精品解析：安徽省江南十校2026届高三下学期综合素质检测数学试题

2026届高三综合素质检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由并集的定义可得. 2. 已知是虚数单位，复数，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因,故，所以应选C． 考点：复数的有关概念及运算． 3. 数据35，54，46，36，73，85，60，89的第75百分位数为（ ） A. 79 B. 54 C. 50 D. 41 【答案】A 【解析】 【分析】由百分位数的计算公式直接求解即可. 【详解】第一步，将数据从小到大排列为：35，36，46，54，60，73，85，89 第二步，， 第三步，由于为整数，故第75百分位数为排序后第6个数与第7个数的平均数，即， 即第75百分位数为79. 4. 2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min） A. B. C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由汽车实际行驶方向应与两岸垂直，结合向量加法的平行四边形法则，即可求解. 【详解】设点B是长江对岸一点，与江岸垂直，当汽车实际沿方向行驶时，航程最短. 设汽车的速度，水流的速度，实际速度. 由图可知， . 则航行时间为（min）. 5. 已知双曲线，在双曲线左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线的离心率的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的数量积确定，进而得到渐近线夹角，即可求解. 【详解】任取双曲线C左支上两个不同的点都有 . 即， 即对左支上任取两个不同的点， 设分别为两条渐近线上的两点， 由图可知，由于对左支上任取两个不同的点，需满足， 所以， 即双曲线两渐近线的夹角， . 即双曲线的离心率的最大值为. 6. 若为正实数，且有，则下列大小关系中一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算法则，将问题转化为函数与的交点横坐标大小问题，可得结论. 【详解】易知, 即，所以， 令， 在同一个坐标系下考察函数与的交点，如下图： 由图可知当时，；当时，；当时，， 所以A一定不成立. 7. A4纸是生活中最常用规格的纸.A系列纸张命名规则：①一张型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张型号纸张，比如，一张纸对裁后可以得到两张纸，一张纸对裁后可以得到两张纸；②一张型号的纸张面积是1平方米，A10纸是ISO国际标准中最小的纸张规格；③所有Ai型号的纸的长宽比相等.现从A0到A10，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（ ）（单位：米） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设纸的宽和长分别为，由所有Ai型号的纸的长宽比相等，结合的面积求得，再结合等比数列求和公式即可求解. 【详解】设纸的宽和长分别为， 则 ， ， ， . 8. 如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，则实数的值为（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作出公共切线，并过作射线轴，则由抛物线的光学性质可得，再利用抛物线定义计算可得点坐标，最后利用直线的斜率计算即可得. 【详解】如图，作出抛物线C和圆E在点处的公共切线，同时过作射线轴， 则有，由抛物线的光学性质，可得， ， 且， 又，代入得，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若成对样本数据都落在一条斜率存在且不为0的直线上，则变量和变量的样本相关系数满足 B. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 数据的平均数和方差分别为和，数据的平均数和方差分别为和，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若，则必有 【答案】AB 【解析】 【分析】由相关系数的概念可判断A，根据独立得到，由事件互斥，可判断B，由卡方计算公式可判断C，通过举反例可判断D. 【详解】由相关系数的概念可知A正确， 对于B选项，若事件相互独立，则， 若事件互斥，则，矛盾， 故事件相互独立与互斥不能同时成立，故B正确， 对于C，因为，当扩大到原来的10倍， 则的值也扩大10倍，则得到的结论会受到影响，C错误. 对于D，由总平均数， 可得，即或， 取，数据，得； 取，数据，得， 此时满足， 计算总方差， 而，显然，不等式不成立，D错误. 10. 如图，已知正方体的棱长为2，和相交于点为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（ ） A. B. 与所成角的正弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 多面体的内切球半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过几何性质（等边三角形三线合一）、构造辅助线结合余弦定理、等体积法求点面距离、正八面体体积与表面积公式结合内切球半径公式，逐一验证各选项的正确性. 【详解】对于A，因为是等边三角形，且是中点，所以，A正确； 对于B，在正方体右侧补一个同样的正方体， 作的中点，连，， 易得，所以为与所成的角（或补角）， ，，， ， ，B错； 对于C，点是的中点，所以点到平面的距离是点B到平面的距离的一半， 又平面，设垂足为，利用等体积法， ， 高为点到平面的距离，即正方体的棱长 ， ， 底面是等边三角形，边长为，面积为：， 高为点到平面的距离，即，， 令两个体积相等：， 正方体的体对角线，因此：，故， 故点到平面的距离为，C正确； 对于D，易知是正八面体，棱长为， 体积：正八面体可看作两个正四棱锥，底面积，高，， 表面积：每个面是边长为的正三角形，面积，， 对于多面体，内切球半径公式为，，D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 在区间上单调递增 D. 的零点构成的集合是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由周期函数的定义可判断，对于B，由对称中心的概念可判断，对于C，通过特殊函数值可判断，对于D，通过二倍角公式和三倍角公式化简解析式得到，再通过恒成立，可判断D. 【详解】对于A：，不恒成立，A错误； 对于B：，所以的图象关于点中心对称，B正确； 对于C：因为，， 而， 所以在区间上单调递增不成立，C错误， 对于D：利用三角恒等变换化简： ， ，   对二次式，判别式，且开口向上， 因此该式恒大于0，故当且仅当，即， 所以的零点构成的集合是，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【详解】设与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为， 所以，所以. 13. 已知分别为三个内角的对边，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，求得角，再由结合，即可求解. 【详解】由正弦定理：， ， ， 所以 ，则， ，， 又， 则， 又， . 14. 有一个摸奖游戏，在一个不透明的口袋中装有大小相同的3个红球和5个白球，红球分别标有数字1，2，3，白球分别标有数字1，2，3，4，5，若一次性从袋中摸出三个球，摸到三个球同色或摸到三个球数字之和为3的倍数就中奖，则中奖的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：确定总的基本事件个数，再求得符合中奖的基本事件个数，由古典概型概率公式即可求解；法二：由容斥原理确定中奖所含基本事件个数，结合古典概型概率公式即可求解. 【详解】方法一：摸球总的方法数是种，把符合条件的摸球情况分四类： 第一类：全红有种； 第二类：2红1白， 若红球摸1+2号，白球只能是3号（1种）； 若红球摸1+3号，白球可以是2或5号（2种）； 若红球摸2+3号，白球可以是1或4号（2种），故第二类共1+2+2=5种； 第三类：1红2白， 若红球摸1号，白球可以是1+4号、2+3号、3+5号（3种）， 若红球摸2号，白球可以是1+3号、2+5号、3+4号（3种）， 若红球摸3号，白球可以是1+2号、1+5号、2+4号、4+5号（4种），故第三类共种； 第四类：全白有种； 故所求概率为. 方法二：按照容斥原理计算 （1）三个球同色的方法数：， （2）“三个球数字之和为3的倍数的方法数，分三种情况： 第一种：和为6的：型有型有1种， 第二种：和为9的：型有种； 型有种； 型有种； 第三种：和为12的：型有种， 所以三个球数字之和为3的倍数的方法数共20种， 三个球同色且数字之和为3的倍数， 其中3个红球的情况有1种（和为6）； 3个白球的情况有共4种， 所以交集共种， 故共有种， 故所求概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出关于首项和公差的方程，求解首项和公差即可解题； （2）由（1）确定通项公式，通过裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 数列为等差数列，设首项为，公差为对恒成立， 必有， 所以，解得 所以 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 . 16. 托马斯.贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：设，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理）.其中称为事件的全概率. （1）假设这3台车床型号相同，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱，然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品，求它是从第二箱中取出的概率. 【答案】（1） 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 期望 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意确定服从二项分布，即可求解； （2）设“任取一个零件为次品”“零件是从第箱取出的”，由全概率公式求得，再由贝叶斯公式即可求解. 【小问1详解】 设，由题意知： 所以的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 . 【小问2详解】 设“任取一个零件为次品”， “零件是从第箱取出的”，则且， 由题意知：，， 由全概率公式： ， 由贝叶斯公式知： . 17. 已知梯形，现沿对角线翻折，如图，分别为线段的中点. （1）证明：； （2）当折成直二面角时，求线段的长度； （3）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，通过证明平面，即可求证； （2）法一：作于，通过，先求得即可，法二：以所在直线为轴建系.结合向量模长公式即可求解； （3）求得平面的法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 证明：连接，则. 平面 平面 平面 【小问2详解】 方法一：由（1）可知，为二面角的平面角， 由题意平面，作于，则平面. 平面. 中，. . . 方法二：由（1）可知，为二面角的平面角， 由题意 以所在直线为轴建系. . 【小问3详解】 .在平面内过作， 由（1）知平面平面面 以所在直线为轴建系. . 设平面的法向量为， 则， 得：令，则. 易知平面的法向量 所求平面与平面夹角的余弦值为. 18. 如果点在运动过程中，总满足关系式设点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若点，，为轨迹上一点（不在坐标轴上），设点，分别为的内心和重心， ①证明：所在的直线与轴平行； ②过作直线与轨迹交于点，，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） ①由（1）知，为椭圆：的焦点，所以，， 由对称性，不妨设点在轴右侧，设内切圆半径为. 则，，所以，即. 又为的重心，所以. 所以与轴平行. ② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可. （2）①结合三角形内心及重心的性质证明出，横坐标相同即可得到所在的直线与轴平行. ②设出点坐标，求出，根据为重心求出点坐标；结合内心的性质及三角形面积公式得到，进而得到，求出坐标，结合向量关系求出点坐标；设出直线方程及，，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出，即可求出三角形面积表达式，结合点范围求解即可. 【小问1详解】 由椭圆的定义，点的轨迹是以,为焦点，长轴的椭圆. 所以点的轨迹方程为：. 【小问2详解】 ①略 ②设延长线交轴于点. 设点，则，. 则. 同理可得. 因为为的内心，结合三角形面积公式可得，， 即，也即，所以，则. 又，所以. 设，，则，所以. 设，则直线， 即. 设，联立，整理得， 则， 所以，所以. 又， 所以， 又，且，所以，所以，即. 所以面积的取值范围为. 19. 函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若在上没有零点，求实数的取值范围； （3）当时，设，若，满足，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入并对函数求导，得出切线斜率，再由点斜式方程即可求出切线方程； （2）将函数无零点问题转化为方程在上无解，求出函数的值域可求得实数的取值范围； （3）易知，对函数求导得出的单调性，利用分析法先证，再证，构造函数并结合隐零点问题即可证明得出结论. 【小问1详解】 当时，. 所以有， 所以函数在处的切线方程为， 即 【小问2详解】 由题意，在上没有零点，等价于方程在上无解， 因为； 即等价于方程在上无解， ，即等价于方程在上无解， 等价于方程在上无解，等价于方程在上无解. 设，原题等价于关于的方程在上无解. 设， 则 当时，，则， 对恒成立，则在上单调递减， 又， 故满足题意的实数的取值范围为. 【小问3详解】 当时，， 则 令得，即， 又，则存在唯一的使得 且 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又， 要使且，必有， 则必有 ①先证：. ，且在上单调递减， 要证 只需证即可，又， 故只需证对恒成立即可， 只需证 而， 只需证，即只需证对恒成立即可，这显然成立， 故有； ②再证：. 必有， 又当时，在上单调递减，则有. 而当时，， 令， 则 令，等价于，方程有唯一解，记为，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 又， 即当时，必有，与题意不符， 所以要使，且，必有， 综合①②可得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三综合素质检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，复数，则 A. B. C. D. 3. 数据35，54，46，36，73，85，60，89的第75百分位数为（ ） A. 79 B. 54 C. 50 D. 41 4. 2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min） A. B. C. 6 D. 12 5. 已知双曲线，在双曲线左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线的离心率的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 6. 若为正实数，且有，则下列大小关系中一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. A4纸是生活中最常用规格的纸.A系列纸张命名规则：①一张型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张型号纸张，比如，一张纸对裁后可以得到两张纸，一张纸对裁后可以得到两张纸；②一张型号的纸张面积是1平方米，A10纸是ISO国际标准中最小的纸张规格；③所有Ai型号的纸的长宽比相等.现从A0到A10，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（ ）（单位：米） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，则实数的值为（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若成对样本数据都落在一条斜率存在且不为0的直线上，则变量和变量的样本相关系数满足 B. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 数据的平均数和方差分别为和，数据的平均数和方差分别为和，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若，则必有 10. 如图，已知正方体的棱长为2，和相交于点为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（ ） A. B. 与所成角的正弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 多面体的内切球半径为 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 在区间上单调递增 D. 的零点构成的集合是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 13. 已知分别为三个内角的对边，且，则___________. 14. 有一个摸奖游戏，在一个不透明的口袋中装有大小相同的3个红球和5个白球，红球分别标有数字1，2，3，白球分别标有数字1，2，3，4，5，若一次性从袋中摸出三个球，摸到三个球同色或摸到三个球数字之和为3的倍数就中奖，则中奖的概率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 托马斯.贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：设，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理）.其中称为事件的全概率. （1）假设这3台车床型号相同，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱，然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品，求它是从第二箱中取出的概率. 17. 已知梯形，现沿对角线翻折，如图，分别为线段的中点. （1）证明：； （2）当折成直二面角时，求线段的长度； （3）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如果点在运动过程中，总满足关系式设点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若点，，为轨迹上一点（不在坐标轴上），设点，分别为的内心和重心， ①证明：所在的直线与轴平行； ②过作直线与轨迹交于点，，且，求面积的取值范围. 19. 函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若在上没有零点，求实数的取值范围； （3）当时，设，若，满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $