2.1 第1课时 对顶角、余角和补角-教案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第二章　相交线与平行线 2.1　两条直线的位置关系 第1课时　对顶角、补角和余角相交线与平行线教案（教学过程） 本节课时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生掌握相交线的邻补角、对顶角性质，理解平行线的定义及判定方法，能初步运用性质和判定解决简单几何问题，培养学生的观察、探究和推理能力。教学过程如下： 一、导入新课（5分钟） 1. 情境引入：展示生活中的实例图片，包括教室的墙角、课桌的边缘、公路的交叉路口、铁轨等，引导学生观察图片中的直线位置关系，提问：“这些直线有的交叉在一起，有的始终保持一定距离，它们分别是什么位置关系？” 引导学生说出“相交”和“平行”两种情况。 2. 引出课题：结合学生的回答，明确本节课的学习内容——相交线与平行线，告知学生本节课将重点探究相交线的相关性质和平行线的判定方法，激发学生的探究兴趣。 二、探究新知（20分钟） （一）相交线的性质探究 1. 动手操作：让学生在练习本上画两条相交的直线AB和CD，交点为O，引导学生观察形成的四个角，提问：“这四个角之间有什么关系？可以分成几类？” 给学生2分钟时间自主观察、小组讨论。 2. 概念讲解：结合学生的讨论结果，明确邻补角和对顶角的定义。邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角（如∠AOC和∠BOC）；对顶角：两个角有一个公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角（如∠AOC和∠BOD）。强调邻补角不仅有公共边，还需互补，对顶角必须满足两边互为反向延长线。 3. 性质验证：引导学生用量角器测量四个角的度数，记录数据后提问：“对顶角的度数有什么关系？邻补角的度数和是多少？” 学生通过测量发现，对顶角相等，邻补角之和为180°。教师再通过几何推理简单验证：因为∠AOC + ∠BOC = 180°，∠BOD + ∠BOC = 180°，所以∠AOC = ∠BOD，即对顶角相等，强化学生的推理意识。 （二）平行线的定义与判定探究 1. 定义讲解：展示铁轨、黑板上下边缘的图片，引导学生观察：“这些直线没有交点，它们的位置关系有什么特点？” 结合学生回答，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b，强调“同一平面内”是前提（可举例说明异面直线，如教室天花板的直线和地面的直线，虽不相交但不平行）。 2. 判定方法探究：教师在黑板上画一条直线l，再用直尺和三角板画一条直线a，使a与l平行，演示画图过程（一落、二靠、三推、四画），引导学生观察：“画平行线时，三角板的角起到了什么作用？” 引出同位角的概念，即两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的角叫做同位角。 3. 核心判定：通过演示，告知学生：同位角相等，两直线平行。结合画图过程，让学生理解“同位角相等”是判定两直线平行的关键，再让学生尝试用三角板画一条与a平行的直线b，巩固画图方法和判定思路。 三、巩固练习（15分钟） 1. 基础题（7分钟）：给出相交线图形，让学生识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数（如已知∠AOC = 60°，求∠BOD、∠BOC的度数），巩固邻补角和对顶角的性质；给出两条直线被第三条直线所截的图形，让学生识别同位角，判断两直线是否平行，落实平行线的判定方法。学生独立完成，教师巡视指导，针对易错点（如混淆邻补角和对顶角、忽略“同一平面内”）进行讲解。 2. 提升题（5分钟）：设计综合性题目，如“已知直线AB和CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOD = 70°，求∠BOE的度数”“已知∠1和∠2是同位角，∠1 = 55°，∠2 = 55°，判断直线a和b是否平行，并说明理由”，培养学生的推理和计算能力，小组讨论后派代表发言，教师点评。 3. 拓展题（3分钟）：提问：“除了同位角，两条直线被第三条直线所截，还会形成内错角、同旁内角，它们与两直线平行有什么关系？” 引导学生初步思考，为后续学习铺垫，激发学生的后续探究欲望。 四、课堂小结与作业布置（5分钟） 1. 小结：引导学生自主梳理本节课的知识点，提问：“本节课我们学习了哪些内容？邻补角、对顶角有什么性质？平行线的定义和判定方法是什么？” 学生回答后，教师总结，强调重点：对顶角相等、邻补角互补，同位角相等可判定两直线平行，牢记平行线定义中的“同一平面内”。 2. 作业布置：布置基础作业，让学生完成教材对应练习题，巩固本节课知识点；布置拓展作业，让学生观察生活中更多相交线和平行线的实例，记录下来并简要说明它们的特点，将数学知识与生活实际结合起来。 整个教学过程注重学生的自主探究和动手操作，结合生活实例，降低几何知识的抽象性，逐步培养学生的观察能力、推理能力和应用意识，确保学生掌握核心知识点，达成教学目标。 1．在具体情境中理解对顶角、补角、余角等概念，掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等，并能解决一些实际问题． 2．经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和初步的有条理表达的能力． 重点：对顶角、补角、余角的性质及应用． 难点：余角、补角的性质． 一、导入新课 知识链接 在同一平面内，两条直线的位置关系有哪些呢？ 相交和平行． 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究一：对顶角的概念及其性质 自学教材P34观察·交流，并完成以下问题： 问题1：如图，直线AB、CD相交于O，∠1和∠2有什么位置关系？它们的大小有什么关系？ ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线，∠1＝∠2. 要点归纳： 1．对顶角的概念：如图，直线AB与CD相交于点O，∠1和∠2有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角． 2．对顶角的性质：对顶角相等．　 探究二：补角和余角的概念 活动1：画一画：1.请画出两个角，使他们的和为90°. 2．请画出两个角，使它们的和为180°. 3．小组交流画法，相互点评． 4．用自己的语言描述补角、余角的定义． 问题2：如图，∠1与∠3有什么数量关系？ ∠1＋∠3＝180°. 要点归纳：1.补角：一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角． 2．余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．　 探究三：补角和余角的性质 如图①，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1＝∠2，将图①简化成图②，ON与DC交于点O，∠DON＝∠CON＝90°，∠1＝∠2. 活动2：小组合作交流，解决下列问题：在图②中， (1)哪些角互为补角？哪些角互为余角？ (2)∠3与∠4有什么关系？为什么？ (3)∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ 解：(1)互为补角：∠3与∠AOC，∠4与∠BOD，∠DON与∠CON； 互为余角：∠1与∠3，∠2与∠3，∠2与∠4，∠1与∠4； (2) ∠3＝∠4.理由：因为∠1 =∠2，∠1 +∠3 = 90°， ∠ 2 +∠4 = 90°， 所以∠3 =∠4； (3) ∠AOC＝∠BOD. 理由：因为∠1 =∠2，∠1 +∠AOC = 180°，∠2 +∠BOD = 180°， 所以∠AOC =∠BOD. 要点归纳：同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等．　 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是D 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数． ∵∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)， ∴∠BOF＝110°－40°＝70°. ∵∠2＝∠BOF(对顶角相等)， 故∠2＝70°. 三、当堂检测 1．若∠A＝75°，则∠A的余角为( A ) A．15° B．75° C．80° D．105° 2．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是( C ) 3．如图，直线AB，CD相交于点O，且∠AOD＋∠BOC＝100°，则∠AOC的度数为( B ) A．150° B．130° C．100° D．90° (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 对顶角的性质：对顶角相等 互余 互补 两角间的数量关系 两个角的和是90° 两个角的和是180° 对应图形 性质 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等 本节课学习了对顶角及其性质．教学中可让学生自己画这些角，结合图形说出对顶角的特征．对顶角的识别是易错点，可以结合例题进行练习，让学生在学习中不断纠错，不断进步． 学科网（北京）股份有限公司 $