第十章 三角形 易错点讲义 2025-2026学年冀教版数学七年级下册

第十章 三角形 易错点解析 总 错 汇 点 易 易错点1.对三角形三边关系定理理解不透彻，忽视“任意两边之和大于第三边”中的“任意”二字 易错点2.在判断三条线段能否组成三角形时，仅验证两条较短边之和大于最长边，忽略其他组合情况 易错点3.混淆三角形内角和定理与外角性质，错误认为三角形的外角等于两个内角之和 易错点4.计算三角形内角时，忽略三角形内角和为180°这一隐含条件，导致计算错误 易错点5.对三角形角平分线的概念理解不清。 易错点6.画钝角三角形的高线时，错误地将高线画在三角形内部，未正确作出钝角边上的高线 易错点7.在涉及三角形中线的计算问题中，忽略中线将三角形分成面积相等的两部分这一性质 析- 错 解 点 易 易错点1：对三角形三边关系定理理解不透彻，忽视“任意两边之和大于第三边”中的“任意”二字 例题：判断下列长度的三条线段能否组成三角形： （1）3cm，4cm，5cm；（2）2cm，3cm，5cm 答案：（1）能组成三角形；（2）不能组成三角形 解析：三角形三边关系定理要求“任意两边之和大于第三边”。对于（1），3+4>5，3+5>4，4+5>3，满足“任意”条件，能组成三角形；对于（2），2+3=5，不满足“任意两边之和大于第三边”，因为2+3不大于5，所以不能组成三角形。此处易忽视“任意”二字，错误认为只要有两边之和大于第三边即可。 避错指南： 在判断三条线段能否组成三角形时，必须验证所有三组两边之和与第三边的大小关系，即a+b>c、a+c>b、b+c>a（其中a、b、c为三条线段的长度），只有三组都满足时，才能组成三角形。不能仅验证其中一组或两组。 即时小练： 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm B. 2cm，3cm，4cm C. 3cm，4cm，7cm D. 5cm，6cm，12cm 答案：B 解析：选项A中1+2=3，不满足任意两边之和大于第三边；选项B中2+3>4，2+4>3，3+4>2，满足条件；选项C中3+4=7，不满足；选项D中5+6=11<12，不满足。所以选B。 2. 若三条线段的长度分别为x，x+1，x+2（x>0），则x的取值范围是________。 答案：x>1 解析：根据三角形三边关系，需满足x+(x+1)>x+2，即2x+1>x+2，解得x>1；同时x+(x+2)>x+1，即2x+2>x+1，解得x>-1（因为x>0，此条件自动满足）；(x+1)+(x+2)>x，即2x+3>x，解得x>-3（同样自动满足）。所以x的取值范围是x>1。 3. 判断：三条线段的长度分别为4cm，5cm，9cm，能组成三角形。（ ） 答案：× 解析：因为4+5=9，不满足“任意两边之和大于第三边”，所以不能组成三角形，故该说法错误。 易错点2：在判断三条线段能否组成三角形时，仅验证两条较短边之和大于最长边，忽略其他组合情况 例题：判断线段a=2，b=3，c=4能否组成三角形，有同学这样解答：因为2+3>4，所以能组成三角形。这种解答是否正确？ 答案：这种解答正确 解析：在三条线段中，设最长边为c，若两条较短边a、b的和大于最长边c，则a+c>b和b+c>a一定成立。因为a、b是较短边，所以a≤c，b≤c，那么a+c≥a+a（因为c≥a），又因为a>0，所以a+c>a+a>0，而b≤c，所以a+c>b；同理b+c>a。因此，在实际判断时，只需验证两条较短边之和大于最长边即可，并非忽略其他组合情况，而是其他组合情况在这种验证下已自动满足。但需注意前提是准确找出最长边。 避错指南： 在判断三条线段能否组成三角形时，可先将三条线段按长度从小到大排序，设为a≤b≤c，然后只需验证a+b>c即可。这是因为若a+b>c，由于c是最长边，那么a+c>b（因为c≥b，a>0，所以a+c≥a+b>c≥b）和b+c>a（同理）必然成立。但要注意必须先确定最长边，避免因找错最长边而导致验证错误。 即时小练： 1. 判断三条线段长分别为5，6，10能否组成三角形，正确的验证方法是（ ） A. 5+6>10 B. 5+10>6 C. 6+10>5 D. 以上都需要验证 答案：A 解析：将三条线段排序为5≤6≤10，最长边为10，验证两条较短边5和6的和是否大于10，5+6=11>10，所以能组成三角形，只需验证A选项即可，故选A。 2. 若三条线段的长度分别为m，n，p，且m<p，要使它们能组成三角形，则需满足的条件是（ ） A. m+n>p B. m+p>n C. n+p>m D. m+n 答案：A 解析：因为m<p，所以p是最长边，根据三角形三边关系，只需m+n>p即可，其他选项m+p>n和n+p>m由于p是最长边，显然成立，所以选A。 3. 已知三条线段的长度分别为3，x，8（x为正整数），若它们能组成三角形，求x的值。 答案：6、7、8、9、10 解析：将三条线段排序，需分情况讨论：若x是最长边，则3+8>x，即x<11；若8是最长边，则3+x>8，即x>5。又因为x为正整数，所以x的取值范围是6≤x≤10，即x的值为6、7、8、9、10。这里易错点是忽略x可能是最长边的情况，仅考虑8是最长边，从而漏解。 易错点3：混淆三角形内角和定理与外角性质，错误认为三角形的外角等于两个内角之和 例题：在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角的度数是多少？有同学解得：∠C=180°-50°-60°=70°，所以与∠C相邻的外角等于∠A+∠B=50°+60°=110°，这种解法是否正确？若正确，依据是什么？若错误，说明理由。 答案：这种解法正确，依据是三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 解析：三角形内角和定理是指三角形三个内角的和等于180°；而三角形外角性质是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，并非等于任意两个内角之和。在该题中，与∠C相邻的外角与∠C互补，同时它等于与它不相邻的∠A和∠B的和，即50°+60°=110°，该同学的解法正确，准确运用了外角性质。若错误认为外角等于任意两个内角之和，例如在一个三角形中，若有一个内角为30°，一个外角为100°，错误认为这个外角是30°和另一个内角的和，而忽略“不相邻”的条件，就会导致错误。 避错指南： 要明确区分三角形内角和定理和外角性质。内角和定理：三角形三个内角和为180°；外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，同时外角与相邻的内角互补（和为180°）。在应用外角性质时，一定要注意“不相邻”这一关键条件，不能笼统地说外角等于两个内角之和。 即时小练 1. 判断：三角形的一个外角等于两个内角之和。（ ） 答案：× 解析：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，缺少“不相邻”这个条件，所以该说法错误。例如直角三角形中，直角的外角是90°，它等于另外两个锐角之和，而直角的两个相邻内角是两个锐角，外角与相邻内角互补，并非等于这两个相邻内角之和，所以原说法错误。 2. 在△ABC中，∠A的外角为120°，∠B=50°，则∠C的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 答案：C 解析：∠A的外角等于与它不相邻的∠B和∠C的和，即∠A的外角=∠B+∠C，所以120°=50°+∠C，解得∠C=70°，故选C。 3．如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析：如图所示， ∵， ∴， ∴， 根据题意可知， ∴． 易错点4：计算三角形内角时，忽略三角形内角和为180°这一隐含条件，导致计算错误 例题：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠A、∠B、∠C的度数。有同学设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，然后直接得出∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，没有进一步计算，这种做法是否正确？若不正确，正确的解法是什么？ 答案：这种做法不正确，正确的∠A=40°，∠B=60°，∠C=80° 解析：该同学的错误在于忽略了三角形内角和为180°这一隐含条件。正确的解法应是设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，根据三角形内角和定理可得2x+3x+4x=180°，即9x=180°，解得x=20°，所以∠A=2×20°=40°，∠B=3×20°=60°，∠C=4×20°=80°。若忽略内角和为180°，则无法求出具体角度，导致错误。 避错指南： 在计算三角形内角的度数时，无论题目是否明确提及，都要牢记三角形内角和为180°这一隐含条件。当已知角之间的关系（如比例关系、倍数关系等）时，应设未知数，根据内角和定理列出方程求解，确保计算出的内角和为180°，避免因忽略该条件而导致结果错误。 即时小练： 1. 在△ABC中，∠A=3∠B，∠C=∠B，求∠B的度数。 答案：36° 解析：设∠B=x，则∠A=3x，∠C=x，根据三角形内角和定理可得3x+x+x=180°，即5x=180°，解得x=36°，所以∠B=36°。 2. 一个三角形中，最大角是最小角的3倍，另一个角是最小角的2倍，求这个三角形的三个内角的度数。 答案：30°，60°，90° 解析：设最小角的度数为x，则最大角为3x，另一个角为2x，根据三角形内角和定理可得x+2x+3x=180°，即6x=180°，解得x=30°，所以三个内角分别为30°，2×30°=60°，3×30°=90°。 3. 在△ABC中，∠A=∠B+∠C，求∠A的度数。 答案：90° 解析：因为三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，又因为∠A=∠B+∠C，所以∠A+∠A=180°，即2∠A=180°，解得∠A=90° 易错点5：对三角形角平分线的概念理解不清 例题：如图，在中，，，是的外角的平分线，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 避错指南： 准确理解三角形角平分线的定义，明确角平分线是顶点与角的平分线和对边交点之间的线段，其长度是该线段自身的长度，而非交点到其他顶点的距离。在遇到涉及角平分线的问题时，要仔细区分角平分线本身和它与三角形边的交点相关的其他线段。 即时小练： 1. 下列关于三角形角平分线的说法正确的是（ ） A. 三角形角平分线是射线 B. 三角形角平分线是顶点到对边中点的线段 C. 三角形角平分线是角的平分线与对边交点到顶点的线段 D. 三角形角平分线的长度等于交点到角两边距离之和 答案：C 解析：三角形的角平分线是线段，所以A错误；顶点到对边中点的线段是中线，不是角平分线，B错误；角平分线是角的平分线与对边交点到顶点的线段，C正确；角平分线上的点到角两边距离相等，不是角平分线长度等于交点到角两边距离之和，D错误。 2．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 答案：D 解析：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 3．如图，在中是的平分线，，，那么（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析：是的平分线，， ， 又， ． 易错点6：画钝角三角形的高线时，错误地将高线画在三角形内部，未正确作出钝角边上的高线 例题：4．如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 答案：C 解析：线段的所对顶点为， ∴线段是边上的高， 避错指南： 画三角形的高时，要明确不同类型三角形高的位置。锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，斜边的高在三角形内部；钝角三角形夹钝角的两条边上的高在三角形外部，钝角所对边上的高在三角形内部。画钝角边上的高时，需要延长该边，然后过相对的顶点向延长线作垂线 即时小练： 1. 钝角三角形有（ ）条高在三角形外部 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：C 解析：钝角三角形夹钝角的两条边上的高在三角形外部，共2条，所以C正确。 2. 下列关于画钝角三角形高线的说法正确的是（ ） A. 所有边上的高都在三角形内部 B. 只有钝角所对边上的高在三角形内部 C. 只有夹钝角的边上的高在三角形内部 D. 所有边上的高都在三角形外部 答案：B 解析：钝角三角形中，钝角所对边上的高在内部，夹钝角的两条边上的高在外部，所以B正确，A、C、D错误。 3. 在钝角△ABC中，∠B为钝角，画出AC边上的高，正确的步骤是（ ） A. 过点B直接向AC作垂线，垂足在AC上 B. 延长AC，过点B向AC的延长线作垂线，垂足在延长线上 C. 过点A向BC作垂线 D. 过点C向AB作垂线 答案：A 解析：∠B为钝角，AC是钝角所对的边，所以AC边上的高在三角形内部，过点B直接向AC作垂线，垂足在AC上，A正确；B是画夹钝角边上的高的步骤，C、D不是画AC边上的高。 易错点7：在涉及三角形中线的计算问题中，忽略中线将三角形分成面积相等的两部分这一性质 例题：在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD的面积为8，则△ABC的面积为多少？若忽略中线的性质，可能会错误计算为8，正确答案是多少？ 答案：16 解析：因为AD是BC边上的中线，所以BD=DC。△ABD和△ADC等底（BD=DC）同高（都是从A到BC的距离），根据三角形面积公式，可知它们的面积相等。所以△ABC的面积=△ABD的面积+△ADC的面积=8+8=16。忽略中线将三角形分成面积相等的两部分这一性质，就会错误地认为△ABC的面积等于△ABD的面积，得到错误答案8。 避错指南： 在解决涉及三角形中线的面积计算问题时，要牢记中线的重要性质——中线将三角形分成两个面积相等的三角形。遇到此类问题，先确定中线，再利用等底同高的三角形面积相等这一原理进行计算，避免忽略该性质导致错误。 即时小练： 1. 在△ABC中，BE是AC边上的中线，△BEC的面积是6，则△ABC的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 答案：B 解析：因为BE是中线，所以AE=EC，△ABE和△BEC面积相等，都为6，所以△ABC面积=6+6=12，B正确。 2. 已知△ABC的面积是20，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，则△ABE的面积是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 答案：A 解析：因为AD是中线，所以△ABD面积=20÷2=10；BE是△ABD中AD边上的中线，所以△ABE面积=10÷2=5，A正确。 3．如图，，分别是的高线、中线，若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 答案：C 解析：∵，分别是的高线、中线， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 三角形 易错点解析 总 错 汇 点 易 易错点1.对三角形三边关系定理理解不透彻，忽视“任意两边之和大于第三边”中的“任意”二字 易错点2.在判断三条线段能否组成三角形时，仅验证两条较短边之和大于最长边，忽略其他组合情况 易错点3.混淆三角形内角和定理与外角性质，错误认为三角形的外角等于两个内角之和 易错点4.计算三角形内角时，忽略三角形内角和为180°这一隐含条件，导致计算错误 易错点5.对三角形角平分线的概念理解不清。 易错点6.画钝角三角形的高线时，错误地将高线画在三角形内部，未正确作出钝角边上的高线 易错点7.在涉及三角形中线的计算问题中，忽略中线将三角形分成面积相等的两部分这一性质 析- 错 解 点 易 易错点1：对三角形三边关系定理理解不透彻，忽视“任意两边之和大于第三边”中的“任意”二字 例题：判断下列长度的三条线段能否组成三角形： （1）3cm，4cm，5cm；（2）2cm，3cm，5cm 避错指南： 在判断三条线段能否组成三角形时，必须验证所有三组两边之和与第三边的大小关系，即a+b>c、a+c>b、b+c>a（其中a、b、c为三条线段的长度），只有三组都满足时，才能组成三角形。不能仅验证其中一组或两组。 即时小练： 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm B. 2cm，3cm，4cm C. 3cm，4cm，7cm D. 5cm，6cm，12cm 2. 若三条线段的长度分别为x，x+1，x+2（x>0），则x的取值范围是________。 3. 判断：三条线段的长度分别为4cm，5cm，9cm，能组成三角形。（ ） 易错点2：在判断三条线段能否组成三角形时，仅验证两条较短边之和大于最长边，忽略其他组合情况 例题：判断线段a=2，b=3，c=4能否组成三角形，有同学这样解答：因为2+3>4，所以能组成三角形。这种解答是否正确？ 避错指南： 在判断三条线段能否组成三角形时，可先将三条线段按长度从小到大排序，设为a≤b≤c，然后只需验证a+b>c即可。这是因为若a+b>c，由于c是最长边，那么a+c>b（因为c≥b，a>0，所以a+c≥a+b>c≥b）和b+c>a（同理）必然成立。但要注意必须先确定最长边，避免因找错最长边而导致验证错误。 即时小练： 1. 判断三条线段长分别为5，6，10能否组成三角形，正确的验证方法是（ ） A. 5+6>10 B. 5+10>6 C. 6+10>5 D. 以上都需要验证 2. 若三条线段的长度分别为m，n，p，且m<p，要使它们能组成三角形，则需满足的条件是（ ） A. m+n>p B. m+p>n C. n+p>m D. m+n 3. 已知三条线段的长度分别为3，x，8（x为正整数），若它们能组成三角形，求x的值。 易错点3：混淆三角形内角和定理与外角性质，错误认为三角形的外角等于两个内角之和 例题：在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角的度数是多少？有同学解得：∠C=180°-50°-60°=70°，所以与∠C相邻的外角等于∠A+∠B=50°+60°=110°，这种解法是否正确？若正确，依据是什么？若错误，说明理由。 避错指南： 要明确区分三角形内角和定理和外角性质。内角和定理：三角形三个内角和为180°；外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，同时外角与相邻的内角互补（和为180°）。在应用外角性质时，一定要注意“不相邻”这一关键条件，不能笼统地说外角等于两个内角之和。 即时小练 1. 判断：三角形的一个外角等于两个内角之和。（ ） 2. 在△ABC中，∠A的外角为120°，∠B=50°，则∠C的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 3．如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（   ） A． B． C． D． 易错点4：计算三角形内角时，忽略三角形内角和为180°这一隐含条件，导致计算错误 例题：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠A、∠B、∠C的度数。有同学设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，然后直接得出∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，没有进一步计算，这种做法是否正确？若不正确，正确的解法是什么？ 避错指南： 在计算三角形内角的度数时，无论题目是否明确提及，都要牢记三角形内角和为180°这一隐含条件。当已知角之间的关系（如比例关系、倍数关系等）时，应设未知数，根据内角和定理列出方程求解，确保计算出的内角和为180°，避免因忽略该条件而导致结果错误。 即时小练： 1. 在△ABC中，∠A=3∠B，∠C=∠B，求∠B的度数。 2. 一个三角形中，最大角是最小角的3倍，另一个角是最小角的2倍，求这个三角形的三个内角的度数。 3. 在△ABC中，∠A=∠B+∠C，求∠A的度数。 易错点5：对三角形角平分线的概念理解不清 例题：如图，在中，，，是的外角的平分线，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 避错指南： 准确理解三角形角平分线的定义，明确角平分线是顶点与角的平分线和对边交点之间的线段，其长度是该线段自身的长度，而非交点到其他顶点的距离。在遇到涉及角平分线的问题时，要仔细区分角平分线本身和它与三角形边的交点相关的其他线段。 即时小练： 1. 下列关于三角形角平分线的说法正确的是（ ） A. 三角形角平分线是射线 B. 三角形角平分线是顶点到对边中点的线段 C. 三角形角平分线是角的平分线与对边交点到顶点的线段 D. 三角形角平分线的长度等于交点到角两边距离之和 2．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中是的平分线，，，那么（   ） A． B． C． D． 易错点6：画钝角三角形的高线时，错误地将高线画在三角形内部，未正确作出钝角边上的高线 例题：4．如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 避错指南： 画三角形的高时，要明确不同类型三角形高的位置。锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，斜边的高在三角形内部；钝角三角形夹钝角的两条边上的高在三角形外部，钝角所对边上的高在三角形内部。画钝角边上的高时，需要延长该边，然后过相对的顶点向延长线作垂线 即时小练： 1. 钝角三角形有（ ）条高在三角形外部 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列关于画钝角三角形高线的说法正确的是（ ） A. 所有边上的高都在三角形内部 B. 只有钝角所对边上的高在三角形内部 C. 只有夹钝角的边上的高在三角形内部 D. 所有边上的高都在三角形外部 3. 在钝角△ABC中，∠B为钝角，画出AC边上的高，正确的步骤是（ ） A. 过点B直接向AC作垂线，垂足在AC上 B. 延长AC，过点B向AC的延长线作垂线，垂足在延长线上 C. 过点A向BC作垂线 D. 过点C向AB作垂线 易错点7：在涉及三角形中线的计算问题中，忽略中线将三角形分成面积相等的两部分这一性质 例题：在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD的面积为8，则△ABC的面积为多少？若忽略中线的性质，可能会错误计算为8，正确答案是多少？ 避错指南： 在解决涉及三角形中线的面积计算问题时，要牢记中线的重要性质——中线将三角形分成两个面积相等的三角形。遇到此类问题，先确定中线，再利用等底同高的三角形面积相等这一原理进行计算，避免忽略该性质导致错误。 即时小练： 1. 在△ABC中，BE是AC边上的中线，△BEC的面积是6，则△ABC的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 2. 已知△ABC的面积是20，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，则△ABE的面积是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 3．如图，，分别是的高线、中线，若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $