精品解析：山西省大同市2026届高三年级第一次模拟考试质量监测数学试题

2026届高三年级第一次模拟考试质量监测试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 5.本试题共5页，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以，，结合选项可知：A选项正确. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘方结合复数的除法计算求解. 【详解】. 则复数对应的点为，位于第二象限. 3. 某校为了解学生的体育锻炼情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自体育锻炼所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的锻炼时间为（ ） A. 0.5h B. 1h C. 1.5h D. 2h 【答案】B 【解析】 【详解】平均每人的锻炼时间为. 4. 若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为，， 由题意得，所以. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先应用指数和对数转化，再应用对数运算律计算判断各个选项. 【详解】因为，，所以，， 所以，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出，再根据三角恒等变换即可求出答案. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以. 7. 已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线右支上的动点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用角平分线的性质及双曲线的定义得，即可确定轨迹方程，注意范围. 【详解】设点的坐标为，延长与交于点，连接， 因为平分，且，所以，， 又因点是双曲线右支上的动点，所以， 所以，所以，即点在以为圆心，为半径的圆上， 因为当点沿双曲线右支运动到无穷远处时，趋近于双曲线的渐近线， 所以点的轨迹是圆弧，除去点和， 所以方程为. 8. 已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令， 因为当时，都有， 所以函数在上单调递增. 又不等式两边同乘以， 得，即， 即，所以， 故，解得，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分 9. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 直线是函数图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增 C. 的图象可通过的图象上所有点向右平移个单位长度得到 D. 若，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】代入计算判断不是函数的最值判断A，根据正弦函数的单调性判断B，应用平移规则计算判断C，应用三角函数的值域计算判断D. 【详解】对于A，，0不是函数的最值，所以函数不关于对称，故A错误； 对于B，令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为， 令，得函数在上单调递增， 又，所以函数在上单调递增，故B正确； 对于C，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度得到，故C错误； 对于D，，解得，，， 则， 故当时，，故D正确. 10. 已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由，得，即，解得， 则，而，因此，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 11. 如图，在几何体中，底面是边长为1的正方形，棱底面，，且，则下列表述一定正确的是（ ） A. 平面 B. 几何体外接球表面积是 C. 几何体的体积是 D. 当时，几何体一定有内切球 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理和线面平行判定定理判断选项A；根据割补法判断选项B；运用割补法，结合锥体和柱体的体积公式进行求解判断选项C；运用等积性判断选项D. 【详解】因为且， 所以四边形为平行四边形，所以， 根据线面平行的判定定理可知平面，故A正确； 几何体外接球即为长方体的外接球， 所以，所以外接球表面积是，故B错误； 对于C选项，可以将几何体补成长方体， 如图，几何体的体积为，故C正确； 当时，假设几何体有内切球， 则根据等体积法可得， 即，因为平面上的点与平面上的点的距离是1， 即内切球半径为，矛盾，故几何体没有内切球，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，进而得出切线斜率，再代入求参数，最后应用点斜式得出切线方程. 【详解】因为，所以，所以， 又当时，， 所以在点处的切线方程为，即得. 13. 已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】先应用二倍角正弦公式结合两角和正弦公式化简，再应用正弦定理及三角形面积公式计算求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 故， 即， 所以， 又由正弦定理及三角形面积公式，可得， 又因为，所以，解得. 14. 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（其中点位于第一象限），，是线段的中点，且点纵坐标为2，则________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：过作，过作，利用抛物线的定义和相似三角形的性质，结合点差法进行求解即可； 方法二：利用抛物线上的点到焦点的距离公式，结合点差法进行求解即可. 【详解】方法一：由题知，设，则，， 延长交准线于点，过作，过作， 则，，显然相似于， 所以，即，所以，所以， 所以，所以， 所以直线的斜率为， 设，，则， 得，所以， 所以， 又因为，所以. 方法二：由题知， 设直线的倾斜角为，则有， 所以直线的斜率为，由方法一， 得. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）根据等比数列和等差数列前项和公式进行分组求和即可. 【小问1详解】 因为，所以，， 两式相减，得，即，故， 当时，，所以，满足， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以数列的前项和 . 16. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为棱，，的中点. （1）证明：平面平面； （2）过作平面的平行平面，平面将直三棱柱截成两部分，其中较大部分体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为是直三棱柱，所以， 因为，所以， 又且，平面， 所以平面， 又，分别为棱，的中点，所以， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定得平面，再由面面垂直的判定证明结论. （2）利用平面的基本性质及棱柱体积公式和已知求得，构建合适的空间直角坐标系，再应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据面面平行的判定定理作出平面，如图所示， 平面与直三棱柱的截面即为平面， 显然，平面将直三棱柱分成体积比为的两部分， 所以， 设，则，所以. 以为原点，棱，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，. 所以，，， 设平面的法向量为，则，即，令，得， 设直线与平面所成角为，则. 17. 已知椭圆：的长轴长为4，左、右顶点分别为，，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）求四边形面积的最大值； 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，长轴长为4，得，求得椭圆方程，再根据离心率定义，即可求解. （2）讨论直线的斜率不存在或存在，将直线与椭圆方程联立，根据四边形的面积，利用韦达定理代入即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 所以椭圆方程为， ，，， 则离心率为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为， 代入椭圆的方程，得，， 又因为，， 所以四边形的面积, 当直线的斜率存在时，设的方程为， 设 ， 联立方程，消去，得， 由题意，可知恒成立， 则，， 四边形的面积 令，则四边形的面积 ，， 所以， 综上所述，四边形面积的最大值. 18. 某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，将其且)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为. （1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． （2）现取其中且)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①记E()为随机变量的数学期望．若运用概率统计的知识，求出关于的函数关系式，并写出定义域； ②若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值． 参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094． 【答案】（1）；（2）①（且）；②8. 【解析】 【分析】 （1）结合题意，由排列组合知识及概率公式即可得解； （2）①由题知，的可能值为1，，进而可求出，由，即可求出关于的函数关系式； ②，则，进而构造新函数，再利用导数研究函数的单调性，再结合函数性质即可得的最大值. 【详解】解：（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件， 则. （2）①根据题意，可知，的可能值为1，， 则，， 所以， 由，得， 所以（且）. ②由于，则， 所以，即， 设，，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， ，， 所以的最大值为8. 【点睛】关键点点睛：本题考查排列组合在概率中的运用，考查概率公式及随机变量的数学期望，通过构造新函数和导数的实际应用是解题的关键，属于中档题. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若函数有两个极值点， ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）①； ②由①可知，即， 所以， ， ， ， ， 要证，即证，即证， 由，得，即证， 由于，所以，即证，即证，即证， 令，即证， 令，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以不等式成立. 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间； （2）①对函数求导，问题化为是方程的两个不同的根，列不等式求参数范围；②根据①，应用分析法将问题化为证明，再由导数证明不等式，即可证. 【小问1详解】 当时，， ， 令，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 ①， 由题意知是方程的两个不同的根， 设，则方程有两个不同的正实数根，， 所以，解得； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级第一次模拟考试质量监测试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 5.本试题共5页，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某校为了解学生的体育锻炼情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自体育锻炼所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的锻炼时间为（ ） A. 0.5h B. 1h C. 1.5h D. 2h 4. 若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线右支上的动点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分 9. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 直线是函数图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增 C. 的图象可通过的图象上所有点向右平移个单位长度得到 D. 若，且，则 10. 已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 如图，在几何体中，底面是边长为1的正方形，棱底面，，且，则下列表述一定正确的是（ ） A. 平面 B. 几何体外接球表面积是 C. 几何体的体积是 D. 当时，几何体一定有内切球 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为______. 13. 已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 14. 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（其中点位于第一象限），，是线段的中点，且点纵坐标为2，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为棱，，的中点. （1）证明：平面平面； （2）过作平面的平行平面，平面将直三棱柱截成两部分，其中较大部分体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆：的长轴长为4，左、右顶点分别为，，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）求四边形面积的最大值； 18. 某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，将其且)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为. （1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． （2）现取其中且)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①记E()为随机变量的数学期望．若运用概率统计的知识，求出关于的函数关系式，并写出定义域； ②若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值． 参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若函数有两个极值点， ①求的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $