1.4　整式的除法 教案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该教案聚焦整式乘除核心知识，涵盖同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方及整式除法法则。通过复习旧知（整式概念、乘方意义、单项式乘法）和情境问题（电子计算机运算、面积计算），搭建新旧知识衔接的学习支架。 以探究为主线，引导学生从具体算式抽象规律（数学眼光），通过乘除互逆、类比推导法则（数学思维），用符号规范表达（数学语言）。如从实例推导同底数幂乘法公式，通过乘除互逆探究除法法则。助力学生发展抽象与推理能力，为教师提供分层练习和易错指导，提升教学效果。

第一章　整式的乘除一、复习导入（5分钟） 1. 回顾旧知：教师提问，引导学生回忆相关概念和运算，“什么是整式？单项式和多项式的区别是什么？”“我们之前学过的乘方的意义是什么？比如$$2^3$$表示什么？” 邀请2-3名学生发言，纠正模糊认知，明确整式分为单项式和多项式，乘方是几个相同因数的积，如$$2^3 = 2×2×2$$。 2. 情境激趣：呈现问题“一种电子计算机每秒可进行$$10^8$$次运算，它工作$$10^3$$秒可进行多少次运算？” 引导学生列出算式$$10^8 × 10^3$$，提问“这个算式是两个同底数幂相乘，该如何计算？” 引发学生思考，自然引入本节课主题——整式的乘除（第一课时：同底数幂的乘法及相关幂的运算）。 二、新知讲授（20分钟） （一）同底数幂的乘法 1. 探究法则：教师引导学生结合乘方意义，计算以下算式：①$$2^3 × 2^2$$ ②$$10^8 × 10^3$$ ③$$a^3 × a^2$$。让学生分组讨论，分享计算过程，教师巡视指导。 2. 总结法则：结合学生的计算结果，引导学生发现规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为$$a^m × a^n = a^{m+n}$$（m、n为正整数），强调前提是“同底数幂”，底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式。 3. 例题讲解：讲解例1，计算：①$$x^5 × x^2$$ ②$$y × y^3 × y^5$$ ③$$(-2)^3 × (-2)^2$$。每道题先让学生尝试计算，教师再板书规范步骤，强调符号的处理，如负数的乘方，底数带符号时需整体计算，$$(-2)^3 × (-2)^2 = (-2)^{3+2} = (-2)^5 = -32$$。 （二）幂的乘方 1. 概念引入：提问“$$(a^3)^2$$表示什么意思？” 引导学生明确，幂的乘方是指几个相同幂相乘，即$$(a^3)^2 = a^3 × a^3$$，结合同底数幂乘法法则计算出结果为$$a^6$$。 2. 探究法则：让学生自主计算$$(a^2)^3$$、$$(10^4)^2$$，分组讨论规律，教师引导总结：幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示为$$(a^m)^n = a^{mn}$$（m、n为正整数），对比同底数幂乘法法则，强调“指数相加”与“指数相乘”的区别。 3. 即时练习：让学生快速计算$$(x^4)^3$$、$$(y^2)^5$$，指名回答，纠正易错点，如混淆两个法则，避免出现$$(x^4)^3 = x^7$$的错误。 （三）积的乘方 1. 探究法则：呈现算式$$(ab)^2$$，引导学生拆分计算，$$(ab)^2 = ab × ab = (a×a) × (b×b) = a^2b^2$$，再让学生计算$$(ab)^3$$，总结规律：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为$$(ab)^n = a^n b^n$$（n为正整数），可推广到多个因式，如$$(abc)^n = a^n b^n c^n$$。 2. 例题讲解：讲解例2，计算：①$$(2x)^3$$ ②$$(-3y^2)^2$$，强调每一个因式都要乘方，注意符号，如$$(-3y^2)^2 = (-3)^2 × (y^2)^2 = 9y^4$$，避免漏乘因式或符号错误。 三、巩固练习（15分钟） 1. 基础题（全员必做）：设计5道基础计算题，涵盖三个法则，让学生独立完成，教师巡视，收集易错题型，重点讲解：①$$a^4 × a^5$$ ②$$(x^3)^4$$ ③$$(-2a)^3$$ ④$$y^2 × y^3 × y$$ ⑤$$(3xy)^2$$。完成后，指名学生板书答案，集体订正，强调规范步骤。 2. 提高题（小组讨论）：设计2道综合性题目，培养学生灵活运用法则的能力：①$$(a^2)^3 × a^4$$ ②$$(-2x^2y)^3$$，让学生分组讨论解题思路，每组派代表分享，教师补充讲解，引导学生明确运算顺序，先算乘方，再算同底数幂乘法。 3. 纠错练习：呈现学生易错题，如$$a^3 + a^3 = a^6$$、$$(a^2)^3 = a^5$$、$$(ab)^3 = ab^3$$，让学生找出错误原因，改正错误，加深对法则的理解，避免再犯同类错误。 四、课堂小结（3分钟） 教师引导学生回顾本节课重点内容，提问“本节课我们学习了哪些幂的运算？它们的法则分别是什么？”“同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方有什么区别？” 邀请学生自主总结，教师补充完善，强调三个法则的核心的是“底数不变”，关键是区分指数的运算（相加、相乘），以及积的乘方要“每一个因式都乘方”。 同时，提醒学生在运算中注意符号处理和运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后合并同类项（本节课暂不涉及同类项合并，为后续学习铺垫）。 五、布置作业（2分钟） 布置分层作业，兼顾不同学生的学习需求：1. 基础作业：教材对应习题，巩固三个法则的基础运算；2. 提高作业：补充2道综合性计算题，如$$(a^m)^n × a^{m+n}$$、$$(-3a^2b)^2 × (-2ab)$$；3. 拓展作业：思考“同底数幂的除法该如何计算？”，为下一节课学习做铺垫。 最后，强调作业书写规范，步骤清晰，及时订正错误，有疑问及时向老师或同学请教。 1.4　整式的除法 1．经历探索单项式除以单项式、多项式除以单项式法则的过程，会进行多项式除以单项式的运算． 2．通过观察、归纳和概括等一系列数学活动，理解整式除法的运算算理，感受数学思考过程的条理性和数学结论的严谨性，并进一步体会类比方法的作用． 3．在发展推理能力和有条理的表达能力的过程中，进一步培养学习数学的兴趣，加强学习数学的信心. 重点：能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题. 难点：多项式除以单项式运算法则的探究过程． 一、导入新课 知识链接 1．口答： (1)a20÷a10；　　　(2)yz2·z3； (3)2x4·x6; (4)4ab2·a2x. (1)a10；(2)yz5；(3)2x10；(4)14a3b2x. 2．回忆单项式乘单项式的乘法法则． 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的一个因式． 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究一：单项式除以单项式 算一算： 计算下列各题，并说说你的理由． (1)x5y÷x2；(2)8m2n2÷2m2n；(3)a4b2c÷3a2b. 方法一：利用乘除法的互逆性 (1)因为x2·x3y＝x5y，所以x5y÷x2＝x3y． (2)因为2m2n·4n＝8m2n2，所以8m2n2÷2m2n＝4n． (3)因为3a2b·a2bc＝a4b2c，所以a4b2c÷3a2b＝a2bc． 方法二：利用类似分数约分的方法 (1)x5y÷x2＝＝x3y．(2)8m2n2÷2m2n＝＝4n．(3)a4b2c÷3a2b＝＝a2bc． 比一比： 观察比较后发现，单项式除以单项式，其结果(商式)仍是一个单项式． 被除式 除式 　　　商式 (1) x5y ÷ x2 ＝ x5－2·y； (2) 8m2n2 ÷ 2m2n ＝ (8÷2)·m2－2·n2－1； (3) a4b2c ÷ 3a2b ＝ (1÷3)·a4－2·b2－1·c. 追问1：三个单项式的系数之间有什么关系？ 商式的系数＝被除式的系数÷除式的系数． 追问2：同底数幂是怎样运算的？ (同底数幂)商的指数＝被除式的指数－除式的指数. 追问3：只在被除式里含有的字母，在商中有没有变化？ 被除式中单独有的幂，写在商式作为因式(类比). 议一议： 通过以上经验，你能总结出单项式除以单项式的运算法则吗？小组讨论得出结果． 要点归纳: 单项式除以单项式的法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 商式=系数·同底数幂·被除式里单独有的幂 　　　↓　　　↓　　　　　 ↓ 　　 探究二：多项式除以单项式 填一填： 因为(a+b)m = am + bm， 所以(am+bm)÷m = a+b . 因为 am÷m+bm÷m=a+b， 所以( am+bm )÷m = am÷m + bm÷m. 算一算： (1)(ad＋bd)÷d＝ad÷d＋bd÷d＝a＋b； (2)(a2b＋3ab)÷a＝a2b÷a＋3ab÷a＝ab＋3b； (3)(xy3－2xy)÷xy＝xy3÷xy－2xy÷xy＝y2－2． 要点归纳：多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．　 计算： (1)－(x5y2)2÷(－xy2)； 原式＝－x10y4÷(－xy2)＝x9y2. (2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－a5b2). 原式＝[(－48)÷24×(－1)]a6－1＋5·b5－4＋2·c＝2a10b3c. (3)(27a3－15a2＋6a)÷3a； 原式＝27a3÷3a－15a2÷3a＋6a÷3a＝9a2－5a＋2. (4)(3x2y－xy2＋xy)÷(－xy). 原式＝－3x2y÷xy＋xy2÷xy－xy÷xy＝－6x＋2y－1. 教材P27例题，课件出示，学生独立完成． 注意：1.不能漏除；2.注意符号；3.商的项数与多项式的项数相同． 思考：本节课情境导入的问题你会了吗？(再次出示课件，解决问题，首尾呼应) 三、当堂检测 1．计算6m2÷(－3m)的结果是（ B ） A．－3m B．－2m C．2m D．3m 2．计算(15x2y－10xy2)÷5xy的结果是（ B ） A．－3x＋2y B．3x－2y C．－3x＋2 D．－3x－2 3．已知某长方形的面积为8a5，其中一条边为2a2，则它的邻边为4a3． 4．若xmyn＋1÷x3y＝4x3，则m＝6，n＝0． 5．计算： (1)(xm＋ym＋zm)÷m＝x＋y＋z；(2)(16x3－24x2)÷(－4x2)＝－4x＋6． (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 在教学过程中，通过复习导入，引导学生根据单项式乘以单项式的乘法运算推导出其逆运算的规律，在探究的过程中经历数学概念的生成过程，从而加深印象． 通过问题情境中由数到式的变化，让学生充分体会数与式的联系，体会从特殊到一般，具体到抽象的认识过程，并留下悬念引出课题．在探索过程中要让学生先独立思考，再交流反馈，让学生在实践中获得运算法则，主动建构新的知识体系．这节课知识点不多难度也不大，要注意多给学生尤其是后进生充分展示的机会，在发展推理能力和有条理的口头表达能力的过程中，进一步提高数学学习兴趣和信心． 学科网（北京）股份有限公司 $