1.4整式的除法（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大版）七年级下册数学《第1章 整式的乘除》 1.4 整式的除法 知识点一 单项式除以单项式 ◆1、单项式除以单项式法则：单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式. ◆2、单项式除以单项式分为三个步骤： （1）把系数相除，所得结果做为商的系数； （2）把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式； （3）把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． 知识二 多项式除以单项式 ◆1、多项式与多项式相乘法则：多项式除以单项式，就是用多项式的除以这个单项式，再把所得的 商相加． ◆2、关键：应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式． ◆2、用式子表示：(am+an)÷m=am÷m+b m÷n=a+b． 【注意】 1、计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. 2、计算时不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同． 题型一 单项式除以单项式 解题技巧提炼 掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键，注意在计算过程中，有乘方的先算乘方，再算乘除． 1．（2023春•茂名期末）计算12a4b3c÷（﹣4a3b2）的结果是（　　） A．3a2bc B．﹣3a2bc C．﹣3abc D．3abc 2．（2024春•沈北新区期中）计算：a2b÷（ab）＝（　　） A．a B．a3b2 C．a D．a3b2 3．（2024秋•游仙区期中）下列运算正确的是（　　） A．（﹣2x2）3＝﹣6x6 B．x3﹣x2＝x C．x3•x3＝x9 D．2x4÷x2＝2x2 4．（2023•安徽二模）计算（﹣m2n3）6÷（﹣m2n3）2的结果是（　　） A．m8n12 B．m5n2 C．﹣m8n12 D．﹣m5n9 5．（2024秋•海口期末）若，则m，n的取值分别为（　　） A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝0 C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0 6．（1）计算：（﹣2ab）2•3b÷（ab2） （2）（2024春•通州区期末）计算：32（x3y2z）3÷（﹣8x5y4z2）． （3）（2024春•金凤区校级期中）（3a2b3）•（﹣2ab4）÷（6a2b3）． （4）（2024春•西安期末）计算：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2． 题型二 多项式除以单项式 解题技巧提炼 多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决．计算过程中，要注意符号问题. 1．（2024秋•武都区期末）计算（3x2y﹣6x3）÷（﹣2x）正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•淅川县月考）一个多项式除以2x﹣1，所得商式是x2+1，余式是5x，则这个多项式是（　　） A．2x3﹣x2+7x﹣1 B．2x3﹣x2+2x﹣1 C．7x3﹣x2+7x﹣1 D．2x3+9x2﹣3x﹣1 3．（2024秋•普陀区期中）已知（xn+a+xn+b）÷xn+1＝x2+x3，其中n是正整数，那么a+b的值是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 4．（2024秋•明水县校级月考）下列四个算式：①；②16a6b4c÷8a3b2＝2a2b2c；③9x8y2÷3x3y＝3x5y；④（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）＝﹣6m2+4m+2，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2024春•项城市校级月考）若（6x4﹣2x2﹣n）÷2x3＝3x﹣x2（n为常数），则n的值为 　 　． 6．（2024秋•崇明区期中）计算：（﹣2a4bc+12a3b2+9a2b3）÷3a2b＝ 　 　． 7．已知一个多项式与单项式﹣7x5y4的积为21x5y7﹣14x7y4+（2x3y2）2，求该多项式． 8．（1）（2023•五华县校级开学）（25x3y﹣10x2y2+15xy3）÷（﹣5xy） （2）（2024秋•永吉县期末）计算：（12a4﹣8a3+4a2）÷（2a）2． （3）（2024秋•嘉定区期中）计算：． （4）（2024春•顺德区校级月考）计算：（12m4n﹣9m2n2+3m3）÷（﹣3m2）． 题型三 整式的混合运算 解题技巧提炼 在进行每一种运算时，要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，计算过程中或结果中若有同类项，要注意合并同类项. 1．（2023秋•陆河县月考）计算：（2y﹣x）（x﹣y）+（2x3y+4xy3）÷2xy． 2．（1）计算：（2a4b7﹣6ab2）÷2ab+（﹣ab2）3． （2）计算：（2a+b）（a﹣b）﹣（8a3b﹣4a2b2）÷4ab． 3．（2024秋•德惠市期末）计算[ab（3a2﹣12ab）﹣6ab3]÷3ab+4ab． 4．（1）（2024春•碑林区校级月考）计算：a9÷a2•a+（a2）4﹣（﹣2a4）2． （2）（2024春•陈仓区期末）计算：（x2）3•x3﹣（﹣x）2•x9÷x2． 5．计算： （1）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2）； （2）（﹣3x2y）2•（﹣4xy2﹣5y3﹣6x+1）； （3）﹣3a（2a﹣5）﹣2a（1﹣3a）． （4）5a（a﹣b+c）﹣2b（a+b﹣c）﹣4c（﹣a﹣b﹣c）． （5）（﹣a2）3÷a3+（a+2）（a2﹣2a+4）． （6）[2x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y 6．计算下列各题： （1）． （2）（2x2﹣3）（1﹣2x）； （3）（a+2b）（a2﹣2ab+4b2）； （4）（﹣3x）2﹣（3x+1）（3x﹣2）； （5）2x2﹣x（2x﹣5y）+y（2x﹣y）． （6）3y（y﹣4）（2y+1）﹣（2y﹣3）（4y2+6y﹣9）． （7）（3x2y2﹣xy2）÷xy•（3x+1）． （8）[2a5b4﹣a2（4a2b2+2b）]÷2a2b． 7．（2023秋•镇平县月考）已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2． （1）将整式A化为最简形式； （2）求整式B； （3）求A÷B的正确结果． 题型四 整式的化简求值 解题技巧提炼 1、先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 2、有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 1．先化简，再求值：（x﹣2）（x﹣6）﹣（6x4﹣4x3﹣2x2）÷（﹣2x2），其中x＝﹣1． 2．先化简，再求值：[（x3y4）3+（xy2）2•3xy2]÷（xy2）3，其中x＝﹣2，y． 3．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab，其中a＝2，b＝1． 4．已知2a﹣b＝5，求[a2+b2+2b（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷4b的值． 5．（2023春•达州期中）化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x， 其中x＝1，y＝﹣2． 6．（2024秋•江安县期中）化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 7．（2023春•兴平市期末）已知4m2﹣7m+6＝0，求代数式（3m2﹣2m）÷m﹣（2m﹣1）2的值． 8．（2024春•新华区期末）已知A＝（a+2b）（a﹣b）﹣a5÷a3﹣（2b）2． （1）先化简A，再求当a＝1，b＝﹣3时，A的值； （2）若a＝6b，求A的值． 题型五 利用整式的除法求多项式中的未知项 解题技巧提炼 多项式除以单项式，结果中的各项分别是多项式里各项除以单项式的商，从等式中可以找出被除式和商里对应的项，根据“被除式=除式×商”确定说求的项. 1．（2024•吐鲁番市二模）计算（　　）8a，正确的结果是（　　） A．16a2b2 B．4ab2 C．（4ab）2 D．（2ab）2 2．（2023春•六盘水期中）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，■×3ab＝6ab﹣3ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（　　） A．（2﹣b2） B．（2+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2） 3．（2024秋•路南区月考）已知6x4y3÷★＝2xy2，则“★”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 4．（2024春•招远市期末）调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式为（　　） A．x2+3x﹣6 B．x3+3x2﹣6 C． D．x3+3x2﹣6x 5．（2023秋•吐鲁番市期末）如图，美美不小心在课后作业的第1题滴了一点墨水，留下一道残缺不全的题目，则被墨水覆盖的部分为（　　） A．x3﹣x2+x B．﹣x3﹣x2+x C．﹣x3+x2﹣x D．x3+x2﹣x 6．若（﹣25y3+15y2﹣5y）÷M＝﹣5y，则M＝　 ． 7．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ×（xy）＝3x2y﹣xy2xy （1）求所捂的多项式； （2）若x，y，求所捂多项式的值． 8．（2024春•龙海区校级月考）小红在做课后作业时，发现一道如下的三项式除以单项式的运算题被墨水弄污了，你能算出这两项被弄污的内容是什么吗？ （21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y． 题型六 应用整式除法解决实际问题 解题技巧提炼 整式的乘除在实际问题中的应用主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可. 1．（2024秋•淅川县期中）郑州市“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境．已知长方形空地的面积为（3ab+b）平方米，宽为b米，则这块空地的长为（　　） A．3a米 B．（3a+1）米 C．（3a+2b）米 D．（3ab2+b2）米 2．（2024春•抚州期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（　　） A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b 3．（2024春•陈仓区期中）火星的体积约为1.35×1020立方米，地球的体积约为1.08×1021立方米，地球体积约是火星体积的 　 　倍． 4．（2024秋•渝中区校级月考）太阳到地球的距离约为1.5×108km，光的速度约为3.0×105km/s，则太阳光从太阳射到地球的时间约为　 ． 5．（2024春•宿州月考）若一个三角形的面积为x3y﹣3x2，它的一条边长为2x2，则这条边上的高为 　． 6．地球表面平均1cm2上的空气质量约为1kg，地球的表面积大约是5×108km2，地球的质量约为6×1024kg． （1）地球表面全部空气的质量约为多少kg？ （2）地球质量大约是其表面全部空气质量的多少倍？（结果用科学记数法表示） 7．（2024春•即墨区校级月考）红光中学新建了一栋科技楼，为了给该楼一间科技陈列室的顶棚装修，计划用宽为x m、长为30x m的塑料扣板，已知这间陈列室的长为5ax m、宽为3ax m，如果你是该校的采购人员，应该至少购买多少块这样的塑料扣板？当a＝4时，求出具体的扣板数． 8．（2024春•莱西市期中）（1）教室的黑板是一个长方形，它的面积为6a2﹣9ab+3a，已知这个黑板的长为3a，求这个黑板的周长． （2）一个底面是正方形的长方体容器，底面正方形的边长为5cm，高为6cm．如果它的高不变，底面正方形的边长增加 x cm，那么它的容积增加多少？ 9．（2023春•东阳市期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，（8x2+6x+1）÷（2x+1），可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算．因此（8x2+6x+1）÷（2x+1）＝4x+1． （1）（6x2+7x+2）÷（2x+1）的商是 　 　． （2）已知一个长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），用含x的代数式表示a． （3）在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为（x+10），若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）七年级下册数学《第1章 整式的乘除》 1.4 整式的除法 知识点一 单项式除以单项式 ◆1、单项式除以单项式法则：单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式. ◆2、单项式除以单项式分为三个步骤： （1）把系数相除，所得结果做为商的系数； （2）把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式； （3）把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． 知识二 多项式除以单项式 ◆1、多项式与多项式相乘法则：多项式除以单项式，就是用多项式的除以这个单项式，再把所得的 商相加． ◆2、关键：应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式． ◆2、用式子表示：(am+an)÷m=am÷m+b m÷n=a+b． 【注意】 1、计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. 2、计算时不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同． 题型一 单项式除以单项式 解题技巧提炼 掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键，注意在计算过程中，有乘方的先算乘方，再算乘除． 1．（2023春•茂名期末）计算12a4b3c÷（﹣4a3b2）的结果是（　　） A．3a2bc B．﹣3a2bc C．﹣3abc D．3abc 【分析】根据整式的除法运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式＝﹣3abc， 故选：C． 【点评】本题考查整式的除法运算，解题的关键是熟练运用整式的除法运算，本题属于基础题型． 2．（2024春•沈北新区期中）计算：a2b÷（ab）＝（　　） A．a B．a3b2 C．a D．a3b2 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：a2b÷（ab）a． 故选：C． 【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（2024秋•游仙区期中）下列运算正确的是（　　） A．（﹣2x2）3＝﹣6x6 B．x3﹣x2＝x C．x3•x3＝x9 D．2x4÷x2＝2x2 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则、整式的除法运算法则分别化简，进而判断得出答案． 【解答】解：A．（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项不合题意； B．x3﹣x2，无法合并，故此选项不合题意； C．x3•x3＝x6，故此选项不合题意； D.2x4÷x2＝2x2，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．（2023•安徽二模）计算（﹣m2n3）6÷（﹣m2n3）2的结果是（　　） A．m8n12 B．m5n2 C．﹣m8n12 D．﹣m5n9 【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式＝m12n18÷（m4n6） ＝m8n12， 故选：A． 【点评】此题主要考查了整式的除法以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．（2024秋•海口期末）若，则m，n的取值分别为（　　） A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝0 C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0 【分析】根据题意列出式子a5b2÷2a，然后根据整式的除法法则计算即可得出m、n的值． 【解答】解：由题意得， ∴m＝4，n＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法法则是解题的关键． 6．（1）计算：（﹣2ab）2•3b÷（ab2） 【分析】①原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值； 【解答】①原式＝﹣36ab； 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （2）（2024春•通州区期末）计算：32（x3y2z）3÷（﹣8x5y4z2）． 【分析】先根据积的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的运算法则计算． 【解答】解：原式＝32×（x9y6z3）÷（﹣8x5y4z2） ＝﹣4x4y2z． 【点评】本题考查的是整式的除法、积的乘方与幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键． （3）（2024春•金凤区校级期中）（3a2b3）•（﹣2ab4）÷（6a2b3）． 【分析】根据整式的乘除法则进行计算便可． 【解答】解：（3a2b3）•（﹣2ab4）÷（6a2b3） ＝﹣6a3b7÷（6a2b3） ＝﹣ab4． 【点评】本题考查了整式的乘除法，熟记法则是解题的关键． （4）（2024春•西安期末）计算：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2． 【分析】根据同底数幂乘法的法则，积的乘方的运算法则，同底数幂除法的运算法则先化简计算，然后合并同类项即可． 【解答】解：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2 ＝a6+4a6﹣4a8÷a2 ＝a6+4a6﹣4a6 ＝a6． 【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关公式并灵活运用．幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 题型二 多项式除以单项式 解题技巧提炼 多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决．计算过程中，要注意符号问题. 1．（2024秋•武都区期末）计算（3x2y﹣6x3）÷（﹣2x）正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【解答】解：（3x2y﹣6x3）÷（﹣2x） ＝﹣3x2y÷2x+6x3÷2x xy+3x2， 故选：D． 【点评】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（2023春•淅川县月考）一个多项式除以2x﹣1，所得商式是x2+1，余式是5x，则这个多项式是（　　） A．2x3﹣x2+7x﹣1 B．2x3﹣x2+2x﹣1 C．7x3﹣x2+7x﹣1 D．2x3+9x2﹣3x﹣1 【分析】设该多项式为A，根据题意列出等式即可求出答案． 【解答】解：设多项式为A， ∴A÷（2x﹣1）＝（x2+1）…5x， ∴A＝（x2+1）（2x﹣1）+5x ＝2x3﹣x2+2x﹣1+5x ＝2x3﹣x2+7x﹣1 故选：A． 【点评】本题考查整式的混合运算，属于基础题型． 3．（2024秋•普陀区期中）已知（xn+a+xn+b）÷xn+1＝x2+x3，其中n是正整数，那么a+b的值是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【分析】根据题意，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．求出a﹣1＝2，b﹣1＝3，解出a、b，再求和即可． 【解答】解：（xn+a+xn+b）÷xn+1 ＝xn+a÷xn+1+xn+b÷xn+1 ＝xa﹣1+xb﹣1， 即xa﹣1+xb﹣1＝x2+x3， 所以a﹣1＝2，b﹣1＝3， 所以a＝3，b＝4， 所以a+b＝7． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是按照整式除法的计算法则计算． 4．（2024秋•明水县校级月考）下列四个算式：①；②16a6b4c÷8a3b2＝2a2b2c；③9x8y2÷3x3y＝3x5y；④（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）＝﹣6m2+4m+2，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据单项式除法法则：系数相除作系数，相同字母根据同底数幂除法运算，多项式除以单项的除法法则：用每一个单项式除以单项式求解即可得到答案． 【解答】解：对于A，，故①错误，不符合题意； 对于B，16a6b4c÷8a3b2＝2a3b2c，故②错误，不符合题意； 对于C，9x8y2÷3x3y＝3x5y，故③正确，符合题意； 对于D，（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）＝12m3÷（﹣2m）+8m2÷（﹣2m）+（﹣4m）÷（﹣2m）＝﹣6m2﹣4m+2，故④错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了整式的除法运算，解决本题的关键是运用整式的计算法则计算． 5．（2024春•项城市校级月考）若（6x4﹣2x2﹣n）÷2x3＝3x﹣x2（n为常数），则n的值为 　 　． 【分析】根据多项式除以单项式的计算法则得到3x﹣x2﹣n﹣3＝3x﹣x2，则2﹣n﹣3＝2，解方程即可得到答案． 【解答】解；∵（6x4﹣2x2﹣n）÷2x3＝3x﹣x2， ∴3x﹣x2﹣n﹣3＝3x﹣x2， ∴2﹣n﹣3＝2， ∴n＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查了多项式除以单项式，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 6．（2024秋•崇明区期中）计算：（﹣2a4bc+12a3b2+9a2b3）÷3a2b＝ 　 　． 【分析】根据整式的除法法则计算即可． 【解答】解：（﹣2a4bc+12a3b2+9a2b3）÷3a2b ＝﹣2a4bc÷3a2b+12a3b2÷3a2b+9a2b3÷3a2b ， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．已知一个多项式与单项式﹣7x5y4的积为21x5y7﹣14x7y4+（2x3y2）2，求该多项式． 【分析】根据乘法与除法的关系列出算式进行计算即可． 【解答】解：由题意列式得 [21x5y7﹣14x7y4+（2x3y2）2]÷（﹣7x5y4） ＝（21x5y7﹣14x7y4+4x6y4）÷（﹣7x5y4） ， 所以该多项式为：． 【点评】此题主要考查多项式与单项式的除法运算，熟悉基本的运算性质并会灵活运用负整数指数幂的性质进行化简是解题的关键． 8．（1）（2023•五华县校级开学）（25x3y﹣10x2y2+15xy3）÷（﹣5xy） 【分析】单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式． 【解答】解：原式＝﹣5x2+2xy﹣3y2． 【点评】本题考查了整式的除法，属于基础题，解答本题的关键是掌握单项式除单项式的运算法则． （2）（2024秋•永吉县期末）计算：（12a4﹣8a3+4a2）÷（2a）2． 【分析】根据多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加直接进行求解． 【解答】解：原式＝（12a4﹣8a3+4a2）÷4a2 ＝3a2﹣2a+1． 【点评】本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是关键． （3）（2024秋•嘉定区期中）计算：． 【分析】直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【解答】解：原式＝﹣8x2y+6xy+xy4． 【点评】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法的运算法则是关键． （4）（2024春•顺德区校级月考）计算：（12m4n﹣9m2n2+3m3）÷（﹣3m2）． 【分析】直接按照多项式除以单项式的法则计算即可． 【解答】解：（12m4n﹣9m2n2+3m3）÷（﹣3m2） ＝12m4n÷（﹣3m2）﹣9m2n2÷（﹣3m2）+3m3÷（﹣3m2） ＝﹣4m2n+3n2﹣m． 【点评】本题考查的是整式的除法，熟练掌握运算法则是关键． 题型三 整式的混合运算 解题技巧提炼 在进行每一种运算时，要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，计算过程中或结果中若有同类项，要注意合并同类项. 1．（2023秋•陆河县月考）计算：（2y﹣x）（x﹣y）+（2x3y+4xy3）÷2xy． 【分析】题考查了整式的混合运算，先算乘除，再合并同类项，即可解答，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解答】解：原式＝2xy﹣2y2﹣x2+xy+x2+2y2 ＝3xy． 【点评】题考查了整式的除法，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（1）计算：（2a4b7﹣6ab2）÷2ab+（﹣ab2）3． 【分析】根据整式的除法、积的乘方以及整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：（2a4b7﹣6ab2）÷2ab+（﹣ab2）3 ＝a3b6﹣3b﹣a3b6 ＝﹣3b． 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的除法、积的乘方以及整式的加减运算法则，本题属于基础题型． （2）计算：（2a+b）（a﹣b）﹣（8a3b﹣4a2b2）÷4ab． 【分析】直接利用多项式乘多项式以及整式的除法运算法则化简得出答案． 【解答】解：原式＝2a2﹣2ab+ab﹣b2﹣（8a3b÷4ab﹣4a2b2÷4ab） ＝2a2﹣ab﹣b2﹣（2a2﹣ab） ＝2a2﹣ab﹣b2﹣2a2+ab ＝﹣b2． 【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（2024秋•德惠市期末）计算[ab（3a2﹣12ab）﹣6ab3]÷3ab+4ab． 【分析】先去中括号，再去小括号，再算除法，最后合并同类项即可． 【解答】解：[ab（3a2﹣12ab）﹣6ab3]÷3ab+4ab ＝（3a3b﹣12a2b2﹣6ab3）÷3ab+4ab ＝a2﹣4ab﹣2b2+4ab ＝a2﹣2b2． 【点评】本题考查了整式的除法，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（1）（2024春•碑林区校级月考）计算：a9÷a2•a+（a2）4﹣（﹣2a4）2． 【分析】应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【解答】解：原式＝a9﹣2+1+a8﹣4a8 ＝a8+a8﹣4a8 ＝﹣2a8． 【点评】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键． （2）（2024春•陈仓区期末）计算：（x2）3•x3﹣（﹣x）2•x9÷x2． 【分析】先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘法和除法运算，然后合并即可． 【解答】解：原式＝x6•x3﹣x2•x9÷x2 ＝x9﹣x9 ＝0． 【点评】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 5．计算： （1）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2）； （2）（﹣3x2y）2•（﹣4xy2﹣5y3﹣6x+1）； （3）﹣3a（2a﹣5）﹣2a（1﹣3a）． （4）5a（a﹣b+c）﹣2b（a+b﹣c）﹣4c（﹣a﹣b﹣c）． （5）（﹣a2）3÷a3+（a+2）（a2﹣2a+4）． （6）[2x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y 【分析】（1）先用单项式﹣2ab与括号内的每一项分别相乘，再把所得结果相加即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （3）先算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可得出答案； （4）先利用单项式乘多项式的运算法则分别计算减号两边的算式，再合并同类项即可． （5）根据整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案． （6）根据整式的运算法则即可求出答案； 【解答】 （1）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2） ＝（﹣2ab）•（3a2）﹣（﹣2ab）•（2ab）﹣（﹣2ab）•（4b2） ＝﹣6a3b+4a2b2+8ab3， （2）（﹣3x2y）2•（﹣4xy2﹣5y3﹣6x+1）＝﹣36x5y4﹣45x4y5﹣54x5y2+9x4y2； （3）﹣3a（2a﹣5）﹣2a（1﹣3a）＝﹣6a2+15a﹣2a+6a2＝13a． （4）原式＝5a2﹣5ab+5ac﹣2ab﹣2b2+2bc+4ac+4bc+4c2 ＝5a2﹣2b2+4c2﹣7ab+9ac+6bc． （5）原式＝﹣a6÷a3+a3﹣2a2+4a+2a2﹣4a+8 ＝﹣a3+a3﹣2a2+4a+2a2﹣4a+8 ＝8． （6）原式＝（2x3y2﹣2x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y ＝（3x3y2﹣3x2y）÷3x2y ＝xy﹣1； 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则及注意运算的顺序. 6．计算下列各题： （1）． （2）（2x2﹣3）（1﹣2x）； （3）（a+2b）（a2﹣2ab+4b2）； （4）（﹣3x）2﹣（3x+1）（3x﹣2）； （5）2x2﹣x（2x﹣5y）+y（2x﹣y）． （6）3y（y﹣4）（2y+1）﹣（2y﹣3）（4y2+6y﹣9）． （7）（3x2y2﹣xy2）÷xy•（3x+1）． （8）[2a5b4﹣a2（4a2b2+2b）]÷2a2b． 【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则进行解答即可． （2）根据多项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式的乘法法则计算即可； （4）根据多项式的乘法法则和合并同类项计算即可； （5）直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． （6）根据多项式的乘法法则和合并同类项计算即可． （7）直接利用整式的除法运算法则以及多项式乘多项式计算，再合并同类项得出答案． （8）利用整式的混合运算顺序计算即可． 【解答】解：（1）原式x3y3•xy3x3y2•xy3xy3•xy3 x4y6+2x4y5x2y6． （2）（2x2﹣3）（1﹣2x） ＝2x2﹣4x3﹣3+6x ＝﹣4x3+2x2+6x﹣3； （3）（a+2b）（a2﹣2ab+4b2） ＝a3﹣2a2b+4ab2+2a2b﹣4ab2+8b3 ＝a3+8b3； （4）（﹣3x）2﹣（3x+1）（3x﹣2） ＝9x2﹣9x2+3x+2 ＝3x+2； （5）原式＝2x2﹣2x2+5xy+2xy﹣y2 ＝7xy﹣y2． （6）3y（y﹣4）（2y+1）﹣（2y﹣3）（4y2+6y﹣9） ＝3y（2y2+y﹣8y﹣4）﹣（8y3+12y2﹣18y﹣12y3﹣18y+27） ＝﹣2y3﹣21y2+24y﹣27． （7）原式＝（3x2y2÷xy﹣xy2÷xy）•（3x+1） ＝（3xy﹣y）（3x+1） ＝9x2y+3xy﹣3xy﹣y ＝9x2y﹣y． （8）[2a5b4﹣a2（4a2b2+2b）]÷2a2b ＝（2a5b4﹣4a4b2﹣2a2b））÷2a2b ＝a3b3﹣2a2b﹣1． 【点评】此题主要考查了整式的乘法和除法的混合运算，正确掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 7．（2023秋•镇平县月考）已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2． （1）将整式A化为最简形式； （2）求整式B； （3）求A÷B的正确结果． 【分析】（1）根据整式混合运算的顺序和法则进行化简即可； （2）根据题意列出式子再根据整式混合运算的顺序和法则进行计算即可； （3）根据题意列出式子进行计算即可． 【解答】解：（1）A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2， ＝x2y2﹣2xy+xy﹣2﹣2x2y2+2， ＝﹣x2y2﹣xy， （2）由题意，得A﹣B＝﹣x2y2． 由（1）知A＝﹣x2y2﹣xy， ∴﹣x2y2﹣xy﹣B＝﹣x2y2， ∴B＝﹣xy． （3）由（1）知A＝﹣x2y2﹣xy， 由（2）知B＝﹣xy． ∴A÷B＝（﹣x2y2﹣xy）÷（﹣xy）＝xy+1． 故A÷B的正确结果xy+1． 【点评】本题考查整式的除法和多项式乘多项式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 题型四 整式的化简求值 解题技巧提炼 1、先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 2、有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 1．先化简，再求值：（x﹣2）（x﹣6）﹣（6x4﹣4x3﹣2x2）÷（﹣2x2），其中x＝﹣1． 【分析】根据多项式乘多项式、多项式除单项式的运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【解答】解：（x﹣2）（x﹣6）﹣（6x4﹣4x3﹣2x2）÷（﹣2x2） ＝x2﹣8x+12﹣（﹣3x2+2x+1） ＝x2﹣8x+12+3x2﹣2x﹣1 ＝4x2﹣10x+11， 当x＝﹣1时，原式＝4×（﹣1）2﹣10×（﹣1）+11＝25． 【点评】本题考查的是分式方程的解法、整式的化简求值，掌握解分式方程的一般步骤、整式的混合运算法则是解题的关键． 2．先化简，再求值：[（x3y4）3+（xy2）2•3xy2]÷（xy2）3，其中x＝﹣2，y． 【分析】原式中括号中利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并后利用多项式乘以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝（x9y12x3y6）÷（x3y6）＝x6y6， 当x＝﹣2，y时，原式＝1． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab，其中a＝2，b＝1． 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab ＝a2﹣b2+b2﹣2ab ＝a2﹣2ab， 当a＝2，b＝1时，原式＝22﹣2×2×1 ＝4﹣4 ＝0． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．已知2a﹣b＝5，求[a2+b2+2b（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷4b的值． 【分析】原式中括号中利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵2a﹣b＝5， ∴原式＝（a2+b2+2ab﹣2b2﹣a2+2ab﹣b2）÷4b＝（﹣2b2+4ab）÷4bb+a（2a﹣b）． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2023春•达州期中）化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x， 其中x＝1，y＝﹣2． 【分析】首先利用完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则及平方差公式对括号内的式子进行化简，然后计算多项式与单项式的除法，最后把x，y的值代入求值即可． 【解答】解：原式＝[x2﹣2xy+y2﹣3x2+2xy+x2﹣y2]÷2x ＝（﹣x2）÷2x x， 当x＝1，y＝﹣2时，原式． 【点评】本题考查的是整式的混合运算，以及乘法公式，正确对整式进行化简是关键． 6．（2024秋•江安县期中）化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 【分析】首先利用完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则及平方差公式对括号内的式子进行化简，然后计算多项式与单项式的除法，最后把x，y的值代入求值即可． 【解答】解：原式＝[x2﹣2xy+y2﹣3x2+2xy+x2﹣y2]÷2x ＝（﹣x2）÷2x x， 当x＝1，y＝﹣2时，原式． 【点评】本题考查的是整式的混合运算，以及乘法公式，正确对整式进行化简是关键． 7．（2023春•兴平市期末）已知4m2﹣7m+6＝0，求代数式（3m2﹣2m）÷m﹣（2m﹣1）2的值． 【分析】将所求代数式进行化简，用整体代入即可求出． 【解答】解：因为4m2﹣7m+6＝0，所以4m2﹣7m＝﹣6， 原式＝3m﹣2﹣（4m2﹣4m+1） ＝3m﹣2﹣4m2+4m﹣1 ＝﹣4m2+7m﹣3 ＝﹣（4m2﹣7m）﹣3 ＝6﹣3 ＝3． 【点评】本题考查了整式的除法和代数式求值，整体代入能简化运算． 8．（2024春•新华区期末）已知A＝（a+2b）（a﹣b）﹣a5÷a3﹣（2b）2． （1）先化简A，再求当a＝1，b＝﹣3时，A的值； （2）若a＝6b，求A的值． 【分析】（1）先根据积的乘方法则计算乘方，再根据多项式乘多项式法则和同底数幂相除法则计算乘除，最后合并同类项，再把a＝1，b＝﹣3代入化简后的A中进行计算即可； （2）把a＝6b代入（1）中化简的A中进行计算即可． 【解答】解：（1）A＝a2﹣ab+2ab﹣2b2﹣a2﹣4b2 ＝a2﹣a2+2ab﹣ab﹣2b2﹣4b2 ＝ab﹣6b2； 当 a＝1，b＝﹣3 时， A＝1×（﹣3）﹣6×（﹣3）2 ＝﹣3﹣6×9 ＝﹣3﹣54 ＝﹣57． （2）当 a＝6b 时， A＝6b•b﹣6b2 ＝6b2﹣6b2 ＝0． 【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则、多项式乘多项式法则和同底数幂相除法则． 题型五 利用整式的除法求多项式中的未知项 解题技巧提炼 多项式除以单项式，结果中的各项分别是多项式里各项除以单项式的商，从等式中可以找出被除式和商里对应的项，根据“被除式=除式×商”确定说求的项. 1．（2024•吐鲁番市二模）计算（　　）8a，正确的结果是（　　） A．16a2b2 B．4ab2 C．（4ab）2 D．（2ab）2 【分析】利用被除式＝除式×商列出算式解答即可． 【解答】解：∵8a•ab2＝4a2b2， ∴被除式为4a2b2， ∵（2ab）2＝4a2b2， 故选：D． 【点评】本题主要考查了整式的除法，利用被除式＝除式×商列出算式是解题的关键． 2．（2023春•六盘水期中）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，■×3ab＝6ab﹣3ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（　　） A．（2﹣b2） B．（2+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2） 【分析】由题意可列出相应的式子，利用整式的除法的法则进行运算即可． 【解答】解：■＝（6ab﹣3ab3）÷3ab ＝6ab÷3ab﹣3ab3÷3ab ＝2﹣b2． 故选：A． 【点评】本题主要考查整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3．（2024秋•路南区月考）已知6x4y3÷★＝2xy2，则“★”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 【分析】根据被除式、除式、商之间的关系列出式子6x4y3÷2xy2，然后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：由题意得，6x4y3÷2xy2＝3x3y， 故选：B． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2024春•招远市期末）调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式为（　　） A．x2+3x﹣6 B．x3+3x2﹣6 C． D．x3+3x2﹣6x 【分析】根据整式的运算法则计算即可． 【解答】解：根据题意可得：（x2+3x﹣6）x＝x3+3x2﹣6x． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 5．（2023秋•吐鲁番市期末）如图，美美不小心在课后作业的第1题滴了一点墨水，留下一道残缺不全的题目，则被墨水覆盖的部分为（　　） A．x3﹣x2+x B．﹣x3﹣x2+x C．﹣x3+x2﹣x D．x3+x2﹣x 【分析】根据乘法和除法互为逆运算可知：被除式＝商×除式，由此可求出被覆盖的部分． 【解答】解：被覆盖部分为（x2+x﹣1）（﹣x）＝﹣x3﹣x2+x． 故选：B． 【点评】本题考查了整式的乘法，熟练掌握整式的乘法是解题的关键． 6．若（﹣25y3+15y2﹣5y）÷M＝﹣5y，则M＝　 ． 【分析】利用多项式除以单项式的法则进行求解即可． 【解答】解：∵（﹣25y3+15y2﹣5y）÷M＝﹣5y， ∴M＝（﹣25y3+15y2﹣5y）÷（﹣5y）＝5y2﹣3y+1． 故答案为：5y2﹣3y+1． 【点评】本题考查多项式除以单项式．熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，是解题的关键． 7．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ×（xy）＝3x2y﹣xy2xy （1）求所捂的多项式； （2）若x，y，求所捂多项式的值． 【分析】（1）设多项式为A，则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）计算即可． （2）把x，y代入多项式求值即可． 【解答】解：（1）设多项式为A， 则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）＝﹣6x+2y﹣1． （2）∵x，y， ∴原式＝﹣621＝﹣4+1﹣1＝﹣4． 【点评】本题考查单项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，解题的关键是利用乘法与除法是互为逆运算，把乘法转化为除法解决问题，属于基础题． 8．（2024春•龙海区校级月考）小红在做课后作业时，发现一道如下的三项式除以单项式的运算题被墨水弄污了，你能算出这两项被弄污的内容是什么吗？ （21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y． 【分析】多项式除以单项式，用多项式的每一个项分别除以单项式；再按照单项式的除法法则：数字与数字相除，相同字母的进行相除，对于只在被除数中拥有的字母包括字母的指数一起写在商里．由此可知商的第一项是21x4y3÷（﹣7x2y）＝；被除式的第二项﹣÷（﹣7x2y）＝5xy；进一步计算得出结论即可． 【解答】解：商的第一项＝21x4y3÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2； 被除式的第二项＝﹣（﹣7x2y）×5xy＝35x3y2． 【点评】此题考查多项式除以单项式，单项式与单项式的乘除运算方法等知识点，熟练掌握相关知识点是关键． 题型六 应用整式除法解决实际问题 解题技巧提炼 整式的乘除在实际问题中的应用主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可. 1．（2024秋•淅川县期中）郑州市“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境．已知长方形空地的面积为（3ab+b）平方米，宽为b米，则这块空地的长为（　　） A．3a米 B．（3a+1）米 C．（3a+2b）米 D．（3ab2+b2）米 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵长方形空地的面积为（3ab+b）平方米，宽为b米， ∴这块空地的长为：（3ab+b）÷b＝（3a+1）米． 故选：B． 【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．（2024春•抚州期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（　　） A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b 【分析】根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可． 【解答】解：根据题意，得 纸盒底部长方形的宽为4a， ∴纸盒底部长方形的周长为：2（4a+b）＝8a+2b． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是先求出纸盒底部长方形的宽． 3．（2024春•陈仓区期中）火星的体积约为1.35×1020立方米，地球的体积约为1.08×1021立方米，地球体积约是火星体积的 　 　倍． 【分析】根据整式的除法法则进行计算． 【解答】解：1.08×1021÷1.35×1020＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则是关键． 4．（2024秋•渝中区校级月考）太阳到地球的距离约为1.5×108km，光的速度约为3.0×105km/s，则太阳光从太阳射到地球的时间约为　 ． 【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可． 【解答】解：（1.5×108）÷（3.0×105） ＝（1.5÷3）×（108÷105） ＝0.5×103 ＝500（s）． 故答案为：500s． 【点评】本题主要考查了同底数幂的除法以及科学记数法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 5．（2024春•宿州月考）若一个三角形的面积为x3y﹣3x2，它的一条边长为2x2，则这条边上的高为 　． 【分析】根据三角形面积的计算公式求解即可． 【解答】解：这条边上的高为2（x3y﹣3x2）÷2x2＝（2x3y﹣6x2）÷2x2＝xy﹣3， 故答案为：xy﹣3． 【点评】此题考查了整式混合运算的应用，正确理解三角形面积的计算公式是解题的关键． 6．地球表面平均1cm2上的空气质量约为1kg，地球的表面积大约是5×108km2，地球的质量约为6×1024kg． （1）地球表面全部空气的质量约为多少kg？ （2）地球质量大约是其表面全部空气质量的多少倍？（结果用科学记数法表示） 【分析】利用科学记数法、根据整式的乘除法法则计算即可． 【解答】解：（1）地球表面全部空气的质量约为：5×108×1010×1＝5×1018kg； （2）6×1024÷（5×1018）＝1.2×106， 答：地球质量大约是其表面全部空气质量的1.2×106倍． 【点评】本题考查的是科学记数法的应用，把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法． 7．（2024春•即墨区校级月考）红光中学新建了一栋科技楼，为了给该楼一间科技陈列室的顶棚装修，计划用宽为x m、长为30x m的塑料扣板，已知这间陈列室的长为5ax m、宽为3ax m，如果你是该校的采购人员，应该至少购买多少块这样的塑料扣板？当a＝4时，求出具体的扣板数． 【分析】根据题意列出关系式，计算即可得到结果，把a的值代入计算即可得到具体数． 【解答】解：根据题意得：（5ax•3ax）÷（x•30x）＝15a2x2÷30x2a2， 则应该至少购买a2块这样的塑料扣板， 当a＝4时，原式＝8，即具体的扣板数为8张． 【点评】此题考查了整式的除法，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．（2024春•莱西市期中）（1）教室的黑板是一个长方形，它的面积为6a2﹣9ab+3a，已知这个黑板的长为3a，求这个黑板的周长． （2）一个底面是正方形的长方体容器，底面正方形的边长为5cm，高为6cm．如果它的高不变，底面正方形的边长增加 x cm，那么它的容积增加多少？ 【分析】（1）根据宽＝面积÷长列出算式，再利用多项式除以单项式的运算法则计算可得． （2）根据题意可以分别求出原来长方体后来长方体的体积，然后作差即可解答本题． 【解答】解：（1）根据题意，宽为（6a2﹣9ab+3a）÷3a＝2a﹣3b+1， ∴这个黑板的周长为：2（3a+2a﹣3b+1）＝10a﹣6b+2． （2）原来长方体的容积是：5×5×6＝150（cm3）， 高不变，底面正方形边长增加了x cm后的长方体的容积是：（5+x）（5+x）×6＝150+60x+6x2（cm3）， 它增加的容积是：150+60x+6x2﹣150＝60x+6x2（cm3）， 即它的容积增加了（60x+6x2）cm3． 【点评】本题主要考查整式的除法，多项式的乘法，解题的关键是掌握相关运算法则． 9．（2023春•东阳市期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，（8x2+6x+1）÷（2x+1），可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算．因此（8x2+6x+1）÷（2x+1）＝4x+1． （1）（6x2+7x+2）÷（2x+1）的商是 　 　． （2）已知一个长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），用含x的代数式表示a． （3）在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为（x+10），若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长． 【分析】（1）根据题中竖式求解； （2）根据题意列出方程求解； （3）根据题意列出代数式并化简． 【解答】解：（1）由题中竖式得：（6x2+7x+2）÷（2x+1）＝3x+2， 故答案为：3x+2； （2）由题意得：x+2+6+x﹣2+a＝2（x+2+x﹣2）， 解得：a＝2x﹣6； （3）由题意得：[（x﹣2+2x﹣6）（x+2+6）﹣76]÷（x+10） ＝（3x2+16x﹣140）÷（x+10） ＝3x﹣14． 【点评】本题考查了整式的除法，掌握新运算是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$