5.2 第2课时 线段垂直平分线的性质-教案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第五章　图形的轴对称情境激趣：展示生活中的轴对称实例图片，包括蝴蝶、天安门、剪纸作品、圆形钟面、等腰三角形等，引导学生观察：“这些物体和图形有什么共同特点？如果沿着一条直线对折，会出现什么现象？” 邀请学生上台展示提前准备的剪纸、等腰三角形纸片，尝试对折，引导学生发现“对折后两边能够完全重合”这一核心特征。 2. 引出课题：结合学生的观察和操作结果，明确本节课的学习内容——图形的轴对称，告知学生本节课将重点探究轴对称图形的定义、特征，以及轴对称的基本性质，激发学生的探究兴趣，让学生体会轴对称在生活中的美学价值和广泛应用。 二、探究新知（20分钟） （一）轴对称图形的概念 1. 动手探究：让学生拿出准备好的图形纸片（长方形、正方形、圆形、平行四边形、等腰梯形），分组动手对折，观察哪些图形对折后两边能够完全重合，哪些不能。给学生3分钟时间操作、交流，记录探究结果。 2. 概念讲解：结合学生的探究结果，明确轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。强调两个关键：“沿一条直线折叠”“两旁部分完全重合”，补充说明：一个轴对称图形可能有一条对称轴，也可能有多条（如正方形有4条、圆形有无数条）。结合实例标注对称轴，让学生直观认识对称轴的含义，纠正“平行四边形是轴对称图形”的易错认知。 3. 即时练习：让学生在练习本上画出长方形、正方形、等腰三角形，并分别画出它们的对称轴，同桌之间相互检查，教师巡视指导，纠正画图不规范、漏画对称轴等问题，强化概念记忆。 （二）两个图形关于直线对称 1. 情境引导：展示两张完全相同的蝴蝶图片，将它们沿一条直线对折，使两张图片完全重合，提问：“这两个图形和我们刚才学的轴对称图形有什么区别？它们之间有什么关系？” 引导学生发现“这是两个图形，沿直线对折后完全重合”。 2. 概念讲解：明确两个图形关于直线对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（也叫轴对称），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（也叫对称点）。结合图形演示，让学生区分“轴对称图形”（一个图形）和“两个图形关于直线对称”（两个图形）的区别与联系，强调两者核心都是“沿直线折叠后重合”。 （三）轴对称的基本性质 1. 动手验证：让学生在纸上画一个点A，过点A画一条直线l，再画出点A关于直线l的对称点A'，连接AA'，观察AA'与直线l的关系；再画一个简单三角形ABC，画出它关于直线l的对称三角形A'B'C'，观察对应边、对应角的关系。给学生5分钟时间动手操作，小组交流发现。 2. 性质总结：结合学生的操作结果，总结轴对称的基本性质：① 对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线；② 关于某条直线对称的两个图形全等；③ 对应线段相等，对应角相等。用简单演示辅助说明，让学生直观理解性质，重点掌握“对称点连线垂直于对称轴”这一核心性质。 三、巩固练习（15分钟） 1. 基础题（7分钟）：给出题目让学生完成：① 判断下列图形是否为轴对称图形，并画出对称轴（长方形、平行四边形、圆形、等腰三角形）；② 找出两个关于直线对称的图形中的对应点、对应边、对应角；③ 已知点P关于直线l的对称点P'，画出直线l。学生独立完成，教师巡视，针对“混淆两个对称概念”“对称轴画不垂直”等易错点进行集中讲解。 2. 提升题（5分钟）：设计综合性题目，如“一个等腰三角形ABC，AB=AC，对称轴为AD，已知∠B=50°，求∠BAD的度数；若BC=6cm，求BD的长度”，培养学生的推理和计算能力，小组讨论后派代表发言，教师点评并强调轴对称性质的应用。 3. 拓展题（3分钟）：提问：“我们学过的汉字中，哪些是轴对称图形？（如‘中’‘日’‘田’）请同学们列举3个，并画出它们的对称轴”，引导学生结合生活实例运用知识，强化知识的综合运用，激发学习兴趣。 四、课堂小结与作业布置（5分钟） 1. 小结：引导学生自主梳理本节课知识点，提问：“本节课我们学习了哪些内容？轴对称图形和两个图形关于直线对称有什么区别与联系？轴对称的基本性质是什么？” 学生回答后，教师总结，强调重点：两个对称概念的区分、轴对称的核心性质，以及对称轴的画法。 2. 作业布置：布置基础作业，让学生完成教材对应练习题，巩固轴对称图形的识别和对称轴的画法；布置拓展作业，让学生回家观察生活中的轴对称图形，记录下来并画出它们的对称轴，尝试自己制作一个简单的轴对称剪纸作品，将理论知识与实践结合。 整个教学过程注重动手操作和小组互动，结合生活实例降低轴对称知识的抽象性，逐步培养学生的观察能力、动手能力和空间想象能力，引导学生主动探究、积极思考，确保学生掌握核心知识点，达成教学目标。 1　轴对称及其性质 第2课时　线段垂直平分线的性质 1．经历探索线段的轴对称的性质的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念． 2．探索并掌握线段垂直平分线的基本性质，掌握线段垂直平分线的尺规作图方法． 3．进一步培养学生的逻辑推理能力，感受数学与生活的紧密联系，培养学生学数学、用数学的意识． 重点：理解线段垂直平分线的性质和判定． 难点：能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题． 一、导入新课 知识链接 什么样的图形叫作轴对称图形？ 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴． 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究一：线段的对称性 线段(如教材P128图5－12)是轴对称图形吗？请描述它的对称轴的特点． 学生讨论“角是不是轴对称图形”，思考怎样验证角的轴对称性． 要点归纳：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴． 定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线(简称中垂线). 探究二：线段垂直平分线的性质 思考1：如图5－13(教材P129)，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是l上的任意一点．在线段AB上画出关于直线l成轴对称的点D和D′，连接CD和CD′. (1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系？说说你的理由． CD＝CD′且关于直线l对称 (2)特别地，当点D与点A重合时，点D′位于什么位置？此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗？由此你能得到什么结论？ 点D′与点B重合，CD＝CD′且关于直线l对称 结论：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 验证：你能验证这个结论吗？ 已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C， AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点． 试说明：PA＝PB. 解：∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°. 在△PCA和△PCB中， ∴△PCA≌△PCB(SAS)， ∴PA＝PB. 要点归纳：性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 几何语言： 因为点P是线段AB垂直平分线上的一点， 所以AP＝BP.　 探究三：利用尺规作线段的垂直平分线 思考2：如图5－14(教材P129)，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线？ 假设线段AB的垂直平分线已作出，那么 (1)这条直线有什么特征？ (2)如何确定这条直线上的两个点？用三角尺、量角器、圆规等工具试一试．如果只用尺规呢？与同伴进行交流． 注意：需要确定的点是线段对称轴上的点，因此应当从线段两端进行“对称”的操作． 如图5－15(教材P129)，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线． 作法： 1．分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D； 2．作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线. 思考3：如图5－16(教材P130)，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它经过点P？能说明你的作法的道理吗？ 作法：①以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l相交于点A，B； ②分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，连接MN即可得出直线l的垂线． 如图，DE垂直平分AC，AB＝12 cm，BC＝10 cm，则△BCD的周长为A A.22 cm B．16 cm C．26 cm D．25 cm 如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站O建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)? 解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E. 因为EO是线段AB的垂直平分线， 所以点O到A，B的距离相等． 所以这个公共汽车站应建在O点处，才能使两个小区到车站的路程一样长． 三、当堂检测 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为（ D ） A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm 第1题图 第2题图 2．如图，PC垂直平分线段AB，量得∠A＝40°，那么∠APB的度数为D A．130° B．120° C．110° D．100° 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6 cm，DE是AB的垂直平分线，△BDC的周长为16 cm，则AB的长为10 cm． 第3题图 第4题图 4．如图，AD垂直平分BC于点D，EF垂直平分AB于点F，交AC于点E，BE＋CE＝20 cm，则AB的长为20 cm． (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 本课时探索线段的轴对称性．教科书以操作性活动以及“你发现了什么”的问题引入线段的轴对称性，学生在回答“线段是轴对称图形”后，建议要求其说明线段的对称轴的特点，为下面给出垂直平分线的定义做铺垫． 学科网（北京）股份有限公司 $