1.1 第1课时 同底数幂的乘法-教案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第一章　整式的乘除 1.1　幂的乘除 第1课时　同底数幂的乘法一、复习导入（5分钟） 1. 回顾旧知：教师提问，引导学生回忆相关概念和运算，“什么是整式？单项式和多项式的区别是什么？”“我们之前学过的乘方的意义是什么？比如$$2^3$$表示什么？” 邀请2-3名学生发言，纠正模糊认知，明确整式分为单项式和多项式，乘方是几个相同因数的积，如$$2^3 = 2×2×2$$。 2. 情境激趣：呈现问题“一种电子计算机每秒可进行$$10^8$$次运算，它工作$$10^3$$秒可进行多少次运算？” 引导学生列出算式$$10^8 × 10^3$$，提问“这个算式是两个同底数幂相乘，该如何计算？” 引发学生思考，自然引入本节课主题——整式的乘除（第一课时：同底数幂的乘法及相关幂的运算）。 二、新知讲授（20分钟） （一）同底数幂的乘法 1. 探究法则：教师引导学生结合乘方意义，计算以下算式：①$$2^3 × 2^2$$ ②$$10^8 × 10^3$$ ③$$a^3 × a^2$$。让学生分组讨论，分享计算过程，教师巡视指导。 2. 总结法则：结合学生的计算结果，引导学生发现规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为$$a^m × a^n = a^{m+n}$$（m、n为正整数），强调前提是“同底数幂”，底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式。 3. 例题讲解：讲解例1，计算：①$$x^5 × x^2$$ ②$$y × y^3 × y^5$$ ③$$(-2)^3 × (-2)^2$$。每道题先让学生尝试计算，教师再板书规范步骤，强调符号的处理，如负数的乘方，底数带符号时需整体计算，$$(-2)^3 × (-2)^2 = (-2)^{3+2} = (-2)^5 = -32$$。 （二）幂的乘方 1. 概念引入：提问“$$(a^3)^2$$表示什么意思？” 引导学生明确，幂的乘方是指几个相同幂相乘，即$$(a^3)^2 = a^3 × a^3$$，结合同底数幂乘法法则计算出结果为$$a^6$$。 2. 探究法则：让学生自主计算$$(a^2)^3$$、$$(10^4)^2$$，分组讨论规律，教师引导总结：幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示为$$(a^m)^n = a^{mn}$$（m、n为正整数），对比同底数幂乘法法则，强调“指数相加”与“指数相乘”的区别。 3. 即时练习：让学生快速计算$$(x^4)^3$$、$$(y^2)^5$$，指名回答，纠正易错点，如混淆两个法则，避免出现$$(x^4)^3 = x^7$$的错误。 （三）积的乘方 1. 探究法则：呈现算式$$(ab)^2$$，引导学生拆分计算，$$(ab)^2 = ab × ab = (a×a) × (b×b) = a^2b^2$$，再让学生计算$$(ab)^3$$，总结规律：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为$$(ab)^n = a^n b^n$$（n为正整数），可推广到多个因式，如$$(abc)^n = a^n b^n c^n$$。 2. 例题讲解：讲解例2，计算：①$$(2x)^3$$ ②$$(-3y^2)^2$$，强调每一个因式都要乘方，注意符号，如$$(-3y^2)^2 = (-3)^2 × (y^2)^2 = 9y^4$$，避免漏乘因式或符号错误。 三、巩固练习（15分钟） 1. 基础题（全员必做）：设计5道基础计算题，涵盖三个法则，让学生独立完成，教师巡视，收集易错题型，重点讲解：①$$a^4 × a^5$$ ②$$(x^3)^4$$ ③$$(-2a)^3$$ ④$$y^2 × y^3 × y$$ ⑤$$(3xy)^2$$。完成后，指名学生板书答案，集体订正，强调规范步骤。 2. 提高题（小组讨论）：设计2道综合性题目，培养学生灵活运用法则的能力：①$$(a^2)^3 × a^4$$ ②$$(-2x^2y)^3$$，让学生分组讨论解题思路，每组派代表分享，教师补充讲解，引导学生明确运算顺序，先算乘方，再算同底数幂乘法。 3. 纠错练习：呈现学生易错题，如$$a^3 + a^3 = a^6$$、$$(a^2)^3 = a^5$$、$$(ab)^3 = ab^3$$，让学生找出错误原因，改正错误，加深对法则的理解，避免再犯同类错误。 四、课堂小结（3分钟） 教师引导学生回顾本节课重点内容，提问“本节课我们学习了哪些幂的运算？它们的法则分别是什么？”“同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方有什么区别？” 邀请学生自主总结，教师补充完善，强调三个法则的核心的是“底数不变”，关键是区分指数的运算（相加、相乘），以及积的乘方要“每一个因式都乘方”。 同时，提醒学生在运算中注意符号处理和运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后合并同类项（本节课暂不涉及同类项合并，为后续学习铺垫）。 五、布置作业（2分钟） 布置分层作业，兼顾不同学生的学习需求：1. 基础作业：教材对应习题，巩固三个法则的基础运算；2. 提高作业：补充2道综合性计算题，如$$(a^m)^n × a^{m+n}$$、$$(-3a^2b)^2 × (-2ab)$$；3. 拓展作业：思考“同底数幂的除法该如何计算？”，为下一节课学习做铺垫。 最后，强调作业书写规范，步骤清晰，及时订正错误，有疑问及时向老师或同学请教。 1．经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用，发展运算能力和有条理的表达能力． 2．了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题． 3．从数的相应运算入手，类比过渡到式的运算，从中探索、归纳式的运算法则，使新的运算规律自然而然地同化到原有的知识之中，使原有的知识得到扩充、发展． 重点：理解并掌握同底数幂的乘法法则； 难点：能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算． 一、导入新课 知识链接 1015是有理数的什么运算？其中10叫什么数？15叫什么数？根据乘方的定义怎样计算107×108? 创设情境 光在真空中的传播速度约为 3×108 m/s 。太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要 4.22 年。 一年以 3×107 s计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米? 二、合作探究 探究一：同底数幂的乘法法则 做一做： 1．师生共同完成计算并引导学生说出每一步的依据： (1) 102×103 ； (2) 105×108 ； (3) 10m×10n (m， n 都是正整数). (1)102×103(幂的形式) ＝10×10(2个10)×10×10×10(3个10) (依据：乘方的意义) ＝10×10×10×10×10（5个10） (积的形式) (依据：乘法结合律) ＝105(依据：乘方的意义)(幂的形式) (2)105×108(幂的形式) ＝10×10×···×10(5个10)×10×10×···×10(8个10) (依据：乘方的意义) ＝10×10×···×10（13个10） (积的形式) (依据：乘法结合律) ＝1013(依据：乘方的意义)(幂的形式) (3)10m×10m(幂的形式) ＝10×10×···×10(m个10)×10×10×···×10(n个10) (依据：乘方的意义) ＝10×10×···×10（m+n个10） (积的形式) (依据：乘法结合律) ＝10m+n(依据：乘方的意义)(幂的形式) 注意观察：计算前后，底数和指数有何变化? 猜一猜: 同底数幂的相乘，底数不变，指数相加 2．2m×2n 等于什么 ? ()m×()n 和 (-3)m×(-3 )m 呢 ? (m ，n 都是正整数) 解：2m×2n＝2×2×···×2(m个2)×2×2×···×2(n个2) ＝2m+n ()m×()n＝( ××···×)(m个)×(××···×) (n个)＝()m+n (-3)m×(-3)n＝(-3)×(-3)×···×(-3)(m个(-3))×(-3)×(-3)×···×(-3)(n个(-3)) ＝(-3)m+n 试一试： 3．参考以上计算过程，尝试计算am·an(m，n都是正整数)： am·an＝(a·a·…·a)m个a·(a·a·…·a)n个a ＝a·a·…·am＋n个a ＝am＋n． 追问1：比较以上计算结果与原式，底数和指数分别有什么规律？ 底数不变，指数相加． 追问2：如何能用数学符号语言表达其中的规律？ am·an＝am＋n(m、n都是正整数). 追问3：在探究过程中，体会到了什么数学思想方法？ 类比思想、转化思想(把未知问题转化为已知问题)、特殊到一般思想． 【知识要点】 同底数幂的乘法 运算法则：am · an = am+n (m，n 都是正整数). 文字说明：同底数幂相乘，底数 ，指数 . 例1　(教材P3例1)计算： (1)(－3)7×(－3)6；　　　(2)()3×； (3)－x3·x5; (4)b2m·b2m＋1。 解：(1)(－3)7×(－3)6＝(－3)7＋6＝(－3)13； (2)()3×＝()3＋1＝()4； (3)－x3·x5＝－x3＋5＝－x8； (4)b2m·b2m＋1＝b2m＋2m＋1＝b4m＋1。 注意：底数a既可以是单项式，也可以是多项式；指数可以用数字表示，也可以用字母和代数式表示． 想一想： 当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母表示am·an·ap(m、n、p都是正整数)等于什么呢？ 也具有这一性质．am·an·ap＝am＋n＋p. 要点归纳：同底数幂的乘法法则：am·an＝am＋n(m，n都是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加．　 探究二：同底数幂的乘法法则的运用 问题：光在真空中的速度约为3×108 m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102 s．地球距离太阳大约有多远？ 3×108×5×102＝15×1010＝1.5×1011(m). 答：地球距离太阳大约有1.5×1011m. 例2　(教材P3例2)光在真空中的传播速度约为3×108 m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102 s。地球距离太阳大约有多少米？ 解：3×108×5×102＝15×1010＝1.5×1011(m)。 因此，地球距离太阳大约有1.5×1011 m。 思考：本节课情境导入的问题你会了吗？(再次出示课件，解决问题，首尾呼应) 三、当堂检测 1．计算x5·x5的结果为（B） A．x5 B．x10 C．x25 D．2x5 2．下列计算正确的是（B） A．a2·a3＝a6 B．y7·y＝y8 C．b3·b3＝2b3 D．x5＋x5＝x10 3．若am＝3，an＝4，则am＋n的值为（B） A．7 B．12 C．9 D．81 4．计算： (1)－5·52＝－125； (2)(－x)3·(－x)2＝(－x)5；(3)y2·y4·y5＝y11． 5．若xn－2·xn＝x2，则n＝2． (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结 【板书设计】 同底数幂的乘法将同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算，其中底数a可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式．同底数幂的乘法是类比数的乘方来学习的，首先在具体例子的基础上抽象出同底数幂的乘法的性质，进而通过推理加以推导，这一过程蕴含数式通性、从具体到抽象的思想方法． 学科网（北京）股份有限公司 $