精品解析：广西壮族自治区来宾高级中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

2028届高一（下）数学（1） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A 向量与模相等 B. 两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C. 只有零向量的模等于0 D. 零向量没有方向 3. 如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 函数的定义域为 A. （－∞,3] B. （1,3] C. （1,＋∞） D. （－∞,1）∪[3,＋∞） 5. 已知非零向量与夹角为，则“”是“为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知和的夹角为，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. -1 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量满足，向量的夹角为60°，且，则向量的夹角为（　　　　） A. 120° B. 150° C. 60° D. 30° 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）设，是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 下列说法正确有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 不等式的解集是 C. 若，则的最小值为 D. 函数的值域是 11. 若实数a，b满足，则（ ）． A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 13. 已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是______ 14. 如图，在中，是中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知平面向量，且． （1）求和的坐标； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 17. 已知向量，，函数. （1）求函数单调递增区间； （2）求函数在上的最大值和最小值以及对应的的值. 18. 如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合） （1）求和的值； （2）证明：为定值； （3）求的最小值，并求此时的，的值． 19. 已知向量，，函数，其中． （1）若，求的对称中心； （2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在且上恰好有8个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一（下）数学（1） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合，进而求得. 【详解】，解得， 所以，所以. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 向量与模相等 B. 两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C. 只有零向量的模等于0 D. 零向量没有方向 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反向量和相等向量的定义得出选项A、B，然后根据零向量的定义得出选项C、D. 【详解】向量与互为相反向量，所以向量与的模相等，故A选项正确； 如果两个相等向量的起点相同，则它们终点必相同，故B选项正确； 根据向量模的定义，只有零向量的模等于0，故C选项正确； 零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D选项不正确； 故选：D. 3. 如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A. 与 B. 与 C 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】利用相等向量的概念一一判断. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以互相平分. 对于A：与不平行，不可能相等，故A错误； 对于B：与大小相同，方向相反，故B错误； 对于C：与不平行，不可能相等，故C错误； 对于D：大小相等，方向相同．即与是相等的向量． 故选：D 4. 函数的定义域为 A. （－∞,3] B. （1,3] C. （1,＋∞） D. （－∞,1）∪[3,＋∞） 【答案】B 【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0 ,对数式的真数大于0联立不等式组求解. 【详解】要使函数有意义， 则， 解得， 函数的定义域为，故选B. 【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 5. 已知非零向量与的夹角为，则“”是“为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件定义判断． 【详解】为锐角时，，因此是必要的， 时，，满足，但不是锐角，因此不充分，故是必要不充分条件， 故选：B． 6. 已知和的夹角为，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律及数量积的定义即得. 【详解】因为和的夹角为，，， 所以. 故选：D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 8. 已知非零向量满足，向量的夹角为60°，且，则向量的夹角为（　　　　） A. 120° B. 150° C. 60° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得和的值，代入夹角公式可得夹角的余弦值，可得夹角． 【详解】， ， ， 由模长公式可得 ， 设向量的夹角为， 向量的夹角为， 故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量的夹角，涉及模长公式和数量积的运算，属中档题． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）设，是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】AB 【解析】 【分析】根据基底向量定义逐项分析即可得解. 【详解】因为，所以与共线，不能作为基，故A正确； 因为，所以和共线，不能作为基，故B正确； 设存在实数使得，则，无解， 所以和不共线，能作为基，故C错误； 设存在实数使得，则，无解， 所以和不共线，能作为基，故D错误； 故选：AB 10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 不等式的解集是 C. 若，则的最小值为 D. 函数的值域是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定可判断A选项；利用分式不等式的解法可判断B选项；利用基本不等式可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，命题“，”的否定是“，”，A对； 对于B选项，不等式等价于，解得， 所以，不等式的解集为，B对； 对于C选项，若，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最小值为，C对； 对于D选项，当时，， 当时，函数取最大值， 当时，；当时，. 所以，函数的值域为，D错. 故选：ABC. 11. 若实数a，b满足，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造，得到在上单调递增，结合零点存在性可得，，，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】AB选项，由题意得， 令，显然在上单调递增， 且，， 则，故，且，， 所以，，故，A正确，B错误； C选项，，C正确； D选项，，故，D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14. 如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为， ， 因此， 【考点】向量数量积 【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）由三角函数定义求出，用诱导公式化简求值式后代入可得； (2)根据正、余弦的二倍角公式进行化简,代入角的三角函数值即可. 【小问1详解】 由三角函数定义可得:， 所以，. . 【小问2详解】 . 16. 已知平面向量，且． （1）求和的坐标； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两平行向量、垂直向量的坐标关系列方程求解； （2）求出、的坐标，直接代入向量夹角公式中求余弦值即可. 【小问1详解】 因为，所以，则， 因为，所以，则. 【小问2详解】 因为，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为. 17. 已知向量，，函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在上的最大值和最小值以及对应的的值. 【答案】（1） （2）时，，时， 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算以及三角函数辅助角公式，可得，再结合三角函数单调性，即可求得单调增区间. （2）利用换元法，再结合三角函数图像性质，即可求解. 【小问1详解】 令， ∴函数的单增区间为. 【小问2详解】 由（1）可知，， 令， 当即时， 当即时，. 18. 如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合） （1）求和的值； （2）证明：为定值； （3）求的最小值，并求此时的，的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）最小值为， 【解析】 【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可求解； （2）由已知可得，根据，，三点共线，即可求解； （3）利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为是边上的中线，所以， 所以； 【小问2详解】 因为为中点，所以， 因为，，， 所以，即， 因为，，三点共线，所以，即， 即为定值； 【小问3详解】 由（2）知， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以的最小值为，此时. 19. 已知向量，，函数，其中． （1）若，求的对称中心； （2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在且上恰好有8个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把函数化成的形式，再根据函数的周期确定函数的解析式，再求函数的对称中心. （2）先确定的解析式，结合的图象，可求的最小值. （3）把问题转化为两个函数的值域的包含关系，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 因为. 由恒成立，可知：函数的周期满足：， 所以，由. 所以. 由，，，所以函数的对称中心为，. 【小问2详解】 因为. 由 所以或，. 所以或，. 又，所以. 所以.所以. 函数的草图如下：    由函数在（且），上恰好有个零点， 所以. 即的最小值：. 【小问3详解】 问题转化为，当时，函数的值域是的值域的子集. 对：因为，所以，所以，又，所以； 对：因为，所以，所以，所以. 由，. 即的取值范围是： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $