2.1 两直线的位置关系（六大题型）专项训练 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2.1 两直线的位置关系 题型一 与余角、补角有关的计算 1．已知与互补，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查补角的概念，根据互补角之和为，结合，即可求． 【详解】∵与互补， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 2．如果一个锐角的补角比这个角的余角的2倍还多，那么这个角的余角是 度． 【答案】50 【分析】考查了角的互余和互补关系与角度之间的运算． 设这个锐角为，根据补角比余角的2倍多列方程求解即可． 【详解】解：设这个锐角为，则补角为，余角为， 依题意得，解得． 故余角为． 故答案为：50． 3．数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． (1)若，则的度数为_____； (2)若，求的度数； (3)在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2．若，则的度数为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （2）同（1）计算即可； （3）先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴； 故答案为：． 题型二 同（等）角的余（补）角相等的应用 4．若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了同角的补角相等，根据同角的补角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 5．如果与互补，与互补，且，，那么 ． 【答案】55 【分析】本题考查等角的补角相等，解题的关键是熟练掌握补角的性质．根据“等角的补角相等”进行求解即可． 【详解】解：∵与互补，与互补， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 6．如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，余角性质等，解题的关键是掌握角的和差及角平分线的性质． （1）根据余角性质得出，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）根据角的和差及倍数关系求出相关角的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵射线在直线的上方， ∴， ∴． 题型三 垂线的定义理解 7．如图，直线与相交于点O，射线在内部，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直、对顶角相等，熟练掌握垂直的定义是解题关键．先根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 故选：B． 8．如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，邻补角，正确求出的度数是解题的关键． 先根据垂直的定义得到，再结合已知条件求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案； （2）设，，则可推出，根据垂线的定义可推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ， ， ， ； （2）解：， ∴可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即， ∴，即． 题型四 画垂线 10．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 11．在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 【答案】一/1 【分析】应用垂线的性质，在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行判断即可得出答案． 【详解】解：在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画一条直线与直线l相垂直． 故答案为：一． 12．平面内有任意一点P和，按要求解答下列问题： (1)当点P在外部时，如图1，过点P作，，垂足分别为A，B，量一量和的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系是________； (2)当点P在内部时，如图2，以点P为顶点作，使的两边分别和的两边垂直，垂足分别为A，B，用数学式子写出和的数量关系是________； (3)由上述情形，用文字语言叙述结论：________________； (4)在图2中，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补 (4) 【分析】本题考查画垂线，角的度量，角度之间的关系，熟练掌握垂线的画法，量角器的使用，是解题的关键： （1）借助三角板画出垂线，利用量角器量角后，进行判断即可； （2）同（1）即可得出结果； （3）借助（1）（2）即可得出结论； （4）利用（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： 通过量角器测量得到； （2）解：作图如下： 通过量角器测量得到； （3）由（1）（2）如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补； （4）由（2）可知：， ∵， ∴． 题型五 垂线段最短 13．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：如图，，点是边上的动点， ，即． ， 的长不可能为． 故选：A． 14．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 15．作图题 (1)用尺规按要求作图 已知， 求作，使（只保留痕迹，不写做法） (2)河边有一村庄（近似看作点A），如果在河岸上建一个码头（近似看作点B），使村庄的人到码头最近，请在图中画出码头，并测量村庄到码头的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法和垂线段的作法． （1）首先画射线；再以O为圆心，任意长为半径画弧交、于P、D；以C为圆心，长为半径画弧，然后再以N为圆心长为半径画弧，交前弧于M，过M作射线可得． （2）根据垂线段最短的性质，过A作河岸的垂线段，垂足B即为码头的位置． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求． （2）解：如图所示：点B即为码头的位置． 题型六 点到直线的距离 16．如图，在三角形中，，则点A到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题关键是理解点A到直线的距离为垂线段的长度． 根据点到直线的距离的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴点A到直线的距离为． 故选：B． 17．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 18．如图，点表示村庄，，是两条互相垂直的公路，是河流，点和点处各有一座小桥． (1)量出点到的图上距离． (2)量出点到的图上距离． (3)如果此图是按的比例画出的，计算（1）和（2）中的实际距离． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 (3)（1）中的实际距离为千米，（2）中的实际距离为千米 【分析】本题主要考查点到直线的距离，垂线的定义，比例尺，理解相关知识是解答的关键． （1）根据题意和图，测量出线段的长度即可求解； （2）先过点作于点，再测量出线段的长度即可求解； （3）根据图上距离实际距离比例尺，即可求解． 【详解】（1）解：由题意和图可得， 点到的图上距离即线段的长度， 测量可得，点到的图上距离是厘米． （2）解：如图， 过点作于点， 点到的图上距离即线段的长度， 测量可得，点到的图上距离是厘米． （3）解：由题意得， （厘米），厘米千米； （厘米），厘米千米． 答：（1）中的实际距离为千米，（2）中的实际距离为千米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 两直线的位置关系 题型一 与余角、补角有关的计算 1．已知与互补，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如果一个锐角的补角比这个角的余角的2倍还多，那么这个角的余角是 度． 3．数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． (1)若，则的度数为_____； (2)若，求的度数； (3)在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2．若，则的度数为_____． 题型二 同（等）角的余（补）角相等的应用 4．若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 5．如果与互补，与互补，且，，那么 ． 6．如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 题型三 垂线的定义理解 7．如图，直线与相交于点O，射线在内部，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为 ． 9．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型四 画垂线 10．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C．D． 11．在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 12．平面内有任意一点P和，按要求解答下列问题： (1)当点P在外部时，如图1，过点P作，，垂足分别为A，B，量一量和的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系是________； (2)当点P在内部时，如图2，以点P为顶点作，使的两边分别和的两边垂直，垂足分别为A，B，用数学式子写出和的数量关系是________； (3)由上述情形，用文字语言叙述结论：________________； (4)在图2中，若，求的度数． 题型五 垂线段最短 13．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 14．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 15．作图题 (1)用尺规按要求作图 已知， 求作，使（只保留痕迹，不写做法） (2)河边有一村庄（近似看作点A），如果在河岸上建一个码头（近似看作点B），使村庄的人到码头最近，请在图中画出码头，并测量村庄到码头的距离． 题型六 点到直线的距离 16．如图，在三角形中，，则点A到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 17．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 18．如图，点表示村庄，，是两条互相垂直的公路，是河流，点和点处各有一座小桥． (1)量出点到的图上距离． (2)量出点到的图上距离． (3)如果此图是按的比例画出的，计算（1）和（2）中的实际距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $