应的线段长，找到阴影部分面积的计算是解决问题的关键． 4．（24-25七年级下·浙江金华·课后作业）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)线段扫过的面积为16 【分析】本题考查了图形的平移变换及其性质，包括平移后图形的画法、平移后对应线段的关系以及图形平移过程中线段扫过的面积计算，解题的关键是掌握平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小，平移后对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （3）线段扫过的面积为平行四边形，然后利用“割补法”可求得面积是多少． 【详解】（1）解：找出对应点然后连接即可； （2）解：根据平移的性质，平移后对应点所连的线段平行且相等．因为A与、B与是平移前后的对应点，所以与平行且相等． 故答案为：且． （3）解：线段扫过的面积即为平行四边形的面积， 利用“割补法”得到： ∴线段扫过的面积为16． 【拓展训练一 探究生活中的平移并解决实际问题】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移和旋转的定义，掌握平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变是解题的关键． 根据平移的定义，判断每个选项的运动形式，平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变． 【详解】解：A、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意； B、压钳绕点转动，属于旋转，不符合题意； C、物体沿直线向下移动，形状和方向均未改变，属于平移，符合题意； D、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·湖北鄂州·期中）某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为40米，则荷塘周长为 米． 【答案】80 【分析】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案． 【详解】解：根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和， ∵荷塘中小桥的总长为40米， ∴荷塘周长为：2×40=80(米) 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题关键． 1．（23-24七年级下·广东广州·期中）现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，表示出阴影部分的面积，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：A，C，D中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去以大长方形的宽为长，小路的宽为宽的长方形的面积，B中阴影部分的面积比其它三个小1个以小路的宽为边长的小正方形的面积； 故选B． 2．（25-26七年级下·河北沧州·课后作业）如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形ABC沿着BC方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形DEF，其中AB＝8，BE＝5，DH＝3，则下列结论正确的有（　　） ①AC∥DF； ②HE＝5； ③CF＝5； ④四边形DHCF的面积为32.5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先由平移的性质可得：S△ABC＝S△DEF，AB＝DE＝8，继而可得S四边形DHCF＝S梯形ABEH，然后可求得四边形DHCF的面积． 【详解】解：由平移的性质可得AC∥DF，AB＝DE＝8， ∵DH＝3， ∴HE＝DE﹣DH＝8﹣3＝5，CF＝BE＝5，S△ABC＝S△DEF， ∴S四边形DHCF＝S梯形ABEH＝（EH+AB）•BE＝×（5+8）×5＝， 故①②③④都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【答案】252 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键； 利用平移和平行分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向向下平移到上，竖直方向的线段沿水平方向向左平移到上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角边的长度，然后求出面积进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： 地毯的总长度至少为(米)． 此时，总面积为 (平方米)， 所以购买地毯至少需要(元)． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，古城河在处直角转弯，河宽相等，从M处到达N处，须经过两座桥：，，问如何恰当造桥使得M到N路程最短． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用平移解决最短路径问题，解题的关键是通过平移将折线路程转化为直线距离，利用“两点之间线段最短”的原理确定最短路径． 将点M沿垂直于河岸的方向平移河宽的距离得到点将点N沿垂直于河岸的方向平移河宽的距离得到点连接使其与河岸分别交于D、F两点；过D、F分别作垂直于对应河岸的线段、即为所求的桥的位置，此时M到N的路程最短． 【详解】解：如图，作，且河宽，作，且河宽，连结与河岸相交于D，F两点，作，，即为所求造的桥使得M到N路程最短． 【拓展训练二 结合平移作图与性质解决几何变换问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：利用平移的性质得到， 可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行， 故选：B． 【例2】（2024七年级下·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，将向下平移2个单位长度后再向左平移6个单位长度得到，点A、、的对应点分别为点、、，连接、，则五边形的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了作图-平移变换及平面直角坐标系中多边形面积的求法，解决本题的关键是根据平移的性质准确画出图形． 根据平移的性质即可在图中画出，五边形，即可求出面积． 【详解】    如图所示， ， 故答案为：30． 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）原来是重叠的两个直角三角形，将其中的一个三角形沿着BC方向平移4个单位长度，就得到如图所示的图形，下列结论：①AC∥DF ②HE＝5 ③CF＝4 ④阴影部分面积为，正确的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积之间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案． 【详解】解：①对应线段平行可得AC∥DF，正确； ②对应线段相等可得AB=DE=8，则HE=DE-DH=8-3=5，正确； ③平移的距离CF=BE=4，正确； ④S四边形HDFC=S梯形ABEH错误 故选：C 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点． 2．（25-26七年级下·河北邯郸·课后作业）如图，正方形网格中，能由平移得到的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移变换的性质判断即可． 【详解】如图，线段c是由线段a平移得到的， 故选： B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化－平移，解题的关键是理解平移的定义，属于中考常考题型． 3．（25-26·七年级下 甘肃酒泉·一模）如图，为坐标原点，是等腰直角三角形，，点的坐标是，将该三角形沿轴向右平移得，此时，点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为 ． 【答案】1 【分析】先根据平移的性质得出平移的距离，以及线段在平移过程中扫过部分是平行四边形，再由等腰直角三角形计算出OO'对应的高，计算面积即可 【详解】解：如图 ∵点B的坐标为(0， )，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O'A' B',此时点B'的坐标为(,) ∴AA'=BB' = ∵△OAB是等腰直角三角形 ∴ OA=1 ∴xA=,yA= ∴A (,) ∴OO'对应的高为 线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为平行四边形的面积： ×=1 故答案为：1 【点睛】本题考查平移，平行四边形的面积，等腰直角三角形，勾股定理，灵活应用平移的知识是关键 4．（23-24七年级下·安徽滁州·课后作业）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点与点重合，点，分别是，的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接，，则线段与之间的关系是________； (3)点到直线的距离是_______个单位长度． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了作图——平移变换，平移的性质，解题的关键是数形结合． （1）利用点和点的位置确定平移的方向与距离，再画出，、对应点、即可； （2）根据平移的性质即可求解； （3）结合图形即可求解． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）三角形平移，使点与点重合，点，分别是，的对应点， ，， 故答案为：，； （3）根由图可知，点到直线的距离是个单位长度， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）脸谱是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术，下列选项中，能由如图所示的脸谱平移得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：根据平移性质，选项D中的脸谱能由如图所示的脸谱平移得到，符合题意， 选项A、B、C中的脸谱不能由如图所示的脸谱平移得到，故选项A、B、C不符合题意， 故选：D． 2．（25-26七年级下·上海宝山·月考）下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的定义， 平移是物体沿直线移动且方向不变的运动． 【详解】解：∵A钟摆运动是旋转，B汽车雨刷运动是旋转，D车轮转动是旋转，均不是平移；C传送带上行李箱运动是沿直线移动且方向不变，∴是平移. 故选：C． 3．（24-25七年级下·云南临沧·课后作业）下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的概念与性质，根据平移的概念即可判断． 【详解】解：选项B中的“比”字形状一样，因此可以看作是由一个“基本图形”平移得到； 故选：B． 4．（2025七年级下·江西·专题练习）图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，把图①放置在如图②所示的的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形．不同的放置方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 【答案】C 【分析】此题考查了图形的变化，探寻规律要认真观察，仔细思考，善用联想解决此类问题． 先找出图形的变化部分，以及变化规律，再运用找出的规律解答问题即可． 【详解】解：如图，共有8种不同的放置方法． 故选：C． 5．（25-26七年级下·山东烟台·课后作业）如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是图形的平移，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 故选：B． 6．（25-26七年级下·上海普陀·课后作业）如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过处向洞口处走，甲走的路线为过点、、、、、、、、的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移，根据平移的性质可知两只蚂蚁行走的路程相等，又因为它们爬行的速度相等，所以两只蚂蚁同时回到洞中． 【详解】解：，， ， 两只蚂蚁行走的路程相等， 又它们爬行的速度相等， 两只蚂蚁同时回到洞中． 故选：C． 7．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移在实际问题中的应用，解题的关键是理解台阶上铺地毯的长度与台阶水平方向总长度和垂直方向总长度的关系． 明确台阶的水平部分总长度等于底边的长度，垂直部分总长度等于高的长度；地毯的长度为水平部分总长度与垂直部分总长度之和，代入数值计算即可． 【详解】由题意可知，台阶的水平底边即所有台阶水平部分的总长度为台阶高即所有台阶垂直部分的总长度为． 在台阶上铺地毯，地毯的长度至少需要覆盖所有水平部分和垂直部分，因此地毯长度水平部分总长度垂直部分总长度． 故选：C． 8．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲→A→D→乙；②甲→B→D→乙；③甲→B→C→乙，在这三条路线中，走哪条路线近？（    ） A．①最近 B．②最近 C．③最近 D．①②③一样近 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，将三条路线进行恰当的平移是解题的关键． 将三条路线分别平移，可知这三条路线的长度都是长方形周长的一半． 【详解】解：如图所示： 三条路线的长度都等于大长方形周长的一半． 故选：D． 9．（25-26·七年级下 江西萍乡·二模）将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①，②，③中的（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据图形进行剪切拼接可得图形． 【详解】解：根据左边图形可剪成若干小块，再进行拼接平移后能够得到①，②，不能拼成③， 故选C． 【点睛】此题主要考查了图形的平移，通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 10．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中阴影部分的面积等于长方形的面积，再用长方形的面积减去阴影部分的面积即可得图中空白部分的面积． 【详解】解：根据题意可得：，扇形的面积扇形的面积， 又扇形的面积阴影部分的面积扇形的面积长方形的面积， 故阴影部分的面积长方形的面积， 所以图中空白部分的面积为． 故选：C． 11．（25-26七年级下·山西晋城·课后作业）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在水中行”的美好意境，某公园在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘的周长为240m，且小桥宽忽略不计，则小桥总长为 ． 【答案】120m 【分析】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案． 【详解】荷塘周长为240m， 小桥总长为：240÷2=120（m）， 故答案为：120 m． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题关键． 12．（22-23七年级下·湖北武汉·月考）“俄罗斯方块”是一款风靡全球的经典游戏，某局游戏当前情况如图所示，若上端小正方形移动最短的距离后能形成消除，则共有 种不同的移动方法．    【答案】10 【分析】本题考查图形的平移方式，结合图形可得往右需要移动3个单位，往下移动6个单位，逐一分析即可． 【详解】解：由图可得，该正方形需要移动到右下角的位置， 平移方式有：右3下6，右2下1右1下5，右2下2右1下4，右1下1右2下5，右1下1右1下1右1下4，右1下2右2下4，下2右3下4，下1右3下5，下1右1下1右2下4，下1右2下1右1下4，一共10种不同的移动方法， 故答案为：10． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线平移后得到直线．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移相关内容是解题的关键； 根据平移的性质可以得到平行，从而推出角相等，则可得到． 【详解】解：如图， 直线平移后得到直线， ， ． ， ， ． 故答案为；． 14．（24-25七年级下·湖北孝感·课后作业）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，与相交于点，连接．则（1）与的位置关系是 ；若三角形的面积比三角形的面积大，则（2） ． 【答案】 平行 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的面积，三角形的面积．掌握平移的性质是解决（1）的关键，正确作出辅助线是解决（2）的关键． （1）由平移的性质可得出， （2）过A点作于，利用等面积法计算出，由，，即可得出，再根据，即可列出关于a的等式，解出a即可． 【详解】（1）∵三角形沿方向平移得到三角形， ∴ （2）过A点作于，如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵三角形的面积比三角形的面积大，即， ∴， 解得． 故答案为：平行，． 15．（25-26七年级下·浙江台州·课后作业）把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移，由已知可得中间重叠部分长方形的周长为，由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长，即可得甲、乙的周长和为，进而得到甲的周长为，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵大长方形的周长为52，阴影部分①和②的周长之和为40， ∴中间重叠部分长方形的周长为， 由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长， ∴甲、乙的周长和为， ∵甲和乙的周长相等， ∴甲的周长为， ∴正方形甲的边长为， 故答案为：． 16．（22-23七年级下·陕西西安·月考）如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，平移的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知先求得的邻补角的度数，得到即可得结论； （2）分两种情况讨论，过G作的平行线，利用平行线的性质定理，平移的性质和平行公理的推论即可求解； （3）分三种情况讨论，分别过点作的平行线，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可求解． 【详解】（1）证明：∵，的度数是的3倍少． ∴，， ∴， ∴． （2）解：当点G在F下方时，过点作， 根据平移，得， ∴， ∴， ∴； 当点G在F上方时，过G作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵； 综上所述，的度数为或． （3）解：①当点N在D左侧时，过M作， ∵， ∴， ∴； ∵，， ， ∴； ∴； ∴； ②当点N在D右侧时，如图，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； ③当点N在D右侧时，如图，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ， 综上所述，或或． 17．（24-25七年级下·河北唐山·期中）直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）②如图，过E作，运用平行线判定与性质即可得出答案 ②如图，分别过点作，，运用平行线判定与性质和角平分线定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：①如图，过E作， ， 又， ， ，， ， ； ②如图，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 19．（25-26七年级下·福建莆田·月考）如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，． （1）若，求的度数； （2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数． 【答案】（1）65°；（2）20°或160° 【分析】1）作，如图1，利用角平分线的定义得到，，利用平行线的性质得到，，从而得到的度数； （2）作，如图2，利用角平分线的定义得到，，利用平行线的性质得到，，从而得到的度数；如图3，利用得到，然后根据三角形外角性质可计算出． 【详解】解：（1）作，如图1， 平分，平分， ，， ， ， ，， ； （2）作，如图2， 平分，平分， ，， ， ， ，， ． 如图3，平分，平分， ，， ， ， ， ． 如图4，平分，平分， ，， ， ， ， 而， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了平移的性质：解题的关键是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．也考查了平行线的性质． 20．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； (1)填空： °； (2)若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 【答案】(1)90 (2)①；②或 【分析】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据平行线的性质得出即可； （2）①根据平行线的性质得出，根据，得出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出求的度数； ②分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； ②， ， 是的角平分线， ， ， 当点在点左侧时， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6图形的平移重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 生活中的平移现象 题型二 图形的平移 题型三 利用平移的性质求解 题型四 利用平移解决实际问题 题型五 平移 (作图) 题型六 平移综合题（几何变换） 拓展题型一 探究生活中的平移并解决实际问题 拓展题型二 结合平移作图与性质解决几何变换问题 知识点一：平移 1.平移的定义：在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移. 如图，平移△ABC 得到△A'B'C'，其中点A'是点A的对应点，线段A'B'是线段 AB 的对应线段，A'B' =AB，∠A'B'C'是∠ABC 的对应角，∠A'B'C'=∠ABC 射线 BB'的方向就是平移的方向，线段 BB'(或AA'或CC')的长度就是平移的距离. 2.平移的性质：平移前后的图形可以重合；对应线段相等，对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·周测）如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 2．（25-26七年级下·山东青岛·课后作业）如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则 cm． 【经典例题一 生活中的平移现象】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【例2】（24-25七年级下·河南洛阳·课后作业）如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为 平方米． 1．（22-23七年级下·四川广元·期中）下面生活中的现象可以看成平移的是（    ） ①转动的指针②水平传输带上物品的运动③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）④随风摆动的旗帜 A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 2．（25-26七年级下·浙江台州·课后作业）如图，从起点A到终点B有多条路径，其中第一条路径为线段，其长度为a，第二条路径为折线，其长度为b，第三条路径为折线，其长度为c，第四条路径为半圆弧，其长度为d，则这四条路径的长度关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏南京·月考）如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是 ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 【经典例题二 图形的平移】 【例1】（25-26七年级下·山东青岛·课后作业）如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，最小正方形的边长为1，将字母“V”向左平移 格（两个“V”无重叠）后与平移前的图形可以组成字母“W”． 1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川泸州·开学考试）下面的方格图中标出了四个点，将点F（    ）后，再顺次连接四个点可以围成一个平行四边形． A．向左平移1格 B．向左平移2格 C．向右平移1格 D．向右平移2格 3．（22-23七年级下·贵州铜仁·期中）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是 ．    4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）把三角形A向右平移5格，得到三角形B，再将三角形B按扩大，得到三角形C，请在下面方格纸中画出三角形B和三角形C． 【经典例题三 利用平移的性质求解】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（   ） A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 【例2】（25-26七年级下·上海虹口·课后作业）“方胜”是中国古代的一种发饰图案，象征同心吉祥，由两个相同的正方形交错叠合而成、如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图如果平移距离为3，且，那么点到点的距离是 ． 1．（24-25七年级下·贵州·月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为15，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测量测得，则这个剪出的图形的周长是（　　）． A．40 B．44 C．48 D．49 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，．将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移6 cm，得到三角形．已知，，则阴影部分的面积为 ． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·课后作业）如图，在的正方形网格中，点是的边上的一点． (1)将向右平移个单位，再向上平移个单位至，与的位置关系是______； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点E； (4)线段、、这三条线段大小关系是______．（用“”号连接） 【经典例题四 利用平移解决实际问题】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江·月考）如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【例2】（25-26七年级下·山东烟台·课后作业）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ． 1．（23-24七年级下·河南周口·期中）有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ）    A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大 2．（23-24七年级下·浙江金华·课后作业）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（    ） A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 4．（24-25七年级下·湖北十堰·课后作业）如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 【经典例题五 平移 (作图)】 【例1】（25-26七年级下·浙江衢州·课后作业）如图，在边长为1的正方形网格中，将周长为12的格点三角形ABC向右平移，得到三角形DEF（点A、B、C分别对应点D、E、F），则四边形AEFC的周长和面积分别为（    ） A．10，14 B．14，10 C．22，20 D．20，22 【例2】（22-23七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    1．（22-23七年级下·福建厦门·期中）如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A．有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 2．（23-24七年级下·山西吕梁·课后作业）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 3．（23-24七年级下·北京·期中）如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为 ； ②当时，区域内的整点个数为 ． 4．（25-26七年级下·江苏宿迁·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)线段___________线段；（填“>”“<”或“=”） 【经典例题六 平移综合题（几何变换）】 【例1】（25-26七年级下·广西钦州·课后作业）如图，三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O，若∠C的度数为x，则∠A1OC的度数为（    ） A．x B．90°﹣x C．180°﹣x D．90°＋x 【例2】（25-26七年级下·陕西渭南·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是 ． 1．（25-26七年级下·河北衡水·课后作业）如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2； 结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 2．（24-25七年级下·全国·期中）在直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（    ） A．横、纵坐标分别乘以2 B．横坐标不变，纵坐标分别加2 C．横坐标不变，纵坐标变成原来的2 倍 D．横坐标加2，纵坐标乘以2 3．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，已知三角形ABC中，∠ABC=90°，边BC=12，把三角形ABC沿射线AB方向平移至三角形DEF后，平移距离为6，GC＝4，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（24-25七年级下·浙江金华·课后作业）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【拓展训练一 探究生活中的平移并解决实际问题】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·湖北鄂州·期中）某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为40米，则荷塘周长为 米． 1．（23-24七年级下·广东广州·期中）现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北沧州·课后作业）如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形ABC沿着BC方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形DEF，其中AB＝8，BE＝5，DH＝3，则下列结论正确的有（　　） ①AC∥DF； ②HE＝5； ③CF＝5； ④四边形DHCF的面积为32.5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，古城河在处直角转弯，河宽相等，从M处到达N处，须经过两座桥：，，问如何恰当造桥使得M到N路程最短． 【拓展训练二 结合平移作图与性质解决几何变换问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【例2】（2024七年级下·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，将向下平移2个单位长度后再向左平移6个单位长度得到，点A、、的对应点分别为点、、，连接、，则五边形的面积为 ． 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）原来是重叠的两个直角三角形，将其中的一个三角形沿着BC方向平移4个单位长度，就得到如图所示的图形，下列结论：①AC∥DF ②HE＝5 ③CF＝4 ④阴影部分面积为，正确的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·河北邯郸·课后作业）如图，正方形网格中，能由平移得到的线段是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26·七年级下 甘肃酒泉·一模）如图，为坐标原点，是等腰直角三角形，，点的坐标是，将该三角形沿轴向右平移得，此时，点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为 ． 4．（23-24七年级下·安徽滁州·课后作业）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点与点重合，点，分别是，的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接，，则线段与之间的关系是________； (3)点到直线的距离是_______个单位长度． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）脸谱是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术，下列选项中，能由如图所示的脸谱平移得到的图形是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海宝山·月考）下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 3．（24-25七年级下·云南临沧·课后作业）下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·江西·专题练习）图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，把图①放置在如图②所示的的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形．不同的放置方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 5．（25-26七年级下·山东烟台·课后作业）如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（25-26七年级下·上海普陀·课后作业）如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过处向洞口处走，甲走的路线为过点、、、、、、、、的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法判断 7．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲→A→D→乙；②甲→B→D→乙；③甲→B→C→乙，在这三条路线中，走哪条路线近？（    ） A．①最近 B．②最近 C．③最近 D．①②③一样近 9．（25-26·七年级下 江西萍乡·二模）将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①，②，③中的（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（25-26七年级下·山西晋城·课后作业）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在水中行”的美好意境，某公园在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘的周长为240m，且小桥宽忽略不计，则小桥总长为 ． 12．（22-23七年级下·湖北武汉·月考）“俄罗斯方块”是一款风靡全球的经典游戏，某局游戏当前情况如图所示，若上端小正方形移动最短的距离后能形成消除，则共有 种不同的移动方法．    13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线平移后得到直线．若，则 ． 14．（24-25七年级下·湖北孝感·课后作业）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，与相交于点，连接．则（1）与的位置关系是 ；若三角形的面积比三角形的面积大，则（2） ． 15．（25-26七年级下·浙江台州·课后作业）把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为 ． 16．（22-23七年级下·陕西西安·月考）如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 17．（24-25七年级下·河北唐山·期中）直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 19．（25-26七年级下·福建莆田·月考）如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，． （1）若，求的度数； （2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数． 20．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； (1)填空： °； (2)若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $