趣味数学——高中校本课程

高中校本课程—趣味数学 目录 第一章 数学文化 1 一、 数学史 1 二、 三次数学危机 6 三、 哥尼斯堡七桥问题 9 第二章 数学魔术 12 一、 读心术 12 二、神秘的12345679 14 三、预言位置 14 四、永恒的1089 15 五、确定第11个数 16 第三章 数独 19 一、 何为数独 19 二、 数独的基本常识 21 三、 标准数独及变形数独 23 第四章 逻辑推理 32 一、 简易逻辑中的趣题 32 （一）假设法、排除法和递推法 32 （二）图表法、计算法和逻辑探案 37 二、生活中的数学 43 高中校本课程—趣味数学 02 校本教材 第一章 数学文化 一、 数学史 (一)数学萌芽期（公元前600年以前）； 因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分.许多历史学家通过数学这面镜子，了解古代其他主要文化的特征与价值取向。下面我们就数学的起源与早期发展过程作下分析: （1）古代埃及数学 古埃及人在一种用纸莎草压制成的草片上书写,我们关于古埃及数学的知识，埃及人发明的象形文字记号是一种以十进制为基础的系统，没有位值的概念。主要是依据两部纸草书--莱茵德纸草书和莫斯科草书。这两部纸草书实际上都是各种类型的数学问题集.莱茵德草书主体部分由84个问题组成，莫斯科纸草书包含了25个问题。这些问题大部分来自现实生活，纸草书的作者将它们作为示范性例子编集在一起。 （象形文字） (-莱茵德纸草书) (莫斯科草书) （2） 美索不达米亚数学 考古学家在19世纪上半叶于美索不达米亚发掘出大约50万块刻有楔形文字、跨跃巴比伦历史许多时期的泥书板.其中有近400块被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学泥书板，关于巴比伦的数学知识就源于这些原始文献. 他们的整数写法如下，突出特点是以60为基底并采用进位记号。希腊人、欧洲人将这一系统运用于数学计算和天文学计算中，直至现在，60进制仍被应用于角度、时间等记录上. （3）古代中国数学的萌芽 数的概念产生于原始人的生活生产，“结绳计事”是文字出现前常用是原始计数法，随着数的概念的发展，出土仰韶文化时期是陶器上出现了1，2，3，4的符号。商周时期，甲骨文上就记载有了一套十进制数字和计数法；用十个天干和十二个地支组成的日期如今还在应用。《周髀算经》记载了西周用于测量高、深、广、远的方法。 (2) 初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）； 丰富的有关数和形的感性知识。到了公元前六世纪，希腊几何学的出现成为第一个转折点,数学从此由具体的、实验的阶段，过渡到抽象的、理论的阶段,开始创立初等数学。此后又经过不断的发展和交流，最后形成了几何、算术、代数、三角等独立学科.这一时期的成果可以用“初等数学”(即常量数学)来概括，它大致相当于现在中小学数学课的主要内容. 古希腊的尺规作图在这一时期出现。尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题： 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积； 三等分角：作一个角，将其分为三个相等的部分。 3． 变量数学时期（17世纪中叶至19世纪末）； 这个时期的起点是笛卡尔的著作，他引入了变量的概念。这个时期中还创立了一系列新领域：解析几何、微积分、概率论、射影几何和数论等.并且出现了代数化的趋势.随着数学 新分支的创立，新的概念层出不穷,如无理数、虚数、导数、积分等等。十八世纪是数学蓬勃发展的时期.以微积分为基础发展出宽广的数学领域一数学分析(包括无穷级数论、微分方程、微分几何、变分法等学科),它后来成为数学发展的一个主流.数学方法也发生了完全的转变，完成了从几何方法向解析方法的转变.十九世纪是数学发展史上一个伟大转折的世纪。微积分发展成为数学分析,方程论发展成为高等代数，解析几何发展成为高等几何都取得了重大的成就.同时还有一个独特的贡献，就是数学基础的研究形成了三个理论:实数理论、集合论和数理逻辑。 4． 现代数学时期 现代数学时期是指由19世纪20年代至今,这一时期数学主要研究的是最一股的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识.变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入. 二、 三次数学危机 （一）第一次数学危机 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家.他曾创立了一个合政治、学 术、宗教三位一体的神秘主义派别:毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石.毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数.而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。 毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数根号2的诞生。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上:任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.它简直把以前所知道的事情根本推翻了。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。 （二）第二次数学危机 来源于微积分工具的使用。十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 解决经过柯西（微积分收官人）用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论得以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌美丽。 （三）第三次数学危机 十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论.从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦，因而集合论成为现代数学的基石. 罗素构造了一个集合S: S由一切不是自身元素的元素所组成。然后罗素问: S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合.因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地.如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S：反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。理解不了不要紧，翻译成人话大家就耳熟能详了：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？他既该给自己刮胡子，又不该给自己刮胡子。 危机产生后，人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。1908年，策梅罗提出第一个公理集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统.这一公理化集合系统很大程度上弥补康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。 三、 哥尼斯堡七桥问题 历史上有名的七桥问题，是脍炙人口的应用数学去解决实际问题的典范，在欧洲的普鲁士哥尼斯堡镇上有一个小岛，普里格尔河蜿蜒其间，河岸与岛屿间有七座桥相连，在18世纪，有人提出:能否不重复地一次接连通过每座桥？这个生活中的问题，引起人们浓厚的兴趣，市民、学生，观光者竞相“过桥”，但问题一直未获解决，被世人谓之哥尼斯堡七桥问题。 七桥问题也困扰着哥尼斯堡大学的学生们，他们给当时著名数学家欧拉写了一封信，请他帮助解决这个问题。1736年，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支--图论.他想，既然岛和半岛是桥梁的连接地点,两岸陆地也是桥梁的连接地点，那就不妨把这四处地方缩小成四个点，并且把这七座桥表示成七条线. 欧拉简化后的数学模型.七桥问题变成了一个笔画的问题，即:能否笔不离纸，不重复地一笔画完整个图形。欧拉就对“一笔画”问题进行了数学分析:一笔画有起点和终点，起点和终点重合的图形称为封闭图形，否则便称为开放图形。除起点和终点外, 一笔画中间可能出现一些曲线的交点。欧拉注意到，只有当笔沿着一条弧线到达交点后，又能沿着另一条弧线离开，也就是交汇于这些点的弧线成双成对时，一笔画才能完成， 这样的交点就称为“偶点”。如果交汇于这些点的弧线不是成双成对，也就是有奇数条，则一笔画就不能实现，这样的点又叫做“奇点”欧拉通过分析，得到了下面的结论:若是一个一笔画图形，要么只有两个奇点，也就是仅有起点和终点，这样一笔画成的图形是开放的；要么没有奇点，也就是终点和起点连接起来，这样一笔画成的图形是封闭的。由于七桥问题有四个奇点，所以要找到一条经过七座桥，但每座桥只走一次的路线是不可能的.有名的“哥尼斯堡七桥问题”就这样被欧拉解决了. 第二章 数学魔术 一、 读心术 规则: 1、 两位数（含)以下的:你心中在0—100间随意想一个数，将这个数乘以67，告诉我结果的后两位，我将你告诉我的数乘以3，得出结果的后两位就是你心中所想之数了。 例如，你心中想83，乘67得5561，用61*3= 183，去后两位就是83了。 2、多位数的:让对方心里随便想一个三位数。让对方将该数乘以667，然后他最开始想的那个数是几位数，就让他告诉你乘积的后几位数。这时，你用那个后几位数乘以三。即可得到他最开始想的那个数。(他最开始想的那个数是几位，就取你算得的乘积的后几位)。这个算法是可以严格证明其正确性的。另外，如果把667改成6667,那么对四位数也适用。(67这个数字会出卖你的灵魂!) 证明: 当想的数是一位时，不防设为c， 第一步:67c，令得到的数的十位以上的数为x，则个位为(67c-10x) 第二步:3 (67c-100x） =201c-300x=200c-300x+c，显然得到的个位上的数字为c； 当想的数是两位时，不妨设为bc, 第一步:67bc，令得到的数的百位以上的数为y，则十个位为( 67bc-100y) 第二步:3 (67bc-100y)=201bc-300y=200bc-300y+bc，显然得到的数的十个两位是bc； 当想的数是三位时，不妨设为abc，（三位数时乘以667)第一步:667abc，令得到的数的千位以上的数为z，则百十个位为(667abc-1000z) 第二步:3 (667abc-1000z）=2001abc-3000z=2000abc-3000z+abc，显然得到的数的百十个位为abc当想的数是四位时，三位数时乘以6667 推广: 上面我们利用了67*3=201，667*3=2001,6667*3=20001的特性。我们也可以利用89*9=801，889*9=8001，8889*9=80001的特性设计游戏。 二、神秘的12345679 (1)表演者在计算器上输入12345679(注意，没有8)。 (2）叫观众在1到9之间选择一个最喜欢的数。假设选了数字5吧。 (3)然后叫观众在计算器上按×5，计算器上将会显示一个很奇怪的数——61728395，就好像魔术表演失败了一样。 (4)这时叫观众把他乘以他喜欢数的结果与计算器拿给你看。 (5）你别急，再按一下×9，奇迹就出现了:计算器上将会显示出555555555。 (6)这么多5，那么对方就是喜欢5 三、预言位置 : 如图，魔术师在黑板上画了一些圆。现在，在5—20之间任选一个数字n，然后从圆A开始往圆B的方向数n个圆(圆A算第1次，到了B之后沿逆时针方向继续数)，接着再沿着顺时针数n个圆(下一个圆开始算第1次），并停在某一个圆上。魔术师能知道你停在哪个圆上。 四、永恒的1089 第一步:请屏幕前的你，从1——9中任意选择三个不同的数字，选例如:1、2、3。 第二步:请你在纸上，用你选的这三个数，组成三位数。找到其中最大的三位数和最小的三位数，并用最大的减去最小的。 第三步:最后请你将所得的结果的数字反过来（如:123反过来就是321)，再与之相加。最终，你得到的结果是不是1089? 五、确定第11个数 在一张纸上并排画11个小方格。叫你的好朋友背对着你(确保你看不到他在纸上写什么)在前两个方格中随便填两个1到10之间的数。从第三个方格开始,在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第10个方格里的数。假如你的朋友一开始填入方格的数是7和3 ,那么前10个方格里的数应该是7， 3， 10， 13， 23， 36， 59， 95， 154，249现在,叫你的朋友报出第10个方格里的数,你只需要在计算器上按几个键,便能说出第11个方格里的数应该是多少。你的朋友会非常惊奇地发现,把第11个方格里的数计算出来,所得的结果与你的预测一模一样!这就奇怪了,在不知道头两个数是多少的情况下,只知道第10个数的大小,不知道第9个数的大小,怎么能猜对第11个数的值呢? 魔术揭秘:只需要除以0.618 其实,仅凭借第10个数来推测第11个数的方法非常简单,你需要做的仅仅是把第10个数除以0.618,得到的结果四舍五入一下就是第11个数了。在上面的例子中,由于249÷0.618= 402.913..~ 403,因此你可以胸有成竹地断定,第11个数就是403。而事实上,154与249相加真的就等于403。把头两个方格里的数换一换,结论依然成立:2 91120315282133215348 可以看到,第11个数应该为215+348 = 563,而348除以0.618就等于563.107...与实际结果惊人地吻合。这究竟是怎么回事儿呢? 魔术原理:溶液调配的启示 不妨假设你的好朋友最初在纸上写下的两个数分别是a和b。那么,这11个方格里的数分别为: a b a+b a+2b 2a+3b 3a+5b 5a+8b 8a+13b 13a+21b 21a+34b 34a+55b 接下来,我们只需要说明,21a+34b除以34a+55b的结果非常接近0.618即可。 让我们来考虑另一个看似与此无关的生活小常识:两杯浓度不同的盐水混合在一起,调配出来的盐水浓度一定介于原来两杯盐水的浓度之间。换句话说,如果其中一杯盐水的浓度是a/b,另一杯盐水的浓度是c/d,那么(a+c)/(b+d)一定介于a/b和c/d 之间。 因此,(21a+34b)/(34a+55b)就一定介于21a/34a和34b/55b之间。而21a/34a =21/34 ~ 0.6176,34b/55b = 34/55 ~ 0.6182,可见不管a和 b是多少，(21a+34b)/(34a+55b)都被夹在了0.6176和0.6182之间。如果a和 b都不大,用21a+34b的值除以0.618来推测34a+55b是相当靠谱的。 有的读者可能已经发现了,0.618不是别的数,正是神秘的黄金分割;而上表中出现的系数1，1，2，3，5,8,13，21，34，55,....正是传说中的斐波那契数列。算术中最富神秘色彩的两个概念在此交织,看来这个简单小魔术的来头并不简单啊。 第三章 数独 一、 何为数独 数独的起源：数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。儒家典籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。数独是瑞士数学家欧拉借鉴洛书而发明的一种数字游戏 。 数独的流传：它是全日本最流行的猜谜游戏，超过一百万人成为数独玩家；英国《泰晤士报》的销量更因为刊登「数独」而打破销售纪录；最近英国政府出资的《教师》杂志甚至建议把“数独”引进课堂，作为学生锻炼脑力的教材。数独不仅有趣好玩，还可以增进人的推理与逻辑机能！ “数独”游戏的思考方式有别于课堂上的学科学习，也有别于生活中的猜谜、下棋练习。“数独”需要用一种全新的思维方式来完成游戏，完成游戏的整个过程简单得几乎不用打草稿，但人的大脑需要用很复杂的方式来运算数字，并且需要花几十分钟的时间来完成。所以说，玩“数独”游戏可以开发脑细胞，促进脑部发育；提高逻辑思维、逻辑判断能力。 数独小游戏，锻炼逻辑思维，老少皆宜。 二、 数独的基本常识 三、 标准数独及变形数独 根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个宫格内的数字均含1-行列数，不重复。 简单玩法为4×4盘面： 6×6盘面： 大众玩法为9×9盘面： 除此以外还有许多变形数独如： 杀手数独 1. 适用基本的数独规则。 2. 虚线框中所有数字的和必须等于写在虚线框角落上的数字。 3. 同一个虚线框内不能出现相同的数字。 锯齿数独（异性数独） 1.基本规则与普通数独相同，每行每列数字唯一； 2.不规则形状区域（黑色线条标识）内数字唯一。 连体数独 1. 基本规则与普通数独相同，每行每列每宫数字唯一； 2. 数独内重叠的部分被两个单个数独共享使用。 四、基础解法一般为两种，进阶解法也是从这两种方法上延申： 1.排除法/摒除法： 在宫、行、列中找唯一空格，填完一波后，再次宫、行、列中找唯一空格。 如右图：C5还剩2格没有填写数字，由于r3c8为8，所以同处于R3的r3c5不能为8，得到r7c5=8。 2. 唯一余数法（简称“唯余法”）： 对于某一个选定的格子，如图中的A，和它同一行、同一列、同一宫的格子已经出现8个不同的数字，那么这个格子只能填入剩下的那个数字。灰色区域也叫等位群格位，共20格。 （等位群格位） 同学们看下图的唯余数 •没错，是r4c8=5 练习1（中等） 练习2（大师）推荐数独网站https://cn.puzzle-killer-sudoku.com/ 第四章 逻辑推理 1、 简易逻辑中的趣题 （一）假设法、排除法和递推法 1、假设法 逻辑判断中的难题中有很多都可以用假设法解开，逻辑判断中的假设法还是使用了反证法的逻辑思路。也就是先假设一个判断的真假，然后据此，得出一些新的判断，若是出现矛盾就舍去假设；若是没有产生矛盾，假设就是成立的。 例1、 谁是骗子 有甲、乙两人，他们是老实人，或是骗子。 甲说：“我们两人中至少有一人是骗子。” 谁是骗子？ 例2、 谁干的好事 小红、小芳、小惠三个同学中有一人帮助生病的小青补好了笔记，当小青问谁干的好事时： 小红说：“是小芳干的。” 小芳说：“不是我干的。” 小惠说：“也不是我干的。” 如果知道三人中有两人说的是假话，有一人说真话，能判断是谁做的好事吗？ 练习1、 谁打扫了办公室 老师发现，有人帮他清扫了办公室，他问在场的四位同学，是谁打扫了办公室？ 甲：“不是我打扫的”； 乙：“是丁打扫的”； 丙：“是乙打扫的”； 丁：“乙说的是假话”。 经了解，老师发现他们四人中，只有一人说的是真话，其余三人说的是假话。问谁说的是真话，是谁帮助老师打扫了办公室？ 练习2、 三位青年的年龄 有人问三位青年的年龄。 小刘说：“我22岁，比小陈小2岁，比小李大1岁。” 小陈说：“我不是年龄最小的，小李和我差3岁，小李是25岁。” 小李说：“我比小刘年纪小，小刘23岁，小陈比小刘大3岁。” 这三位青年每人回答的三句话中，有一句是故意说错的。 你知道他们各自的年龄吗？ 2、排除法 排除法，就是根据题目的要求，综合所学知识，排除问题中的冗余信息或者选项中的错误选项，把一些无关的问题先予以排除，缩小选择范围，快速明确答案。 例3、 由重到轻的顺序 有四个外表看起来没有区别的小球，它们的重量可能各有不同。取一个天平将甲、乙放一组，丙、丁为另一组分别放在天平的两边，天平是基本平衡的。将乙和丁对调一下，甲、丁一边明显地要比乙、丙一边重很多。可奇怪的是我们将天平的一边放上甲、丙，而另一边刚放上乙，还没有来得及放上丁时，天平就压向了乙一边。 则四个球由重到轻的顺序是： A 乙、丁、甲、丙 B 丁、乙、丙、甲 C 乙、甲、丁、丙 D 丁、乙、甲、丙 练习3、 师徒下厨 唐僧师徒四人一天来到一个小客栈，店里的人一见悟空兄弟相貌可怕，吓得都跑光了。师徒四人只得自己动手，下厨做饭。他们一个在烧水，一个在洗菜，一个在淘米。 已知： A 唐僧不担水也不淘米 B 悟空不洗菜也不担水 C 如果唐僧不洗菜，那么沙僧就不担水 D 八戒既不担水也不淘米你知道他们各做什么吗？ 练习4、 谁去执行任务 某领导决定在王、陈、周、李、林、胡六人中挑几人去执行一项重要任务，执行任务的人选应满足以下所有条件：王、李两人中只要一人参加；李、周两人中也只要一人参加；王、陈两人至少有一人参加；王、林、胡三人中应有两人参加；陈和周要么都参加，要么都不参加；如果林参加，李一定要参加。 据此，可以推出以下哪一项是正确的？ A 王、陈不参加 B 林、胡不参加 C 周、李不参加 D 李、林不参加 3、递推法  递推法指的是按照原思路刨根寻底，穷追不舍，直至找出答案为止。递推思维法要求你善于抓住一些常被人忽视的地方，通过仔细观察与思索，在现有事物的基础上一步一步地连续向前探索，一步一步地思考，直到解决问题。 例5、 预测名次 甲、乙、丙三位老师对参加数学竞赛的四位学生A、B、C、D的名次进行预测。 甲：A第一，C第二； 乙：A第二，C第三； 丙：D第一，B第二。 结果公布后，每位老师各猜中一人。你知道最后的名次吗？ 练习5、 到底谁胖 黄某说张某胖，张某说范某胖，范某和覃某都说自己不胖。如果四人陈述只有一个错，那么谁一定胖？ A 仅黄某 B 仅张某 C 仅范某 D 仅张某和范某 练习6、 运动衫上的号码 甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。 赵说：“甲是2号，乙是3号。” 钱说：“丙是4号，乙是2号。” 孙说：“丁是2号，丙是3号。” 李说：“丁是4号，甲是1号。” 又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半。那么你知道丙的号码是几号吗？ （二）图表法、计算法和逻辑探案 1、图表法 图表法就是以已知条件为蓝本，抓住内容的实质，按照其内在的逻辑关系，以精练的语词、语句及线条方式，将其构画成简洁的图表，化繁为简、化抽象为直观，以便清晰地反映所分析问题的本质。 例1、 任课老师 甲、乙、丙三位老师分别来自北京、上海、广州三个城市，在学校又分别教语文、数学、英语三门课程。已知： （1）甲不是北京人，乙不是上海人； （2）上海人教语文课，北京人不懂外语； （3）乙不教数学。 这三位老师分别来自何处？各自任什么课？ 练习1、 掌握哪两种语言 A、B、C、D四人分别掌握英、法、德、日四种语言中的两种，其中有三人会说英语，但没有一种语言是四人都会的。并且知道：没有人既会日语又会法语。A会日语，而B不会，但他们可以用另一种语言交谈。C不会德语，A和D交谈时，需要C为他们做翻译。B、C、D不会同一种语言。请说出四个人分别掌握哪两种语言？ 练习2、 掌握哪两种语言 A、B、C、D四人分别掌握英、法、德、日四种语言中的两种，其中有三人会说英语，但没有一种语言是四人都会的。并且知道：没有人既会日语又会法语。A会日语，而B不会，但他们可以用另一种语言交谈。C不会德语，A和D交谈时，需要C为他们做翻译。B、C、D不会同一种语言。请说出四个人分别掌握哪两种语言？ 2、计算法 有些逻辑题首先需要进行必要的数字计算，尤其是当题干或备选项中出现了数据或者与数据有关的文字的时候。做这些题时，一定不要怕麻烦，如果动手计算计算，答案自然就出来了。 例3、 空缺的数字 请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。 A 5B 3C 2D 0 练习1、 下图中，哪个数能填在问号处完成谜题？ 练习2、 每道题中右边的数字都是由左边的数字按照同样的算式计算得来的，找出其中的规律，并找到可以代替问号的数字。 练习3、 现在的年龄 办公室有甲、乙、丙、丁四位同志，甲比乙大5岁，丙比丁大2岁。丁三年前参加工作，当时22岁。他们四人现在的年龄之和为127岁。那么乙现在的年龄是： A 25岁B 27岁C 35岁D 40岁 3、逻辑探案 逻辑思维应用的最广泛领域莫过于刑侦领域。在前面的讲解中，我们也介绍了一些探案游戏，是侧重于用“析理法”来寻找答案的。以探案故事为题材的逻辑推理游戏，就是“逻辑探案”类游戏，主要利用逻辑学的知识对供词、案情、人物关系进行分析、对比、判断，排除干扰、识破假象、揭示真相。这种游戏是提高逻辑思维能力的有效途径。 例4、 罪犯是谁 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问。四人分别供述如下： 甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。” 乙说：“我没有作案，是丙偷的。” 丙说：“在甲和丁之间有一个是罪犯。” 丁说：“乙说的是事实。” 经过调查，证实这四人中有两人说的是真话，另外两人说了假话，那么罪犯是谁？ 练习4、 警长判案 警官史特勒手持一份案件的卷宗走进了警长格奥格的办公室，将其恭恭敬敬地放在上司的桌上。 “警长，4月14日夜12时，位于塔丽雅剧院附近的一家超级商厦被窃去大量贵重物品，罪犯携赃驾车离去。现已捕获了a、b、c三名嫌疑犯在案，请指示！” 格奥格警长慈祥地看了得力助手一眼，翻开了案卷，只见史特勒在一张纸上写着： 事实1：除a、b、c三人外，已确证本案与其他任何人都没有牵连； 事实2：嫌疑犯c假如没有嫌疑犯a作帮凶，就不能到那家超级商厦作案盗窃； 事实3：b不会驾车。 请证实a是否犯了盗窃罪？ 格奥格警长看后哈哈大笑，把史特勒笑得莫名其妙。然后，格奥格三言两语就把助手的疑问给解决了。 请问，警长是怎样判案的呢？ 二、生活中的数学 （一）分牛和分马 在古代印度流传着这样一个“分牛”的故事。 有一个农夫,死后留下了19头牛。他临死前立下了一个奇怪的遗嘱: "19头牛中的一半分给长子, 1/4分给次子, 1/5分给小儿子。”看到这份遗嘱,大家都感到迷惑不解。19头活生生的牛怎么能分成相等的两份?或分成4份?6份?正当农夫的儿子们在为怎么分法争论不休时,一个陌生人牵着一头牛正好走过。农夫的儿子们向他求助。这个陌生人把自己的牛也放进了牛群里,然后开始履行遗嘱。他把这些牛的一半, 10头给了老大。老二得到20头中的1/4,即5头。小儿子得到20头中的1/5, 即4头。陌生人分完了以后说: "10加5加4正好是19,余下的那头刚好还给我。”这真是个绝妙的办法,遗嘱的问题就这样解决了。 在古代世界的其他地区,也流传着类似的一些“分遗产”故事。比如说在古老的丝绸之路上,流传着阿凡提分骏马的故事。11匹骏马,死去的父亲的遗嘱要求三个儿子按照1/2, 1/4, 1/6的比例进行分配。读者们能像聪明的阿凡提一样找到解决问题的办法吗?解决办法和分牛是类似的。阿凡提把他的小毛驴借给了三个儿子。三个儿子按照1/2, 1/4, 1/6的比例分别得到骏马的数量为6匹、3匹、2匹,然后把小毛驴又还给了阿凡提。阿凡提真聪明! 在故事的背后,隐含着什么样的数学道理呢?如果我们认真分析这个问题,就会发现:遗嘱提出的分配比数相加并不是等于1的,即 1/2+ 1/4+ 1/5 = 19/20, 如果严格按照遗嘱执行的话,肯定有1/20无法分配。所以正确的分配比例就应该将19/20作为整体,用1/2除以19/20得到长子合理的分配比例10/19。同理,也可以得到老二和老三合理的分配比例就是5/19和4/19 在阿凡提分骏马的故事里, 1/2, 1/4, 1/6加在一起刚好是11/12,这就是为什么加了一头小毛驴,分马就可以顺利进行了。 在这些故事背后隐含的就是数学中的“分数”。在人类认识世界的过程中,最初认识到的当然是1, 2, 3, …,如果什么都没有,就是0。这些数的概念都是自然而然的产生的,也就是“自然数”。后来当人们熟悉了减法之后,为了便于小数减大数的运算,就出现了“负数”。加上了负数后,数的范围就扩大到了“整数”。数的概念还可以再进一步地扩大。为了分配人类的各种物品,出现了除法。而不可避免的,做除法时会出现除不尽的情况。这样一来,分数就应运而生。 古代世界各国都相继认识到了分数的存在,也就出现各式各样的“分遗产”故事。毕竟关于分数的加、减、乘、除不是很自然地就能被人认识到的,所以这样的故事还是很迷惑人的。 （二）铁锤与音乐 “铛……销……铛……” ,偶然走过一家打铁店门口,古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580~前500) 被铁锤打铁的声音吸引了。毕达哥拉斯不仅是古希腊著名的数学家,还是一位音乐家。他觉得从打铁店里传来的铁锤有节奏的打铁声异常地悦耳。这是怎么回事呢?毕达哥拉斯好奇地走进了打铁店。 在打铁店里,毕达哥拉斯听了好长时间的打铁声,还自己拎起铁锤敲了好多下。最后,他终于发现,有四个铁锤连续敲打的时候声音特别悦耳。这四个铁锤的重量比恰好是12 : 9 : 8 : 6,他们两两一组来敲打时都发出了非常和谐的声音,分别是12 : 6=2 : 1的一组, 12 : 8=9 : 6=3 : 2的一组, 12 : 9=8 : 6=4 : 3的一组。这难道就是规律吗? 回家以后,毕达哥拉斯用单弦琴做实验对这个规律进一步进行了验证。单弦琴弹奏可以发出声音。毕达哥拉斯做了好多琴弦,让这些琴弦的长度保持固定的比例,然后连续弹奏并比较它们的声音。就这样,毕达哥拉斯最后总结出了著名的琴弦律: (1)当两个音的弦长成为简单整数比时,同时或连续弹奏,所发出的声音是和谐悦耳的。 (2)两音弦长之比为4 : 3, 3 : 2及2 : 1时,所发出的声音是和谐悦耳的。 根据这样的规律,人们在制作乐器时,只要保持好它们的大小比例就可以了。琴弦的长度就决定了它们的发音。如果琴的一根弦发出的音是1(do)的话,那么根据2 : 1的比例,取1/2长度的弦弹奏就会发出高八度的1(do),根据4:3的比例,取3/4长度的弦弹奏会发出4(fa)的声音,其他的, 8/9长度的弦发出2 (re) , 64/81长度的弦发出3(mi),等等。像竖琴这样的乐器,有很多不同长度的琴弦,就可以弹奏出很多不同的声音让演奏者们尽情组合。 （西方乐器——竖琴） 以上是西方古代制作乐器的方法,那么中国古代是如何制作乐器的呢?在中国春秋战国时期的《管子·地员篇》 《吕氏春秋·音律篇》等古书上记载了中国古代制作乐器的“三分损益律”。具体来说是取一段弦, “三分损一” ,即均分弦为三段,舍一留二。这样得到的比例不就是3 : 2吗?如果“三分益一” ,即弦均分三段后再加一段,这样得到的琴弦比例就是3 : 4。所以中国古代也以相似的方式认识到了琴弦的规律。 （中国古代乐器——七弦琴） 不过,虽然规律一样,中国古琴的弹奏方法还是和竖琴不同的。在制作竖琴时,琴弦的长度就不一样。而中国古琴的弹奏方法是左手按弦,右手拨弦,是借助于两只手的动作来改变所弹琴弦的长度的。 到了十六世纪,意大利数学家、物理学家、天文学家伽利略(Galilieo,1564~1642)发现声音是物体振动产生的,而音调决定于振动的频率。因为琴弦振动的频率跟弦长成反比,所以不同长度的琴弦会弹奏出不同的声音。琴弦律就这样得到了科学的解释。 （三）躺赢 想靠中彩票躺着赚钱？那你恐怕得积攒够好运才可以！理论上，只能靠运气。但是，如果彩票规则设计得不好，就可以钻漏洞了。 01 校本教材 学科网（北京）股份有限公司 $