精品解析：河南省第一中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题

高三内部练 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数在复平面内所对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为复数在复平面内所对应的点为， 所以， 则. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，则. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，故. 4. 已知，且.函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别考虑每一段函数的单调性，并且要保证在分段点处满足单调递减的条件即可求解. 【详解】二次函数，开口朝上，对称轴为， 因为函数在上单调递减， 所以，即 . 所以的取值范围为. 5. 记为等差数列的前项和，若，则数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】因为为等差数列，其前项和是关于的没有常数项的二次函数， 由题意得，解得. 故， 由等差数列前项和公式得， 故，故. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用角的变换，再根据两角差的余弦公式，并且判断角的范围，即可求解. 【详解】，，且，所以， 又因为，，所以 所以， 7. 已知双曲线（，）的右焦点为，过点且斜率为的直线与轴交于点，线段与交于点，且为线段的中点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中点坐标公式代入双曲线方程，得到的二次齐次式来求离心率. 【详解】 设双曲线右焦点，其中，离心率， 则过点斜率为的直线方程为， 直线交轴于，令得，故， 因为是中点，由中点坐标公式得点， 由点在双曲线上，代入得：  ， 整理得：， 令，则，，故， 代入得： ， 设， 整理得一元二次方程：，解得：或（舍去）, 即, 因此双曲线离心率为. 8. 在不透明的盒子中有大小、质地均相同的5个球，其中有2个红球，3个白球，若每次随机不放回地从盒子里拿出一个球，直到把球拿完，则在第四次拿到的是白球的条件下，第二次拿到的是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设事件：第二次取红球，事件：第四次取白球，根据条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：第二次取红球，事件：第四次取白球， 则第四次抽到白球的概率， 第二次拿到红球的概率为，在第二次已经拿走一个红球的情况下，第四次拿到白球的概率为， 所以第二次拿到红球且第四次拿到白球的概率， 由条件概率公式. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为原点，直线过点，，，则（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为8 C. 点到距离的最小值为1 D. 点到距离的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用反例判断A，利用柯西不等式判断B，结合趋势判断C，根据B中结果判断D. 【详解】直线过点，则， A选项中，，可正可负， 若，则，因此A错误， B选项中，由柯西不等式得：， 当且仅当时取等号，因此的最小值为8，B正确， C、D选项中， 原点到直线的距离， 若，则，， 最小值小于1，因此C错误， 由B可知，因此， 当且仅当时取等号，即距离的最大值为，D正确. 【点睛】本题关键在于利用直线过点得到，再结合柯西不等式以及点到直线距离公式求解. 10. 已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径得到圆，圆上有一点.过点的直线与交于，两点，与圆另交于点，则（ ） A. B. 当时，的横坐标为2 C. 当时， D. 【答案】AB 【解析】 【分析】写出圆的方程，利用给定点求出判断A；设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线定义求解判断BCD. 【详解】抛物线的焦点为，圆方程为， 对于A，由点在圆上，得，而，则，A正确； 抛物线的焦点为，设直线方程为，， 由对称性不妨令点在第一象限，由，得，， 对于B，由，得，解得，，B正确； 对于C，由选项B得点，直线斜率，即， 则，而，因此，C错误； 对于D，， ，圆的弦， 因此不一定小于0，D错误. 11. 已知函数的定义域为，且及其导函数的图象在定义域内均为连续不断的曲线，若存在开区间（其中不为空集），使得在区间上的值域与在区间上的值域相同，则称为可去函数，则（ ） A. 存在，为可去函数 B. 对任意，为可去函数 C. “是可去函数”是“存在，使得”的充要条件 D. “不是可去函数”是“任意，使得”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A项，，其中， 当时，有两实根，， 函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，值域为且， 取，则，其值域仍为，故是可去函数，故A正确； 对于B项，， 当时，当时，，，， 当时，，，， 则恒成立，在上单调递增，不是可去函数，故B错误； 对于C项， 常数函数是可去函数，取任意开区间，的值域仍为， 但，不存在，使得，故C错误； 对于D项，必要性：若严格单调递增，则去掉任何开区间后其值域是原函数值域的真子集， 故不是可去函数，必要性成立， 不充分性：反例（严格单调递减），不是可去函数， 但不满足 “任意，使得”，故 “不是可去函数” 不能推出 “严格单调递增”，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（）的最小正周期为，则____. 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，得到， 所以， 所以. 13. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用坐标法，根据，求点的坐标，再代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点，为轴的正方向，过点作轴，建立空间直角坐标系， ，，，， 设，，, 因为，所以，得， 此时，，所以 14. 已知定义在上的函数和及其导函数和在上的图象均为一条连续不断的曲线，且，若，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据题意，求得代入得，得到为常数，根据题意，求得，得到，求得，即可求解. 【详解】设，可得， 因为， 代入得， 所以为常数， 因为，可得， 所以对于任意都成立，即， 又由，可得，所以， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记椭圆（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一象限内交于点，且，，的面积为1. （1）求的标准方程； （2）求的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义得到，再利用的面积结合勾股定理得到，即可得到椭圆方程； （2）由利用向量法，得到点坐标满足，与椭圆联立即可得到点坐标，即可求出直线的斜率. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又因为的面积为1， 所以，即， 由勾股定理， 即， 即，得到，则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设 ，， 则，， 因为，所以， 即，即. 联立方程，解得，，所以， 所以直线的斜率. 16. 某工厂采用了两种不同的冷却工艺生产零件，现从生产的零件中随机抽查了100个零件得到下面列联表，已知风冷工艺组的达标率恰好等于70%. 单位：个 类型 达标情况 合计 达标 未达标 水冷工艺 40 10 50 风冷工艺 50 合计 100 （1）补充表格中的数据； （2）根据小概率值的独立性检验，分析能否认为不同的冷却工艺与是否达标有关联. 附：，其中. 附表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 类型 达标情况 合计 达标 未达标 水冷工艺 40 10 50 风冷工艺 35 15 50 合计 75 25 100 （2）根据小概率值的独立性检验，认为不同的冷却工艺与是否达标无关联. 【解析】 【分析】（1）根据列联表的性质直接求解即可； （2）根据卡方的计算公式求解卡方，即可与临界值比较作答. 【小问1详解】 因为风冷工艺组的达标率恰好等于70%， 所以风冷工艺组的达标人数为 ， 所以补充后的完整表格如下： 类型 达标情况 合计 达标 未达标 水冷工艺 40 10 50 风冷工艺 35 15 50 合计 75 25 100 【小问2详解】 零假设 ​：不同的冷却工艺与是否达标无关联. ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即不同的冷却工艺与是否达标无关联. 17. 已知数列满足，. （1）证明：是等比数列. （2）设函数. （i）证明：； （ii）求. 参考公式：. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列定义推理得证. （2）（i）求出，利用分组求和法及等差数列、等比数列前项和公式，借助放缩法推理得证；（ii）求出函数的导数及的表达式，再利用分组求和法、错位相减法及给定求和公式求解. 【小问1详解】 由，得， 由，得，， 故数列是首项为1，公比为2的等比数列. 【小问2详解】 （i）由（1）得数列的通项，其前项和， 当时， ，当时，， 所以. （ii）对函数 求导得， 则 ， 令， 则， 两式相减得， 因此， 所以. 18. 如图，在直三棱柱中，底面，且，设，点是棱的中点，点是棱的中点. （1）证明：； （2）设点是棱上的一个动点（不含端点），记直线与平面所成的角为.若存在最大值，求的取值范围. 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直三棱柱可求出线面垂直，由线面垂直可求出线线垂直； （2）以为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出各点的坐标，求出来，设平面的法向量为，直线与平面所成的角满足，要使最大，即存在最大值，令，所以，设，对其求导，根据导函数最值即可求解. 【小问1详解】 又因直三棱柱， 所以平面，平面, 故，因为，且点是棱的中点， 所以可得，而， 所以可得平面，而平面， 所以可得. 【小问2详解】 以为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则可知， ， 设，则， 设平面的法向量为，则， 故，令，所以， 直线与平面所成的角满足， 所以， 令，所以， ， 要使存在最大，即存在最大值，设， ， 令，可得， 当，，所以单调递增， 当，，所以单调递减， 所以在取的最大值， 要使存在最大值，则需要， 因为，所以可得，即， 所以. 19. 已知函数，其中 （1）证明：在区间上存在唯一的极小值点； （2）若极小值，证明：； （3）当有两个不同的零点时，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)先求导，再利用导函数的单调性和零点存在性定理可作出证明； (2)先构造函数，求导证明其单调性，即可解不等式； (3)利用换元法，把要证明的不等式转化为极值点偏移问题，从而可得到证明. 【小问1详解】 的定义域为，求导得， 因为，，均是上的增函数，所以在上单调递增． 又，当时，， 根据零点存在定理，存在唯一的，使得． 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在区间上存在唯一的极小值点； 【小问2详解】 由，且， 所以， 构造函数，则， 因为，所以， 即在上单调递减， 又因为，所以的解为； 【小问3详解】 由，可得，等价于． 由两边取对数得， 令，则，代入化简得， 设，则， 由在上都是减函数， 在上单调递减， 又因为，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 有两个不同的零点，等价于方程有两个不同的实数根，， 其中，． 不妨令，则由的单调性可知， 要证明，即，，即． 因为，所以，而，又在上单调递减， 只需证明，即证明对任意成立． 设，， 则． 由， 构造函数， 求导得：， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，则有， 即可证得：，当且仅当时，等号成立， 所以当时，有，，所以， 因此，当时，恒成立，在上单调递减， 所以当时，有 ， 即， 也即．故原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三内部练 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数在复平面内所对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，且.函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 记为等差数列的前项和，若，则数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线（，）的右焦点为，过点且斜率为的直线与轴交于点，线段与交于点，且为线段的中点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在不透明的盒子中有大小、质地均相同的5个球，其中有2个红球，3个白球，若每次随机不放回地从盒子里拿出一个球，直到把球拿完，则在第四次拿到的是白球的条件下，第二次拿到的是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为原点，直线过点，，，则（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为8 C. 点到距离的最小值为1 D. 点到距离的最大值为 10. 已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径得到圆，圆上有一点.过点的直线与交于，两点，与圆另交于点，则（ ） A. B. 当时，的横坐标为2 C. 当时， D. 11. 已知函数的定义域为，且及其导函数的图象在定义域内均为连续不断的曲线，若存在开区间（其中不为空集），使得在区间上的值域与在区间上的值域相同，则称为可去函数，则（ ） A. 存在，为可去函数 B. 对任意，为可去函数 C. “是可去函数”是“存在，使得”的充要条件 D. “不是可去函数”是“任意，使得”的必要不充分条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（）的最小正周期为，则____. 13. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 14. 已知定义在上的函数和及其导函数和在上的图象均为一条连续不断的曲线，且，若，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记椭圆（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一象限内交于点，且，，的面积为1. （1）求的标准方程； （2）求的斜率. 16. 某工厂采用了两种不同的冷却工艺生产零件，现从生产的零件中随机抽查了100个零件得到下面列联表，已知风冷工艺组的达标率恰好等于70%. 单位：个 类型 达标情况 合计 达标 未达标 水冷工艺 40 10 50 风冷工艺 50 合计 100 （1）补充表格中的数据； （2）根据小概率值的独立性检验，分析能否认为不同的冷却工艺与是否达标有关联. 附：，其中. 附表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知数列满足，. （1）证明：是等比数列. （2）设函数. （i）证明：； （ii）求. 参考公式：. 18. 如图，在直三棱柱中，底面，且，设，点是棱的中点，点是棱的中点. （1）证明：； （2）设点是棱上的一个动点（不含端点），记直线与平面所成的角为.若存在最大值，求的取值范围. 19. 已知函数，其中 （1）证明：在区间上存在唯一的极小值点； （2）若极小值，证明：； （3）当有两个不同的零点时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $