数学1.2 等腰三角形 同步练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

数学1.2《等腰三角形》同步练习2025~2026北师大版八下 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 2．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 6．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 8．如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（    ）． A．45° B．90° C．75° D．135° 9．如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，，，则的度数为_______．    12．如图，在等边中，，是的中线，，交于点，则的度数为_______． 13．如图，在等腰中，，，于点D，则_____． 14．一个等腰三角形的底角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为______． 15．如图，在等边中，是上中线且，点D在线段上，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 三、解答题 16．如图，在中，于点，是上一点，连接，已知．求证：． 17．如图，在中，，是边上的中线，和关于直线对称，连接，，． (1)求的度数； (2)若，求证：直线经过的中点． 18．如图，是的角平分线，点E在边上，满足． (1)求证：与互补； (2)点F是边上一点，满足，请猜想线段与线段、线段之间的数量关系，并给出证明． 19．已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，，． (1)如图1，当时，连接交轴于点，求点的坐标； (2)如图2，过点作轴，且，连接交轴于一点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； (3)如图3，在延长线上，过作轴于点，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《数学1.2《等腰三角形》同步练习2025~2026北师大版八下》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A D C B B B C 1．B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 2．D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据作图可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选D． 3．B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 4．A 【分析】先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解． 【详解】解：由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是根据作图过程判断出平分． 5．D 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 6．C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴ ∵ ∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 8．B 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用． 根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点， ∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在中，，，即是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中， ∵，， ∴ ， ∴当四边形的周长最小时，的大小是， 故选：． 9．B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键．由可证，可得，故①正确；由可证，可得，可证是等边三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于， 又∵， ∴不一定垂直平分， 故②错误； 如图，过点C作于G，于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确； 综上所述：正确的有①③④，一共3个； 故选：B． 10．C 【分析】根据题意可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 11．/18度 【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．设，先根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，，再根据等边对等角和外角的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．/度 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 由等边三角形的性质，可得和，根据三角形的内角和定理，可得，由对顶角相等，即可得的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，，是的中线， ∴，，是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．3 【分析】根据等腰三角形三线合一可得． 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 中，，，于点D， ∴（等腰三角形三线合一）． 故答案为：3． 14．/108度 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握知识点是解题的关键． 利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解． 【详解】解：设顶角的度数为．因为等腰三角形的两个底角相等，且每个底角为， 所以根据三角形内角和定理，得 ， 即， 解得． 故答案为． 15．4 【分析】连接，先证出点在射线上运动（此时满足），再作点关于直线的对称点，连接，得出的最小值为，最后根据三角形全等的判定与性质证出． 【详解】解：如图，连接， ∵在等边中，是上的中线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在射线上运动（此时满足）， 如图，作点关于直线的对称点，连接， ∴， ∴，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，即的最小值为， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即的最小值为4． 【点睛】在涉及到两个等边三角形的题型中，通常是构造全等三角形，进而确定相应点的运动轨迹． 16．证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质及平行线的判定定理．关键是利用等腰三角形的性质找到相等的内错角，进而证明两直线平行．先根据等腰三角形“三线合一”的性质，由且推出；再由，利用“等边对等角”得到；通过等量代换得到，最后依据“内错角相等，两直线平行”证明． 【详解】证明：∵，， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴． 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）通过中线性质和轴对称性质得到线段相等关系，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数； （2）通过设角，利用等腰三角形内角和以及轴对称性质求出相关角的度数，进而证明直线经过的中点． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长交于点F， ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 即直线经过的中点． 18．(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）如图1中，在上截取．只要证明，即可解决问题； （2）如图2中，只要证明即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中，在上截取． 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即：与互补； （2）解：． 理由：由（1）得，， ，， ， ， ． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，进而. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2)的长度不变， (3)，理由见解析 【分析】（1）过点作轴于点，容易证明，则，，从而得到点的坐标； （2）过点作轴于点，同理（1）可得，则，，容易证明，则为定值； （3）延长交的延长线于，过点作于H，交于，根据“同角的余角相等”可得，由点和点的坐标可得，从而证明，则，．由题意可知，，通过证明可得，由等量代换可得． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：的长度不变，，理由如下： 过点作轴于点， 同理（1）可得， ∴，， ∵轴，轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 延长交的延长线于，过点作于，交于， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $