2.1 第2课时 垂线-教案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第二章　相交线与平行线相交线与平行线教案（教学过程） 本节课时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生掌握相交线的邻补角、对顶角性质，理解平行线的定义及判定方法，能初步运用性质和判定解决简单几何问题，培养学生的观察、探究和推理能力。教学过程如下： 一、导入新课（5分钟） 1. 情境引入：展示生活中的实例图片，包括教室的墙角、课桌的边缘、公路的交叉路口、铁轨等，引导学生观察图片中的直线位置关系，提问：“这些直线有的交叉在一起，有的始终保持一定距离，它们分别是什么位置关系？” 引导学生说出“相交”和“平行”两种情况。 2. 引出课题：结合学生的回答，明确本节课的学习内容——相交线与平行线，告知学生本节课将重点探究相交线的相关性质和平行线的判定方法，激发学生的探究兴趣。 二、探究新知（20分钟） （一）相交线的性质探究 1. 动手操作：让学生在练习本上画两条相交的直线AB和CD，交点为O，引导学生观察形成的四个角，提问：“这四个角之间有什么关系？可以分成几类？” 给学生2分钟时间自主观察、小组讨论。 2. 概念讲解：结合学生的讨论结果，明确邻补角和对顶角的定义。邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角（如∠AOC和∠BOC）；对顶角：两个角有一个公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角（如∠AOC和∠BOD）。强调邻补角不仅有公共边，还需互补，对顶角必须满足两边互为反向延长线。 3. 性质验证：引导学生用量角器测量四个角的度数，记录数据后提问：“对顶角的度数有什么关系？邻补角的度数和是多少？” 学生通过测量发现，对顶角相等，邻补角之和为180°。教师再通过几何推理简单验证：因为∠AOC + ∠BOC = 180°，∠BOD + ∠BOC = 180°，所以∠AOC = ∠BOD，即对顶角相等，强化学生的推理意识。 （二）平行线的定义与判定探究 1. 定义讲解：展示铁轨、黑板上下边缘的图片，引导学生观察：“这些直线没有交点，它们的位置关系有什么特点？” 结合学生回答，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b，强调“同一平面内”是前提（可举例说明异面直线，如教室天花板的直线和地面的直线，虽不相交但不平行）。 2. 判定方法探究：教师在黑板上画一条直线l，再用直尺和三角板画一条直线a，使a与l平行，演示画图过程（一落、二靠、三推、四画），引导学生观察：“画平行线时，三角板的角起到了什么作用？” 引出同位角的概念，即两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的角叫做同位角。 3. 核心判定：通过演示，告知学生：同位角相等，两直线平行。结合画图过程，让学生理解“同位角相等”是判定两直线平行的关键，再让学生尝试用三角板画一条与a平行的直线b，巩固画图方法和判定思路。 三、巩固练习（15分钟） 1. 基础题（7分钟）：给出相交线图形，让学生识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数（如已知∠AOC = 60°，求∠BOD、∠BOC的度数），巩固邻补角和对顶角的性质；给出两条直线被第三条直线所截的图形，让学生识别同位角，判断两直线是否平行，落实平行线的判定方法。学生独立完成，教师巡视指导，针对易错点（如混淆邻补角和对顶角、忽略“同一平面内”）进行讲解。 2. 提升题（5分钟）：设计综合性题目，如“已知直线AB和CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOD = 70°，求∠BOE的度数”“已知∠1和∠2是同位角，∠1 = 55°，∠2 = 55°，判断直线a和b是否平行，并说明理由”，培养学生的推理和计算能力，小组讨论后派代表发言，教师点评。 3. 拓展题（3分钟）：提问：“除了同位角，两条直线被第三条直线所截，还会形成内错角、同旁内角，它们与两直线平行有什么关系？” 引导学生初步思考，为后续学习铺垫，激发学生的后续探究欲望。 四、课堂小结与作业布置（5分钟） 1. 小结：引导学生自主梳理本节课的知识点，提问：“本节课我们学习了哪些内容？邻补角、对顶角有什么性质？平行线的定义和判定方法是什么？” 学生回答后，教师总结，强调重点：对顶角相等、邻补角互补，同位角相等可判定两直线平行，牢记平行线定义中的“同一平面内”。 2. 作业布置：布置基础作业，让学生完成教材对应练习题，巩固本节课知识点；布置拓展作业，让学生观察生活中更多相交线和平行线的实例，记录下来并简要说明它们的特点，将数学知识与生活实际结合起来。 整个教学过程注重学生的自主探究和动手操作，结合生活实例，降低几何知识的抽象性，逐步培养学生的观察能力、推理能力和应用意识，确保学生掌握核心知识点，达成教学目标。 2.1　两条直线的位置关系 第2课时　垂线 1．理解垂线、垂线段的概念，在作图中掌握点到直线的距离的概念，培养抽象能力和空间观念． 2．会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离，发展应用能力和作图能力． 3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理，培养数学思维自主思考的习惯，发展推理能力和数学表达能力． 重点：垂线的性质及点到直线的距离的定义． 难点：运用垂线的概念和性质解决实际应用问题． 一、导入新课 知识链接 图①中，当直线AB绕点O逆时针旋转到∠AOC＝90°时(如图②)，你能求出其他角的度数吗？此图形有什么特点？此时两直线有什么关系？ 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究一：垂直的概念 活动1：取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b，a、b所成的夹角为∠α.转动木条的同时观察其夹角的变化． (1)当∠α分别为35°、90°时，其余的角分别是多少？ (2)当∠α为90°的位置关系有几个？此时，木条a和木条b所在的直线有什么样的位置关系？ (1)145°，35°，145°；90°，90°，90°. (2)当∠α为90°的位置关系只有一个；此时两根木条的位置关系——a与b垂直，记作a⊥b. 要点归纳： 1．垂直的定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫作另一条直线的垂线．它们的交点叫垂足． 2．通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直． 记作：AB⊥CD(或CD⊥AB)或l⊥m(或m⊥l).　 探究二：垂线的画法及基本事实 活动2：画已知直线l的垂线能画几条？点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？如果点A在直线l外呢？ 问题1：这样画l的垂线可以画几条？如图，已知直线l，画l的垂线． 无数条． 问题2：(1)如图，点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？如果点A在直线l外呢？ 都只能画一条垂线． (2)如图，已知直线l和l上的一点A，过点A画l的垂线．点A在直线l外呢？ 问题3：如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足．点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？ 线段PO最短． 要点归纳：1.垂线的性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 2．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．　 议一议：你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗？你能说说其中的道理吗？ 如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝145°，则∠3的度数为(C) A.35° B．45° C．55° D．65° 如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5. (1)试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离； (2)点C到直线AB的距离是多少？ 解析：(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积求得． (1)点A到直线BC的距离是3；点B到直线AC的距离是4； (2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.因为S三角形ABC＝BC·AC＝AB·CD，所以5CD＝3×4，解得CD＝.所以点C到直线AB的距离为. 三、当堂检测 1．如图，点B到直线AC的距离是线段( B ) A.AB的长 B．CB的长 C．BD的长 D．AC的长 2．如图，过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是( D ) (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直．垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证数学依据的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆． 学科网（北京）股份有限公司 $