4.1 因式分解 导学案 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第四章 因式分解 1因式分解 第1课时 【学习目标】 1. 经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法。 2. 经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观。 3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系。 4. 感受因式分解在解决相关问题中的作用。 【学习过程】 一、情境导入： 某中学决定购买 m 台电脑和 m 套桌椅。已知每台电脑的单价是 a 元，每套桌椅的价格是 b 元。小明说：“总共需要 (ma＋mb) 元。” 而小华说：“总共需要 m (a＋b) 元。” 同学们，你们觉得他们计算出的总金额一样吗？ 二、新知初探 探究一 因式分解的概念　 活动1 讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流． 活动2 如果将上面问题中的99换成a，你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？ 活动3观察下面的拼图过程，写出相应的关系式。 问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？ 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？ 活动3判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： A. x(a﹣b) = ax﹣bx B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2 C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1) D. ax + by + c = x(a + b) + c E. 2a3b = a2 • 2ab F. (x + 3)(x-3) = x2﹣9 结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 探究二 因式分解与整式乘法的关系 活动1计算下列各式: (1) 3x(x - 1) = __________ (2) m(a+b-1) = _______ (3)(m+4)(m-4) = _____ (4)(y-3)2 = _____ 活动2根据上面的算式填空: (1) 3x2-3x = ( )( ) (2) ma+mb-m = ( )( ) (3) m2-16 = ( )( ) (4) y2-6y+9 = ( )( ) 问题：因式分解和整式乘法有什么关系？ 活动3 随堂练习 1．下列从左到右边的变形是因式分解的是( D ) A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1) C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2 2.下列多项式中，分解因式的结果为 -(x + y)(x - y)的是（　B　） A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2 C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2 3．113－11不能被下列哪个数整除？( A ) A．13 B．12 C．11 D．10 4.若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值. 解：∵ x2 + ax + b = a(x﹣2)(x + 3)= ax2 + ax - 6a， ∴ a = 1，b =﹣6a =﹣6. 当堂达标 1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 ( ) A. a(a + b - 1) = a2 + ab - a B. a2 - a - 2 = a(a - 1) - 2 C. -4a2 + 9b2 = (-2a + 3b)(2a + 3b) D. 2x +1 = x(2 + ) 2. 把多项式 x2 + 4mx + 5 因式分解得 (x + 5)(x + n)，则 m + n 的值为 　 ． 3. 20242 + 2024 能被 2025 整除吗? 4. 若多项式 x4 + mx3 + nx -16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)，求 mn 的值. 5. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 (x + 2)(x + 4)；乙看错了 a，分解结果为 (x + 1)(x + 9)，求 a + b 的值. 当堂达标参考答案 1.C 2. 3.解：∵ 20242 + 2024 = 2024(2024 + 1)= 2024×2025， ∴ 20242 + 2024 能被 2025 整除. 4.解：∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次数是 4， ∴可设 x4 + mx3 + nx -16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b)， x4+mx3+nx-16 = x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b= -16，b- 3a+2 = 0，a - 3=m，2a-3b=n， 解得 a = -2，b = -8，m = -5，n = 20. ∴mn = -5×20 = -100． 5.解：甲分解因式看错了 b，但 a 是正确的， 其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15． 学科网（北京）股份有限公司 $