4.4 利用三角形全等测距离-教案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形情境激趣：展示生活中的三角形实例图片，包括屋顶的框架、自行车的车架、三角尺、交通警示牌等，引导学生观察：“这些物体的形状有什么共同特点？” 邀请学生上台用直尺画出自己印象中的三角形，引导学生发现三角形是由三条线段组成的封闭图形。 2. 引出课题：结合学生的观察和画图结果，明确本节课的学习内容——三角形，告知学生本节课将重点探究三角形的定义、构成、分类及内角和规律，激发学生的探究兴趣，让学生体会三角形在生活中的广泛应用。 二、探究新知（20分钟） （一）三角形的定义与构成要素 1. 概念探究：结合学生画出的三角形，引导学生分组讨论：“一个三角形由哪些部分组成？什么样的图形才能叫做三角形？” 给学生3分钟时间交流讨论，梳理三角形的特点。 2. 定义与要素讲解：结合学生讨论结果，明确三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，记作△ABC（顶点分别为A、B、C）。强调两个关键条件：“不在同一直线上”“首尾顺次相接”，补充反例说明（三条线段在同一直线、首尾不相连均不是三角形）。同时讲解构成要素：三角形有3个顶点、3条边、3个内角，结合图形标注，让学生直观认识顶点、边、内角的概念，明确边与顶点的对应关系（如顶点A对应的边是BC）。 3. 即时练习：让学生在练习本上画一个三角形，标注出它的顶点、边和内角，同桌之间相互检查，教师巡视指导，纠正画图不规范、标注错误等问题，强化概念记忆。 （二）三角形的分类 1. 分类引导：展示不同类型的三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，等腰三角形、等边三角形），提问：“这些三角形的角和边有什么不同？我们可以从哪些角度对三角形进行分类？” 引导学生从“角的大小”和“边的长短”两个角度思考。 2. 具体分类：结合图形讲解两种分类方法。按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角），强调“一个三角形中最多有一个直角或钝角”；按边分类：等腰三角形（两条边相等）、等边三角形（三条边都相等）、不等边三角形（三条边都不相等），补充说明等边三角形是特殊的等腰三角形，结合实例让学生区分不同类型的三角形。 （三）三角形内角和定理 1. 动手验证：让学生拿出准备好的三角形纸片，引导学生通过剪拼、折叠的方法，将三角形的三个内角拼在一起，观察拼成的图形是什么角（平角）。给学生5分钟时间动手操作，小组交流验证结果，教师巡视指导，纠正操作不规范的问题。 2. 定理总结与简单推理：结合学生的操作结果，总结三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°。用简单推理辅助说明：将三角形的一个内角平移，与另外两个内角拼成一个平角（180°），让学生初步理解推理过程，不深入推导，重点掌握定理的应用。 三、巩固练习（15分钟） 1. 基础题（7分钟）：给出题目让学生完成：① 判断下列图形是否为三角形，并说明理由；② 给三角形分类（按角和按边）；③ 已知三角形两个内角分别为50°和60°，求第三个内角的度数。学生独立完成，教师巡视，针对“分类混淆”“内角和计算错误”等易错点进行集中讲解。 2. 提升题（5分钟）：设计综合性题目，如“一个等腰三角形，其中一个底角为40°，求顶角的度数；若一个等腰三角形的顶角为70°，求底角的度数”，培养学生的分类思考和计算能力，小组讨论后派代表发言，教师点评并强调“等腰三角形两底角相等”的性质。 3. 拓展题（3分钟）：提问：“一个三角形中，最大的角是89°，这个三角形是什么三角形？如果最大的角是90°或91°呢？” 引导学生结合分类方法和内角和定理思考，强化知识的综合运用，为后续学习铺垫。 四、课堂小结与作业布置（5分钟） 1. 小结：引导学生自主梳理本节课知识点，提问：“本节课我们学习了三角形的哪些内容？三角形的定义和构成要素是什么？有哪些分类方法？三角形内角和定理是什么？” 学生回答后，教师总结，强调重点：三角形的定义关键、分类标准，以及内角和定理的应用。 2. 作业布置：布置基础作业，让学生完成教材对应练习题，巩固三角形的分类和内角和计算；布置拓展作业，让学生回家观察生活中的三角形物体，记录其类型，测量出每个内角的度数，验证三角形内角和定理，将理论知识与生活实际结合。 整个教学过程注重动手操作和小组互动，结合生活实例降低三角形知识的抽象性，逐步培养学生的观察能力、动手能力和推理能力，引导学生主动探究、积极思考，确保学生掌握核心知识点，达成教学目标。 4.4 利用三角形全等测距离 1．能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系． 2．能在解决问题的过程中进行有条理地思考和表达. 重点：利用三角形全等解决实际问题． 难点：在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达. 一、导入新课 知识链接 我们学过哪些全等三角形的判定方法？ 答：SSS，ASA，AAS，SAS. 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究：利用三角形全等测距离 活动1：你听过智慧炸碉堡的故事吗？(图片显示) 播放音频或者让学生阅读书上的故事内容．你知道这位战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？ (1)按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证． 学生小组讨论，小组代表演示测量方法，教师适当指导与评价． (2)你能解释其中的道理吗？ 在△ACB和△ACD中， 因为∠CAB＝∠CAD，AC＝AC，∠ACB＝∠ACD， 所以△ACB≌△ACD(ASA).所以BC＝CD. 要点归纳：1.利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离． 2．依据：全等三角形对应边相等． 3．关键：构造全等三角形．　 活动2：小明在上周末游览风景区时，看到了一个池塘，他想知道最远两点A，B之间的距离，但是他没有船，不能直接去测．手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A，B之间的距离呢？把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴交流你的方案，看看谁的方案更便捷． 方案一：先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到D，使AC＝CD；连接BC并延长到E，使CE＝CB；连接DE并测量出它的长度，则DE的长度就是点A，B间的距离． 追问：同学们知道这其中的原理吗？你能说出每步的道理吗？ 在△ABC和△DEC中， 因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC， 所以△ABC≌△DEC(SAS).所以AB＝DE.(全等三角形，对应边相等) 小组讨论：你还能设计出其他的方案吗？(构建全等三角形) 学生讨论出几种方案，其他学生根据所想方案作答．(PPT展示) 方案二： 在△ABC与△DEC中，已知AB⊥BE，BC＝CE，DE⊥BE，点A，C，D在同一直线上，结论：AB＝DE. 理由：ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 方案三：如图，先作△ABD，再找一点C，使BC∥AD，并使AD＝BC，连接CD，量CD的长即得AB的长． 理由：因为AD∥CB，所以∠1＝∠2. 在△ABD与△CDB中，因为AD＝CB，∠1＝∠2， BD＝DB，所以△ABD≌△CDB(SAS).所以AB＝CD. 方案四：如图，找一点D，使AD⊥BD，延长BD至C，使CD＝BD，连接AC，量AC的长即得AB的长. 理由：因为AD⊥BD，所以∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△ADB与Rt△ADC中， 因为AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，BD＝CD， 所以Rt△ADB≌Rt△ADC(SAS).所以AB＝AC. 要点归纳： 　 如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径．现在有两根同样长的木棒、一条橡皮绳和一把带有刻度的直尺，你能设法帮助他完成吗？ 如图，在容器外取一点O，连接CO，DO并延长， 使AO＝CO，BO＝DO，连接AB. ∵∠AOB＝∠COD， ∴△ABO≌△CDO(SAS). ∴CD＝AB，测出AB的长即可知CD的长， 即可知容器的内径． 三、当堂检测　 如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A，B间的距离，可延长AO至C，使CO＝AO，延长BO至D，使DO＝BO，则△COD≌△AOB，从而通过测量CD的长度即可得A，B间的距离，其全等的根据是（ A ） A.SAS B．ASA C．AAS D．SSS (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 通过实例引入课堂教学，激发学生的探究兴趣，从而了解到全等三角形在实际生活中的应用．在小组间的合作探究过程中，要鼓励学生大胆设想，充分展开联想，对三角形全等的利用进行深层的探究与学习，培养学生的创造性和独立解决问题的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $