1.3 直角三角形教学设计2025-2026学年 北师大版数学八年级下册

3 直角三角形 第1课时　直角三角形的性质与判定 教学设计 课标摘录 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。。 2.了解原命题及逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 教学目标 1.会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明。 2.能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题。 3.通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明，激发学生的探索热情，并在小组合作中体会交流与合作的重要性。 教学重难点 重点:理解并掌握直角三角形的性质与判定方法。 难点:勾股定理及其逆定理的证明方法，结合具体命题实例理解互逆命题的概念。 教学策略 针对直角三角形性质和判定定理，采用“问题引导 - 自主尝试 - 合作交流”模式。如证明直角三角形两锐角互余及有两角互余的三角形是直角三角形时，先让学生独立思考，再小组合作讨论证明思路。教师巡视指导，适时点拨疑难。通过自主探究培养学生逻辑思维与创新能力，合作交流促进学生思维碰撞，让学生在互动中深化对知识的理解与掌握。 教学过程 教学步骤 教学活动 情境导入 同学们，在上前面的学习中，我们学习了直角三角形的有关内容，下面请同学们回答： 问题1.什么是直角三角形？ 答案：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形. 问题2.直角三角形的两个锐角有怎样的关系？ 答案：直角三角形的两个锐角互余. 问题：房梁的一部分如图所示，，其中BC⊥AC， ∠A=30°，AB=7.4 m，点D是AB的中点，且ED⊥AC，垂足分别是E，那么BC的长是多少? 新知初探 探究一　直角三角形的性质与判定 活动1 直角三角形的两个锐角为什么互余呢？ 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 求证：∠A+∠B＝90°. 证明：在Rt△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C＝90°. 又∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°. 即：直角三角形的两个锐角互余. 活动2思考：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？ 答案：是直角三角形 已知：如图所示，在△ABC中，∠A+∠B＝90°. 求证：△ABC是直角三角形 证明：在△ABC中， ∵∠A +∠B+∠C＝90°. 又∵∠A +∠B＝90°， ∴ ∠C＝90°. ∴△ABC是直角三角形. 即：有两个角互余的三角形是直角三角形. 归纳：直角三角形的性质与判定 定理：直角三角形的两个锐角互余. 几何语言： 在Rt△ABC中， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°. 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. 活动3说一说：在上学期，我们通过数方格和割补法得到了勾股定理，谁能说一说勾股定理的内容呢？ 归纳：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵△ABC直角是三角形，且∠C＝90°， ∴AC2+BC2=AB2. 活动4探究：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形呢？ 已知：如图所示，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2. 求证：△ABC是直角三角形 证明：如图，作Rt△A′B′C′， 使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC, 则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2， ∴BC2＝B′C′2. ∴BC＝B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此，△ABC是直角三角形. 归纳：定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 几何语言： 在△ABC中 ∵AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形. 活动5如图，已知∠ABD=90°，AB=8m，AD=17m，DC=20m，BC=25m． （1）求BD的长度；（2）求四边形ABCD的面积． 解：（1）在∴△ABD中， ∵∠ABD=90°， ∴AB2+BD2=AD2， 即：82+BD2=172， ∴BD=15（m）； (2)∵BD=15m，DC=20m，BC=25m， ∴BD2+DC2=BC2， ∴∠BDC=90°， ∴四边形ABCD的面积=AB×BD+CD×BD =×8×15+×20×15 =210(m2)． 任务一　意图说明 通过引导学生独立完成推理证明的书面表达过程，培养学生的逻辑思维能力和证明能力。通过探究直角三角形的性质和判定方法，加深学生对几何图形的理解和认识。同时，通过随堂练习，拓宽学生的知识面，激发学生的探索精神。此环节旨在拓展学生思维，提升数学素养。　 探究二　命题的互逆关系 活动1 观察交流：观察下的两组定理，它们的之间有怎样的关系？ 定理：直角三角形的两个锐角互余. 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 答案：它们的条件和结论交换了位置 活动2再观察下面三组命题： （1）如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. （2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. （3）一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？ 答案：它们的条件和结论交换了位置 活动3归纳：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 追问：你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗? 答案：如果两个有理数的相等平方相等,那么这两个有理数相等.第一个命题是真命题，它的逆命题是假命题. 指出：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 强调：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举反例就可以． 归纳：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理． 比如：定理：直角三角形的两个锐角互余.与定理：有两个角互余的三角形是直角三角形，是互逆定理 又如：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方与定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是互逆定理 活动4 随堂练习：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： (1)五边形是多边形； (2)两直线平行，内错角相等. 解：(1)逆命题：多边形是五边形， 原命题是真命题，逆命题是假命题； (2)逆命题：内错角相等，两直线平行， 原命题是真命题，逆命题也是真命题． 任务二　意图说明 通过例题剖析，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。通过讨论互逆定理和逆定理的重要性，加深学生对数学定理之间联系的理解。同时，通过小组合作和全班分享，培养学生的团队协作能力和沟通能力。　　 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 第1课时 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的性质与判定 2. 命题的互逆关系 （1）性质 （2）判定 教学反思 本节课的教学实践让我深刻体会到了教学设计的重要性。通过情境导入，学生迅速融入了课堂，对直角三角形的性质和判定定理表现出了浓厚的兴趣。在探究勾股定理及其逆定理的证明方法时，学生积极参与，通过自主探究和合作交流，不仅掌握了证明方法，还锻炼了逻辑思维和证明能力。然而，我也发现部分学生在理解互逆命题、逆定理等概念时仍存在困难，这提示我在后续教学中需要进一步加强这些概念的讲解和练习，帮助学生巩固理解。 3 直角三角形 第2课时　直角三角形全等的判定　 教学设计 课标摘录 1.能用尺规作图：已知一直角边和斜边作直角三角形；。 2.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。 教学目标 1.熟练掌握“HL”定理，并利用“HL”定理解决实际问题。 2.能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形。 教学重难点 重点:理解和掌握直角三角形的全等判定定理及应用。 难点:探究直角三角形的全等判定定理的过程。 教学策略 本节课的主要目标是让学生掌握直角三角形全等的判定方法，并能灵活应用这些方法解决实际问题。首先，简要回顾三角形全等的基本概念和之前学过的三角形全等的判定方法。然后，重点介绍直角三角形的特殊性质，探索直角三角形全等的判定方法，强调直角边和斜边的对应关系。同时，对比说明HL判定与其他三角形全等判定方法的异同。 教学过程 教学步骤 教学活动 情境导入 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量． (1)你能帮他想个办法吗？ (2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？学习了今天的知识，我们就能明白这个道理了． 新知初探 探究一 直角三角形全等的判定　 活动1 全等判定的复习 1.填一填： (1)判定两个三角形全等的方法有哪几种？__SSS、SAS、ASA、AAS__ (2)如图，已知∠CAB＝∠DBA，要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请说明理由． 添加__AC＝BD__，利用__SAS__证明△ACB≌△BDA， 添加__∠ABC＝∠DAB__，利用__ASA__证明△ACB≌△BDA； 添加__∠C＝∠D__，利用__AAS__证明△ACB≌△BDA. 2.思考：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等码？如果其中一组等边的对角是直角呢？请你画一画，并与同伴进行交流。 活动2 尝试·交流 已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢？ (1) 假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗？ (2) 你是按照怎样的步骤画这个草图的？先画一画，再用尺规试一试，并与同伴进行交流 梳理上述作图过程，请你总结“已知直角三角形的斜边和 一条直角边，用尺规作这个三角形的方法和步骤。 活动3做一做(小组合作完成) 如图，已知线段a，c(a<c)，直角α. 求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c. 解：作法：(1)作∠MCN＝∠α＝90°； (2)在射线CM截取CB＝a； (3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A； (4)连接AB，得到Rt△ABC. 活动4 定理证明 把你作的三角形与同伴作的三角形进行比较，他们一定全等吗？ 可以发现：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。请你尝试证明这一结论。 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：在△ABC中，∵∠C＝90°， ∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)． 同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2. ∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为“斜边、直角边”或“HL”． 任务一　意图说明 通过尺规作图，让学生在实践操作中直观感受直角三角形的形成过程，培养学生的动手能力与空间观念。引导学生观察、比较所作出的三角形，激发学生主动思考与探索精神。通过小组交流，鼓励学生提出猜想，培养学生的合作意识与创新思维。最后引导学生进行证明，强化对直角三角形全等判定定理的理解与应用，提升学生的逻辑推理能力。　 探究二　经典例题 活动1例 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角 ∠ B和 ∠ F的大小有什么关系？ 解:根据题意，可知 ∠BAC=∠EDF=90° BC=EF,AC=DF, ∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL) ∴∠B=∠DEF(全等三角形的对应角相等) ∵∠DEF+∠F=90°(直角三角形的两锐角互余) ∴∠B+∠F=90° 活动2随堂练习：判断下列命题的真假，并说明理由 （1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； （2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等； （3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等； （4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的 两个直角三角形全等. 解：（1）假，让学生体会举反例的作用. （2）真，满足AAS定理的条件。 （3）真，满足基本事实SAS的条件。 （4）真，先利用HL定理得到另一条直角边相等，再根据基本事实SAS判定两个三角形全等。 任务二　意图说明 通过这两个问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，加深对直角三角形全等判定定理的理解。培养学生的逻辑思维和推理能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。同时，让学生在小组讨论中学会合作与交流，增强团队意识。 　　 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 第2课时 直角三角形全等的判定 1.利用斜边和一条直角边作直角三角形 3. 例题 2.直角三角形全等的判定 教学反思 本节课的教学基本达到了预期目标，学生在课堂上表现出较高的积极性和参与度。通过情境导入和尺规作图活动，学生成功被引入课题，对直角三角形全等判定定理“HL”产生了浓厚的兴趣。在探究引导环节，学生通过动手操作、观察比较和小组讨论，提出了猜想并成功证明了定理，这一过程有效锻炼了他们的思维能力和团队协作能力。 学科网（北京）股份有限公司 $