2.1一元一次不等式同步练习 2025～2026学年北师大版数学八年级下册

数学2.1《一元一次不等式》同步练习2025~2026北师大版八下 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．为一切实数 3．不等式在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中错误的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的整数解有无数个 5．关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 6．为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了25道选择题，答对1道得4分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于90分，则他至少要答对的题数是（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 7．九年级几名同学拍了一张合影．已知冲一张底片需要20元，洗一张相片需要5元．在每名同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不超过6元，那么参加合影的同学人数（   ） A．至少为20 B．至多为20 C．至少为19 D．至多为19 8．育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 9．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知有理数满足，在数轴上，表示数和的点之间只有两个整数，（不包括与），下面有四个结论：①的值可以是1；②；③；④的取值范围是，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①② C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 12．若是关于的一元一次不等式，则____________． 13．一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙的体重分别为和，货物每箱质量为，两人一起乘梯，则每次最多搬运_____箱货物． 14．公共汽车上有个座位，车上已有人坐在座位上，在某站又上来人，有一部分人无座位，则可列不等式为______． 15．茶叶采摘之后需要经历摊晾、杀青、揉捻、干燥等环节才能制作成我们平时所喝的茶叶．已知生产1千克成品毛尖需要鲜茶叶毛尖4千克，生产1千克成品银针需要鲜茶叶银针3.5千克．若某一天生产了成品茶叶共20千克，所使用的现摘茶叶不超过75千克，则生产出的成品毛尖至多为__________千克． 16．五一劳动节假期来临之际，各大超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表：已知购买礼盒所需费用（单位：元）与数量（单位：盒）之间成函数关系，李明通过计算发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了_____盒． 甲 乙 销售 方案 每盒标价420元 每盒标价480元，若购买数量超过3盒，则超出部分打八折 三、解答题 17．解不等式：． 18．（1）解方程：； （2）解不等式：． 19．（1）计算：； （2）解不等式：． 20．下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得         第一步 移项，得                第二步 合并同类项，得                第三步 x系数化为1，得               第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)在解答过程中，从第___________步开始出错． (2)写出原不等式的正确解法． 21．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 22．某班将买一些小型打气筒和气球，现了解情况如下：甲、乙两家出售同样品牌的打气筒和气球，打气筒每个定价40元，气球每盒10元，经洽谈后，甲店每买一个打气筒赠一盒气球；乙店全部按定价的9折优惠，该班需买打气筒6个，气球若干盒（不少于6盒）． (1)当购买气球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ (2)如果只去一家店购买，怎么购买更合算？ (3)当班主任让购买46盒气球时，你有更省钱的方案吗？若有，请写出你的购买方案，并计算所需费用． 23．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将6000ml的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． (3)已知该校在校师生共1970人，平均每人每天需使用10ml的免洗手消毒液．若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，且两种都必须购买，则这批消毒液最多可使用多少天？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《数学2.1《一元一次不等式》同步练习2025~2026北师大版八下》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C D D A D C B 1．C 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 2．B 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数这一性质，列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． ∴对于，有． ∴解得． 故选：B． 3．A 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】大于向右画，没有等号用空心圆圈来表示． 【详解】解：不等式在数轴上表示正确的是， 选项A符合题意． 4．C 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解、不等式的性质 【分析】本题考查不等式的解与解集的概念，通过代入验证或解不等式即可判断各选项正误． 【详解】解：∵将代入不等式，得，成立， ∴是不等式的解， A说法正确，不符合题意； ∵将代入不等式，得，成立， ∴是不等式的一个解， B说法正确，不符合题意； ∵解不等式，解得，不是， ∴C说法错误，符合题意； ∵不等式的整数解包括所有小于10的整数，有无数个， ∴D说法正确，不符合题意. 5．D 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】先解不等式可得，再根据题意可得不等式的解集为，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得，， 由题意得：不等式的解集为， ∴， 解得． 6．D 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设答对题数为，则答错或不答题数为，根据得分规则列出不等式并求解． 【详解】解：设答对题数为，则答错或不答题数为， 依题意得：， 解得：， 故至少需答对题， 故选：D． 7．A 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】设同学人数为，根据总费用和平均分摊费用不超过6元，建立不等式求解． 【详解】解：设参加合影的同学人数为， ∵ 总费用为元，平均每人分摊费用为元， ∵ 平均每人分摊费用不超过6元， ∴ ， 化简得， ∴ ， ∴ ， 故参加合影的同学人数至少为20人． 故选：A． 【点睛】本题考查的是不等式的运用，解此类题目时常常是先设出未知数，再根据题意列出不等式、求解． 8．D 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了不等式的应用． 根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不等关系，对应选项判断即可． 【详解】解：设租36座的车x辆， 由题意得， 故选：D． 9．C 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】先分别解两个不等式，得到第一个不等式的解集为 ，第二个不等式的解集为 ．由题意，所有满足第一个不等式的 都满足第二个不等式，因此需要 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， ， ， ， 两边同乘 3 得 ， ， ， ∴ . 解不等式 ， ， ， ， 两边同除以-4，不等号方向改变， . ∵ 对于 的每一个值，都能使 成立， ∴ ， 两边同乘 10 得 ， ， ， ∴ . 因此， 的取值范围是 ， 故选： C． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于的不等式是解此题的关键． 10．B 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了数轴的相关知识点，解一元一次不等式，有理数的乘法，有理数的加法，由题意可得，从而得出其中一个整数为，另一个整数为或，若另一个整数为 1，则需，但此时，包含了整数，不符合题意；进而可得另一个整数只能为，则需，，，解得，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵在数轴上，表示数和的点之间只有两个整数，（不包括与）， ∴其中一个整数为，另一个整数为或， 若另一个整数为 1，则需，但此时，包含了整数，不符合题意； ∴另一个整数只能为，则需，，，解得：， ①的值可以是1，原说法正确； ②，原说法正确； ③，原说法错误； ④的取值范围是，原说法错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：B． 11．/ 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意可得，，解得． 即实数的取值范围是． 12． 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义． 根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为，且系数不能为，由此建立方程和不等式求解． 【详解】解：由题意得： 且． 解得： 故答案为： 13． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查不等式的应用，准确理解题意，列出并求解对应不等式是解题的关键． 电梯限载量减去甲、乙两人体重之和，得到可用于搬运货物的最大重量，再除以每箱货物质量，取整数部分即为最多搬运箱数． 【详解】解：设每次搬运箱货物，则总重量为， 根据限载量，有不等式， 解不等式得， ∵为整数，故最大值为， 故答案为． 14． 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列不等式．根据题意，空座位数为，上来人后，若有人无座位，则大于空座位数，进而列出不等式． 【详解】解：公共汽车上座位总数为，已有人占用座位，又上来人，则空座位数为，若有一部分人无座位，则表明上来的人数大于空座位数，即． 故答案为：． 15．10 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】根据成品茶叶总质量表示出成品银针的质量，再结合鲜茶叶使用量不超过75千克的条件，列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设生产出的成品毛尖为千克，则生产出的成品银针为千克． 根据题意，得． 去括号，得． 合并同类项，得． 移项，得． 计算得． 系数化为1，得． 故生产出的成品毛尖至多为10千克． 16．9 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握根据题意列不等式求解是解题的关键． 根据甲、乙两超市的销售方案，列出购买费用关于数量的函数关系式，乙超市的费用为分段函数，由于乙超市更划算，需满足且乙超市费用小于甲超市费用，解不等式即可得到的取值范围，从而确定最小整数解． 【详解】解：设购买数量为盒，为正整数，甲超市的费用为， 乙超市的费用：当时，；当时，， 由题意，在乙超市购买更划算，因此且， 解不等式，得，即， 所以，至少为， 故答案为：9． 17． 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了一元一次不等式的求解．按一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可求解，注意系数化为1时变号． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 18．（1）；（2） 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （2）移项，合并，系数化为1，进行求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， ． 19．（1）1；（2） 【知识点】含乘方的有理数混合运算、求一元一次不等式的解集 【详解】解：（1）原式   ； （2）解：； 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 20．(1)第一步 (2) 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解不等式，求不等式的解集，用数轴表示不等式的解集，正确的求出不等式的解集，是解题的关键： （1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可． 【详解】（1）解：第一步 （2）解：去分母，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得. 21．(1)； (2)； (3)不存在． 【知识点】整式乘法混合运算、几何问题(一元一次方程的应用)、求一元一次不等式的解集 【分析】把和分别用含的代数式表示出来，再求它们的差得到根据是正整数可得，所以可知； 根据、可得：，解不等式求出从而得到的最大值为； （3）根据得到关于的方程，求解得出，因为正整数，所以不存在这样的值． 【详解】（1）解：， ， ， 是正整数， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， 解得：， 的最大值为； （3）解：不存在， 理由如下： 如下图所示， ， ， ， ， 整理得：， 解得： 为正整数， 不存在使得． 【点睛】本题主要考查了列代数式、解一元一次方程、整式的乘法、作差法比较两数的大小． 22．(1)购买36盒气球时两种优惠办法付款一样． (2)购买气球少于36盒时，去甲家购买合算，当购买气球大于36盒时，去乙家购买合算，购买气球等于36盒时，去甲、乙两家购买一样合算， (3)先去甲家购买打气筒6个，余下的气球到乙家购买，此方案最省钱，为600元； 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设购买x盒气球时，两家优惠办法付款一样．根据题意列出方程求解即可， （2）设购买x盒气球，列出不等式求解即可； （3）先去甲家购买打气筒6个，则送6盒气球，余下的气球到乙家购买． 【详解】（1）设购买x盒气球时，两家优惠办法付款一样． 由题意得：， 解得：． 答：购买36盒气球时两种优惠办法付款一样． （2）设购买x盒气球， 当去甲家购买比去乙之家购买合算时． 由题意得：， 解得：． 答：购买气球少于36盒时，去甲家购买合算，当购买气球大于36盒时，去乙家购买合算，购买气球等于36盒时，去甲、乙两家购买一样合算， （3）能，购买方案如下： 先去甲家购买打气筒6个，则送6盒气球，需付款元， 余下的气球到乙家购买，需付款元， 总付款为元， 此方案最为节省． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用及最佳方案选择问题，弄清题意是解本题的关键． 23．(1)甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元 (2)方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶， 3个最大容量500ml的两种空瓶；方案2：购买10个最大容量300ml的空瓶， 6个最大容量500ml的两种空瓶；方案3：购买:5个最大容量300ml的空瓶， 9个最大容量500ml的两种空瓶． (3)这批消毒液最多可使用5天 【知识点】求一元一次不等式解的最值、方案问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的两种空瓶，根据要分装的免洗手消毒液共6000ml，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为正整数，即可得到各购买方案． （3）设购买m瓶甲种免洗手消毒液，购买的这些消毒液可使用w天，则购买乙种免洗手消毒液，利用使用时间=购买免洗手消毒液的总量÷（全校师生人数×10），即可得出w关于m的关系式，再利用性质及m，均为正整数，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元． 依题意得： 解得： 答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元． （2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的两种空瓶． 依题意得： ∴ 又∵a、b均为正整数 ∴ ∴共有3种购买方案 方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶， 3个最大容量500ml的两种空瓶． 方案2：购买10个最大容量300ml的空瓶， 6个最大容量500ml的两种空瓶． 方案3：购买:5个最大容量300ml的空瓶， 9个最大容量500ml的两种空瓶． （3）解：设购买m瓶甲种免洗手消毒液，购买的这些消毒液可使用w天，则购买乙种免洗手消毒液． 依题意得： ∵ ∴w随m的增大而减小 又∵m，均为正整数 ∴当时，w取得最大值，最大值= 答：这批消毒液最多可使用5天． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $