1.1 第4课时 同底数幂的除法-教案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第一章　整式的乘除一、复习导入（5分钟） 1. 回顾旧知：教师提问，引导学生回忆相关概念和运算，“什么是整式？单项式和多项式的区别是什么？”“我们之前学过的乘方的意义是什么？比如$$2^3$$表示什么？” 邀请2-3名学生发言，纠正模糊认知，明确整式分为单项式和多项式，乘方是几个相同因数的积，如$$2^3 = 2×2×2$$。 2. 情境激趣：呈现问题“一种电子计算机每秒可进行$$10^8$$次运算，它工作$$10^3$$秒可进行多少次运算？” 引导学生列出算式$$10^8 × 10^3$$，提问“这个算式是两个同底数幂相乘，该如何计算？” 引发学生思考，自然引入本节课主题——整式的乘除（第一课时：同底数幂的乘法及相关幂的运算）。 二、新知讲授（20分钟） （一）同底数幂的乘法 1. 探究法则：教师引导学生结合乘方意义，计算以下算式：①$$2^3 × 2^2$$ ②$$10^8 × 10^3$$ ③$$a^3 × a^2$$。让学生分组讨论，分享计算过程，教师巡视指导。 2. 总结法则：结合学生的计算结果，引导学生发现规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为$$a^m × a^n = a^{m+n}$$（m、n为正整数），强调前提是“同底数幂”，底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式。 3. 例题讲解：讲解例1，计算：①$$x^5 × x^2$$ ②$$y × y^3 × y^5$$ ③$$(-2)^3 × (-2)^2$$。每道题先让学生尝试计算，教师再板书规范步骤，强调符号的处理，如负数的乘方，底数带符号时需整体计算，$$(-2)^3 × (-2)^2 = (-2)^{3+2} = (-2)^5 = -32$$。 （二）幂的乘方 1. 概念引入：提问“$$(a^3)^2$$表示什么意思？” 引导学生明确，幂的乘方是指几个相同幂相乘，即$$(a^3)^2 = a^3 × a^3$$，结合同底数幂乘法法则计算出结果为$$a^6$$。 2. 探究法则：让学生自主计算$$(a^2)^3$$、$$(10^4)^2$$，分组讨论规律，教师引导总结：幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示为$$(a^m)^n = a^{mn}$$（m、n为正整数），对比同底数幂乘法法则，强调“指数相加”与“指数相乘”的区别。 3. 即时练习：让学生快速计算$$(x^4)^3$$、$$(y^2)^5$$，指名回答，纠正易错点，如混淆两个法则，避免出现$$(x^4)^3 = x^7$$的错误。 （三）积的乘方 1. 探究法则：呈现算式$$(ab)^2$$，引导学生拆分计算，$$(ab)^2 = ab × ab = (a×a) × (b×b) = a^2b^2$$，再让学生计算$$(ab)^3$$，总结规律：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为$$(ab)^n = a^n b^n$$（n为正整数），可推广到多个因式，如$$(abc)^n = a^n b^n c^n$$。 2. 例题讲解：讲解例2，计算：①$$(2x)^3$$ ②$$(-3y^2)^2$$，强调每一个因式都要乘方，注意符号，如$$(-3y^2)^2 = (-3)^2 × (y^2)^2 = 9y^4$$，避免漏乘因式或符号错误。 三、巩固练习（15分钟） 1. 基础题（全员必做）：设计5道基础计算题，涵盖三个法则，让学生独立完成，教师巡视，收集易错题型，重点讲解：①$$a^4 × a^5$$ ②$$(x^3)^4$$ ③$$(-2a)^3$$ ④$$y^2 × y^3 × y$$ ⑤$$(3xy)^2$$。完成后，指名学生板书答案，集体订正，强调规范步骤。 2. 提高题（小组讨论）：设计2道综合性题目，培养学生灵活运用法则的能力：①$$(a^2)^3 × a^4$$ ②$$(-2x^2y)^3$$，让学生分组讨论解题思路，每组派代表分享，教师补充讲解，引导学生明确运算顺序，先算乘方，再算同底数幂乘法。 3. 纠错练习：呈现学生易错题，如$$a^3 + a^3 = a^6$$、$$(a^2)^3 = a^5$$、$$(ab)^3 = ab^3$$，让学生找出错误原因，改正错误，加深对法则的理解，避免再犯同类错误。 四、课堂小结（3分钟） 教师引导学生回顾本节课重点内容，提问“本节课我们学习了哪些幂的运算？它们的法则分别是什么？”“同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方有什么区别？” 邀请学生自主总结，教师补充完善，强调三个法则的核心的是“底数不变”，关键是区分指数的运算（相加、相乘），以及积的乘方要“每一个因式都乘方”。 同时，提醒学生在运算中注意符号处理和运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后合并同类项（本节课暂不涉及同类项合并，为后续学习铺垫）。 五、布置作业（2分钟） 布置分层作业，兼顾不同学生的学习需求：1. 基础作业：教材对应习题，巩固三个法则的基础运算；2. 提高作业：补充2道综合性计算题，如$$(a^m)^n × a^{m+n}$$、$$(-3a^2b)^2 × (-2ab)$$；3. 拓展作业：思考“同底数幂的除法该如何计算？”，为下一节课学习做铺垫。 最后，强调作业书写规范，步骤清晰，及时订正错误，有疑问及时向老师或同学请教。 1.1　幂的乘除 第4课时　同底数幂的除法 1．经历探索同底数幂除法运算性质的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用，发展运算能力和有条理的表达能力； 2．了解同底数幂的除法的运算性质，会进行同底数幂的除法，并能解决一些实际问题； 3．通过对整式的除法运算法则学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值． 重点：1.理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算； 2．会用同底数幂的除法法则进行计算． 难点：理解幂的除法运算并在运算中体会转化的思想. 一、导入新课 知识链接 口答：(1)102×103＝________； (2)a4·a5＝________； (3)am·an＝________(m，n都是正整数). 填空：(1)________×103＝105 (2)a4·________＝a9 这两个问题都是已知积和其中一个因式，求另一个因式，你想到该如何计算了吗？ (1)105÷103＝________； (2)a9÷a4＝________． 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究一：同底数幂的除法法则 做一做： 计算(m＞n，且m，n为正整数)： 提问：观察上面算式，底数有什么特点？ 底数相同． 追问1：上面算式中，等号左边是什么运算？ 除法运算． 追问2：等号左右两边的指数有什么关系？ 等号右边的指数等于等号左边指数相减． 议一议： 总结一下你发现了什么规律，能否用符号语言表示出来？小组讨论得出结论． 同底数幂相除，底数不变，指数相减．am÷an＝am－n. 证一证： 你能证明你们发现的猜想吗？ 追问1：底数a能否为0？为什么？ 底数a不能为0，因为除数不能为0. 追问2：指数m和n的大小关系有要求吗？ m＞n，且m，n为正整数． 要点归纳：同底数幂的除法法则：am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，且m＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减．　 例1　计算： (1)a7÷a4；　　　　　　　　　　　(2)(－x)6÷(－x)3； (3)(xy)4÷(xy); (4)b2m＋2÷b2。 解：(1)a7÷a4＝a7－4＝a3； (2)(－x)6÷(－x)3＝(－x)6－3＝(－x)3＝－x3； (3)(xy)4÷(xy)＝(xy)4－1＝(xy)3＝x3y3； (4)b2m＋2÷b2＝b2m＋2－2＝b2m。 探究二：零次幂和负整数次幂 假设把 中的 m >； n 这个条件去掉， 还成立？ 【思考·交流】 (1) 计算：23÷23，23÷25，a3÷a3，a3÷a5。 23÷23＝1，23÷25＝8÷32＝，a3÷a3＝1，a3÷a5＝＝。 (2) 假设 m＝n 或 m＜n 时， am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数)仍然成立，那么(1)中各式的结果用幂的形式又该如何表示? 23÷23＝20，23÷25＝2－2，a3÷a3＝a0，a3÷a5＝a－2。 (3) 比较 (1) (2) 各式的对应结果，你有什么发现 ? 与同伴进行交流. 规定：a0＝1(a≠0)；即任何不等于零的数的零次幂都等于 1. a－p＝(a≠0，p是正整数)。即用 a-p 表示 ap 的倒数. 有了这个规定后，已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质中的m，n就从正整数扩大到全体整数了，即 am·an＝am＋n，am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是整数)。 例2　用小数或分数表示下列各数： (1)10－3；　　　　　(2)70×8－2；　　　　　(3)1.6×10－4。 解：(1)10－3＝＝＝0.001；　　　(2)70×8－2＝1×＝； (3)1.6×10－4＝1.6×＝1.6×0.000 1＝0.000 16。 例3计算： (1)7－3÷7－5；　　　(2)a－4÷a6； (3)30÷3－3; (4)(bc)－4÷(bc)－8. 解：(1)原式＝7－3－(－5)＝72＝49. (2)原式＝a－4－6＝a－10. (3)原式＝30－(－3)＝33＝27. (4)原式＝(bc)－4－(－8)＝(bc)4＝b4c4. 探究三：用科学记数法表示较小的数 填一填： 议一议 指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？ 指数与运算结果的 0 的个数的关系： 总结：一般地， 1 前面有 n 个 0就是10 的__-n___次幂. 10 的 -n 次幂，在 1 前面有_n__个 0. 科学记数法表示较小的数：一个小于 1 的正数可以表示为 a×10-n 的形式，其中 1≤a＜10，n 是负整数. 大于 －1 的负数也可以用类似的方法表示. 如：－0.000 002 56＝－2.56×10-6 . 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 例4 实验表明，人体内某细胞的形状可以近似地看成球状，并且它的直径为 0.00000156 m，则这个数可用科学记数法表示为( C ) A. 0.156×10－5 m B. 0.156×105 m C. 1.56×10－6 m D. 1.56×106 m 　　　　　　　　　　　　　　　　 三、当堂检测 1．计算a8÷a2的结果是（B） A．a8 B．a6 C．a4 D．a2 2．计算(π－3)0的结果是（ B ） A．0 B．1 C．3－π D．π－3 3．若am＝15，an＝5，则am－n等于（ A ） A．3 B．5 C．15 D．75 4．若(x－2)0有意义，则x≠2． 5．已知am÷a5＝a2，则m＝7． 6．计算： (1)(－a)7÷a4； (2)30－2－3＋(－3)2－()－1. 原式＝－a7÷a4＝－a3.原式＝1－＋9－4＝. (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 1．同底数幂相除，底数不变，指数相减． am÷an＝am－n(a≠0，m、n为任意整数). 2．任何不等于零的数的零次幂都等于1. a0＝1(a≠0). 3．负整数指数幂：a－n＝＝()n(a≠0，n为正整数). 从计算具体问题中的同底数幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质．教学时要多举几个例子，让学生从中总结出规律，体验自主探究的乐趣和数学学习的魅力，为以后的学习奠定基础． 学科网（北京）股份有限公司 $