1.1 第3课时 积的乘方-教案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册.docx

第一章　整式的乘除一、复习导入（5分钟） 1. 回顾旧知：教师提问，引导学生回忆相关概念和运算，“什么是整式？单项式和多项式的区别是什么？”“我们之前学过的乘方的意义是什么？比如$$2^3$$表示什么？” 邀请2-3名学生发言，纠正模糊认知，明确整式分为单项式和多项式，乘方是几个相同因数的积，如$$2^3 = 2×2×2$$。 2. 情境激趣：呈现问题“一种电子计算机每秒可进行$$10^8$$次运算，它工作$$10^3$$秒可进行多少次运算？” 引导学生列出算式$$10^8 × 10^3$$，提问“这个算式是两个同底数幂相乘，该如何计算？” 引发学生思考，自然引入本节课主题——整式的乘除（第一课时：同底数幂的乘法及相关幂的运算）。 二、新知讲授（20分钟） （一）同底数幂的乘法 1. 探究法则：教师引导学生结合乘方意义，计算以下算式：①$$2^3 × 2^2$$ ②$$10^8 × 10^3$$ ③$$a^3 × a^2$$。让学生分组讨论，分享计算过程，教师巡视指导。 2. 总结法则：结合学生的计算结果，引导学生发现规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为$$a^m × a^n = a^{m+n}$$（m、n为正整数），强调前提是“同底数幂”，底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式。 3. 例题讲解：讲解例1，计算：①$$x^5 × x^2$$ ②$$y × y^3 × y^5$$ ③$$(-2)^3 × (-2)^2$$。每道题先让学生尝试计算，教师再板书规范步骤，强调符号的处理，如负数的乘方，底数带符号时需整体计算，$$(-2)^3 × (-2)^2 = (-2)^{3+2} = (-2)^5 = -32$$。 （二）幂的乘方 1. 概念引入：提问“$$(a^3)^2$$表示什么意思？” 引导学生明确，幂的乘方是指几个相同幂相乘，即$$(a^3)^2 = a^3 × a^3$$，结合同底数幂乘法法则计算出结果为$$a^6$$。 2. 探究法则：让学生自主计算$$(a^2)^3$$、$$(10^4)^2$$，分组讨论规律，教师引导总结：幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示为$$(a^m)^n = a^{mn}$$（m、n为正整数），对比同底数幂乘法法则，强调“指数相加”与“指数相乘”的区别。 3. 即时练习：让学生快速计算$$(x^4)^3$$、$$(y^2)^5$$，指名回答，纠正易错点，如混淆两个法则，避免出现$$(x^4)^3 = x^7$$的错误。 （三）积的乘方 1. 探究法则：呈现算式$$(ab)^2$$，引导学生拆分计算，$$(ab)^2 = ab × ab = (a×a) × (b×b) = a^2b^2$$，再让学生计算$$(ab)^3$$，总结规律：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为$$(ab)^n = a^n b^n$$（n为正整数），可推广到多个因式，如$$(abc)^n = a^n b^n c^n$$。 2. 例题讲解：讲解例2，计算：①$$(2x)^3$$ ②$$(-3y^2)^2$$，强调每一个因式都要乘方，注意符号，如$$(-3y^2)^2 = (-3)^2 × (y^2)^2 = 9y^4$$，避免漏乘因式或符号错误。 三、巩固练习（15分钟） 1. 基础题（全员必做）：设计5道基础计算题，涵盖三个法则，让学生独立完成，教师巡视，收集易错题型，重点讲解：①$$a^4 × a^5$$ ②$$(x^3)^4$$ ③$$(-2a)^3$$ ④$$y^2 × y^3 × y$$ ⑤$$(3xy)^2$$。完成后，指名学生板书答案，集体订正，强调规范步骤。 2. 提高题（小组讨论）：设计2道综合性题目，培养学生灵活运用法则的能力：①$$(a^2)^3 × a^4$$ ②$$(-2x^2y)^3$$，让学生分组讨论解题思路，每组派代表分享，教师补充讲解，引导学生明确运算顺序，先算乘方，再算同底数幂乘法。 3. 纠错练习：呈现学生易错题，如$$a^3 + a^3 = a^6$$、$$(a^2)^3 = a^5$$、$$(ab)^3 = ab^3$$，让学生找出错误原因，改正错误，加深对法则的理解，避免再犯同类错误。 四、课堂小结（3分钟） 教师引导学生回顾本节课重点内容，提问“本节课我们学习了哪些幂的运算？它们的法则分别是什么？”“同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方有什么区别？” 邀请学生自主总结，教师补充完善，强调三个法则的核心的是“底数不变”，关键是区分指数的运算（相加、相乘），以及积的乘方要“每一个因式都乘方”。 同时，提醒学生在运算中注意符号处理和运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后合并同类项（本节课暂不涉及同类项合并，为后续学习铺垫）。 五、布置作业（2分钟） 布置分层作业，兼顾不同学生的学习需求：1. 基础作业：教材对应习题，巩固三个法则的基础运算；2. 提高作业：补充2道综合性计算题，如$$(a^m)^n × a^{m+n}$$、$$(-3a^2b)^2 × (-2ab)$$；3. 拓展作业：思考“同底数幂的除法该如何计算？”，为下一节课学习做铺垫。 最后，强调作业书写规范，步骤清晰，及时订正错误，有疑问及时向老师或同学请教。 1.1　幂的乘除 第3课时　积的乘方 1．经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用，发展运算能力和有条理的思考和表达能力． 2．了解积的乘方的运算性质，并能解决实际问题． 3．从数的相应运算入手，类比过渡到式的运算，从中探索、归纳式的运算法则，使新的运算规律自然而然地同化到原有的知识之中，使原有的知识得到扩充、发展． 重点：理解并掌握积的乘方的运算法则． 难点：掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用． 一、导入新课 知识链接 1．计算： (1)10×102×103＝106； (2)(x5)2＝x10． 2．(1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n(m，n都是正整数). (2)幂的乘方：(am)n＝amn(m，n都是正整数). 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究：幂的乘方法则 做一做： 1．师生共同完成计算并引导学生说出每一步的依据： 1.完成下列各式，并说明理由。 (1) (3×5)4 = 3( )×5( ) ; (2) (3×5) m = 3( )×5( ) (3×5)4 ＝(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)——乘方的意义 ＝(3×3×3×3)×(5×5×5×5 )——乘法交换律、结合律 ＝34×54；——乘方的意义 议一议：观察计算结果你能发现什么规律? 积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (3×5)m 追问：你能用符号表示你发现的规律吗? (ab)n ＝an · bn(n 为正整数). 提问：你能证明这个猜测吗？ 证一证： 你能证明你们发现的猜想吗？一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，则有 要点归纳：积的乘方法则：(ab)n＝anbn(n是正整数). 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．　 追问：三个或三个以上因式积的乘方，是否依旧具有这样的运算性质？ (abc)n＝an·bn·cn(n为正整数). 计算： (1)(3x)2；　　　(2)(－2b)5；(3)(－2xy)4; (4)(3a2)n。 课件出示，学生独立完成． 注意：(1)在运用积的乘方法则时，要注意积的每一项都要乘方，不要遗漏任一项． (2)解题时先确定系数(包括正确确定它们的符号)，再确定每个字母的指数． (3)含有“－”号的字母底数看成－1乘以这个字母，再运用积的乘方法则． 填空： (1)a3b6＝(________)3； (2)36x6y10＝(________)2. (1)ab2　(2)±6x3y5 计算： ()6×26. 原式＝(×2)6＝16＝1. 思考：本节课情境导入的问题你会了吗？(再次出示课件，解决问题，首尾呼应) 三、当堂检测　 1．计算(ab)2的结果是（ C ） A．2ab B．a2b C．a2b2 D．ab2 2．下列计算正确的是（ D ） A．(xy)3＝xy3 B．(2xy)3＝2x3y3 C．(－2x3)3＝－6x9 D．(－xy2)4＝x4y8 3．计算： (1)－(3m2nh3)2＝－9m4n2h6； (2)(2×102)3×(－10)2＝8×108． 4．若(ambn)2＝a8b6，则m＝4，n＝3. (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 积的乘方是整式乘法的基础，在内容处理上仍然先通过数字指数为例让学生计算，而后引导学生自主探索，讨论交流，归纳出一般指数情形的性质，即概括出：(ab)n＝anbn.尽可能让学生主动建构，获取新知，教学时引导学生关注每一步的依据．不要把积的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆． 学科网（北京）股份有限公司 $