1.3 直角三角形 学案 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 【学习目标】 1、了解“直角三角形的两个锐角互余”的性质及直角三角形判定法之一”有两个角互余的三角形是直角三角形”。 2、了解勾股定理及其逆定理以及直角三角形的有关性质的证明方法 3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立 【学习策略】 教师要关注到学生在语言表述方面的个体差异，有困难的学生要给予及时的帮助和指导。使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性. 【学习过程】 一、情境导入： （1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ (2)直角三角形的三边有什么样的关系? 总结：直角三角形的性质：1、　　　　　　　　 2、 含30°角的直角三角形的性质 二.新知初探： 探究一：直角三角形的性质与判定 问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ 问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗? 为什么? 定理1 直角三角形的两个锐角互余. 定理2 有两个角互余的三角形是直角三角形. 上面两个定理的条件和结论有什么关系？ 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理反过来叙述: 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 这个命题是真命题吗？为什么？ 已知：如图，在 △ABC 中，AC2+BC2 =AB2. 求证：△ABC 是直角三角形． 证明：作 Rt△DEF，使∠E = 90°， DE = AC，FE = BC， 则 DE2 + EF2 = DF2 (勾股定理). ∵ AC2 + BC2 = AB2 (已知)，DE = AC，FE = BC (作图)， ∴ AB2 = DF2. ∴ AB = DF. ∴△ABC≌△DFE (SSS). ∴∠C =∠E = 90°. ∴△ABC 是直角三角形． 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(定理3) 定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．(定理4) 上面两个定理的条件和结论有什么关系？ 探究二：互逆命题与互逆定理 观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系? 第三个定理和第四个定理呢?与同伴交流. 归纳总结 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的 . 注意： (1) 命题有真有假，而定理都是真命题； (2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理； (3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系. 随堂练习 1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？ (1) 两条直线平行，内错角相等； (2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； 内错角相等，两条直线平行. 成立 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立 当堂达标 1. 下列说法正确的是(　　) A. 每个定理都有逆定理 B. 每个命题都有逆命题 C. 原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D. 真命题的逆命题是真命题 2. 已知下列命题： ①若，则a＞b； ②若a＋b＝0，则|a|＝|b|； ③等边三角形的三个内角都相等； ④底角相等的两个等腰三角形全等． 其中原命题与逆命题均为真命题的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 下列定理中，没有逆定理的是(　　) A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．直角三角形两个锐角的和等于90° 5. 如图,在△ABC中,AB=AC,BC=15,D是AB上一点,BD= 9,CD=12. (1)求证:CD⊥AB;(2)求AC的长. 参考答案 一、情境导入： 总结：直角三角形的性质： 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 二.新知初探： 探究一 问题1： 问题2： 勾股定理反过来叙述的证明: 已知：如图，在 △ABC 中，AC2+BC2 =AB2. 求证：△ABC 是直角三角形． 证明：作 Rt△DEF，使∠E = 90°， DE = AC，FE = BC， 则 DE2 + EF2 = DF2 (勾股定理). ∵ AC2 + BC2 = AB2 (已知)，DE = AC，FE = BC (作图)， ∴ AB2 = DF2. ∴ AB = DF. ∴△ABC≌△DFE (SSS). ∴∠C =∠E = 90°. ∴△ABC 是直角三角形． 探究二： 逆命题 随堂练习 1. （1）内错角相等，两条直线平行. 成立 （2）如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立 当堂达标 1.B 2.A 3.B 4.A 5. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2 直角三角形 第2课时直角三角形全等的判定 【学习目标】 1、理解直角三角形全等的判定定理（HL），发展演绎推理能力； 2、采用动手动脑相结合的方式，进一步学习严密科学的证明方法； 3、通过推理、论证的训练，养成严谨的科学态度，不懈的探究精神和良好的说理方法。 【学习策略】 定理的应用方面灵活性较强，给教师和学生发挥的余地较大，结论和方法并不惟一，教师要充分利用好这个资源，可以达到一题多解，举一反三的效果，不仅让学生进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力． 【学习过程】 一、情境导入： 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量． (1)你能帮他想个办法吗？ (2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 二.新知初探： 探究一：直角三角形全等的判定 问题：如果以下两个三角形都是直角三角形，即∠B =∠E = 90°，且 AC = DF，BC = EF，现在能判定△ABC≌△DEF 吗？ 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. 已知：如图，线段 a，c (a＜c)，直角 α. 求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c. 验证结论 已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，AB = A′B′，AC = A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′ . 归纳总结 文字语言：斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“ ”). 几何语言： 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′( )。 随堂练习 1. 已知：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD， 求证：BC = AD. 新知初探 变式1：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，要证明△ABC ≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. （1） （ ) （2） （ ) （3） （ ) （4） （ ) 探究二：典型例题 例1 解：根据题意，可知 ∠ABC = ∠DEF = 90°，BC = EF，AC = DF， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)。 ∴∠B = ∠DEF (全等三角形的对应角相等) ∵∠DEF +∠F = 90°(直角三角形的两锐角互余)， ∴∠B +∠F = 90°。 随堂练习 2. 证明：∵ AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC＝AE， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD ＝ EF. ∵ AD ＝ AF，AB ＝ AB， ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF (HL). ∴ BD＝BF. ∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE。 三、当堂达标 1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有 ( ) A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等 2. 如图，△ABC 中，AB = AC，AD 是高，则 △ADB 与△ADC (填“全等”或“不全等”)，依据是 (用简写法) 3. 如图，在 △ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB，BD = CE. 求证：△EBC≌△DCB. 4. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ABC 才能和△APQ 全等？ 参考答案 问题： (1) 先画 ∠MCN＝∠α＝90°. (2) 在射线 CM 上截取 CB＝a. (3) 以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线 CN 于点 A. (4) 连接 AB，得到Rt△ABC. 验证结论 归纳总结 相等 HL 几何语言： HL 随堂练习 1. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角。 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD。 新知初探 变式1： （1） AD=BC （ HL ) （2） BD＝AC （ HL ) （3） ∠DAB＝∠CBA （ AAS ) （4） ∠DBA＝∠CAB （ AAS ) 探究二：典型例题 例1 解：根据题意，可知 ∠ABC = ∠DEF = 90°，BC = EF，AC = DF， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)。 ∴∠B = ∠DEF (全等三角形的对应角相等) ∵∠DEF +∠F = 90°(直角三角形的两锐角互余)， ∴∠B +∠F = 90°。 随堂练习 2. 证明：∵ AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC＝AE， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD ＝ EF. ∵ AD ＝ AF，AB ＝ AB，∴ Rt△ABD≌Rt△ABF (HL). ∴ BD＝BF. ∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE。 三、当堂达标 1. D 2.全等 HL 3. 证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC =∠BDC = 90°. 在 Rt△EBC 和 Rt△DCB 中， ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL)。 4. 解：(1)当 P 运动到 AP＝BC 时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， ∵ PQ＝AB，AP＝BC， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△QPA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm. (2) 当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， ∵ PQ＝AB，AP＝AC， ∴ Rt△QAP≌Rt△BCA (HL)， ∴ AP＝AC＝10 cm. ∴ 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等。 1 学科网（北京）股份有限公司 $