第10章 二元一次方程组的解法及与解相关的问题 2025-2026学年七年级数学下册人教版

专题4 第10章 二元一次方程组的解法及与解相关的问题 考点一 二元一次方程组的解法 考法1 巧用“整体思想” 【典例1】[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　﹣4　 ，x+y＝　4　 ． （2）某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：x※y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知1※4＝16，1※5＝21，求1※1的值． 【分析】（1）由①﹣②得2x﹣2y＝﹣8，则x﹣y＝﹣4，再由①+②得4x+4y＝16，则x+y＝4； （2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，1本日记本z元，由题意：买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，列出方程组，再由整体思想”求出x+y+z＝6，即可求解； （3）由定义新运算：x※y＝ax+by+c得※4＝a+4b+c＝16①，1※5＝a+5b+c＝21②，求出a+b+c＝1，即可求解． 【解答】解：（1）， ①﹣②得：2x﹣2y＝﹣8， ∴x﹣y＝﹣4， ①+②得：4x+4y＝16， ∴x+y＝4， 故答案为：﹣4，4； （2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，1本日记本z元， 由题意得：， ①×2﹣②得：x+y+z＝6， ∴20x+20y+20z＝20（x+y+z）＝20×6＝120， 即购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需120元； （3）∵x※y＝ax+by+c， ∴1※4＝a+4b+c＝16①，1※5＝a+5b+c＝21②， ②﹣①得：b＝5， ∴a+c＝16﹣4b＝﹣4， ∴a+b+c＝1， ∴1※1＝a+b+c＝1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识；熟练掌握整体思想和新运算，找准等量关系，列出方程组是解题的关键． 【针对训练】 1．已知方程组的解满足5x﹣y＝4，则k的值是 　2　 ． 【分析】②﹣①得出（7x+4y）﹣（2x+5y）＝（3k﹣1）﹣（﹣k+3），求出5x﹣y＝4k﹣4，根据方程组的解满足5x﹣y＝4得出4k﹣4＝4，再求出k即可． 【解答】解：， ②﹣①，得（7x+4y）﹣（2x+5y）＝（3k﹣1）﹣（﹣k+3）， 即5x﹣y＝4k﹣4， ∵方程组的解满足5x﹣y＝4， ∴4k﹣4＝4， 解得：k＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，能求出4k﹣4＝4是解此题的关键． 2．利用整体代入法解方程组解得x＝　9.6　 ． 【分析】由方程组第一个方程整理表示出x﹣3，代入第二个方程消去x求出y的值，进而求出x的值即可． 【解答】解：， 由①得：x﹣3＝6y③， 把③代入②得：12y﹣11＝2y， 解得：y＝1.1， 把y＝1.1代入③得：x﹣3＝6.6， 解得：x＝9.6． 故答案为：9.6． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3．已知：x、y满足我们可以不解这个方程组，用①×a+②×b整体求出x+11y的值，则a：b的值是　　 ． 【分析】根据条件整理得到关于x、y的代数式，再根据x、y的系数列出关于a、b的二元一次方程组，然后求解即可． 【解答】解：①×a+②×b左边可得，a（2x﹣3y）+b（3x﹣2y）＝（2a+3b）x+（﹣3a﹣2b）y， ∵①×a+②×b可整体得到x+11y的值， ∴， ③×2得，4a+6b＝2⑤， ④×3得，﹣9a﹣6b＝33⑥， ⑤+⑥得，﹣5a＝35， 解得a＝﹣7， 将a＝﹣7代入③得，2×（﹣7）+3b＝1， 解得b＝5， 所以，方程组的解是， 故a，b的值可以是a＝﹣7，b＝5． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 4．已知方程组的解为，求方程组的解． 【分析】把所求方程组转化为关于a、b的形式，然后根据已知方程组的解列出关于x、y的方程组的解，再求解即可． 【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为， ∴所求的方程组中， 整理得：， 解得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把所求方程整理成关于a、b、m、n的形式，并列出关于x、y的方程组是解题的关键，整体思想的利用是解题的关键． 6．阅读材料： 已知方程组，求x+y+z的值． 解法一：由原方程组，得． ②﹣①，得x＝3﹣2y．③ 把③代入①，得2（3﹣2y）+z＝8﹣3y， z＝2+y． 所以x+y+z＝（3﹣2y）+y+（2+y）＝5． 解法二：将原方程组整理得， ②﹣①，得x+2y＝3 ③ 把③代入①，得x+y+z＝5． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求x﹣2y+z的值． 【分析】利用解法一，利用含z的代数式分别表示出x，y，然后代入原式计算即可． 【解答】解：， 由①得：x＝5z+1③， 将③代入②得：3（5z+1）﹣7y+6z＝10， 整理得：7y＝21z﹣7， 则y＝3z﹣1， x﹣2y+z ＝5z+1﹣2（3z﹣1）+z ＝5z+1﹣6z+2+z ＝3． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 考法2 巧用“换元思想” 【典例2】数学方法： 在解方程组：时，如果把方程组中的2x+y，x﹣2y分别看作一个整体，设2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为，解此方程组得，代入2x+y＝m，x﹣2y＝n，得，解此方程组得，所以原方程组的解为． 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考这种做法，解决下面的问题： （1）类比探究：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为　　 ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． 【分析】（1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【解答】解：（1）设u＝m+n，v＝m﹣n，则方程组化为：， 由已知得，则有， 解得：； 故答案为：； （2）设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可化为， 解得：， 即有， 解得， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程，熟练掌握换元法是解题的关键． 【针对训练】 1．若关于x，y的二元一次方程组的解为 则关于x，y的二元一次方程组 的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】结合题意，根据二元一次方程组的解的定义求得第二个方程组中x+1＝2，y﹣2＝﹣1，解得x，y的值即可． 【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴关于x，y的二元一次方程组中，x+1＝2，y﹣2＝﹣1， 解得：x＝1，y＝1， 则该方程组的解为：， 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解得意义，结合已知条件得出x+1＝2，y﹣2＝﹣1是解题的关键． 2．若关于x，y二元一次方程组的解是，求关于a，b的二元一次方程组的解． 【分析】对比两个方程组，可得a+b就是第一个方程组中的x，即a+b＝﹣1，同理：a﹣b＝﹣2，可得方程组解出即可． 【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴关于a、b的二元一次方程组满足， 解得． 故关于a、b的二元一次方程组的解是． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体换元的思想解决问题，注意第一个和第二个方程组中的右边要统一． 3．对于有理数x，y，定义新运算：x∞y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数，已知1∞1＝1，3⊗2＝8． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 　　 ． 【分析】（1）根据定义的新运算列得关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可； （2）将关于x，y的方程组变形为，根据方程组的解得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：（1）∵1∞1＝1，3⊗2＝8， ∴， 解得：， 即a＝2，b＝﹣1； （2）将关于x，y的方程组变形为， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 整理得：， 解得：， 即关于x，y的方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键． 4．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y． 原方程组化为， 解得， 把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y， 得， 解得． ∴原方程组的解为． 请你参考小明同学的做法解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）令m＝x+1，n＝y﹣2，原方程组化为，解出m和n的值代入m＝x+1，n＝y﹣2，即可求出x和y的值； （2）令a＝x+y，b＝x﹣y，原方程组化为，解出a和b的值代入a＝x+y，b＝x﹣y，即可求出x和y的值． 【解答】解：（1）令m＝x+1，n＝y﹣2， 原方程组化为， 解得， 把代入m＝x+1，n＝y﹣2， 得， 解得x＝1，y＝1， ∴原方程组的解为； （2）令a＝x+y，b＝x﹣y， 原方程组化为， 解得， 将代入a＝x+y，b＝x﹣y， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，换元法，理解给定的例题并灵活运用换元法是解题的关键． 5．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： （1）求方程组的解． （2）关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为　；　 ． （3）举一反三：方程组的解为　　 ． 【分析】（1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案； （3）利用换元思想设2x＝A，3y＝B，然后解方程组即可得到未知数的值． 【解答】解：（1）（1）设m，n，则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （2）根据题意得， 解得； 故答案为：； （3）设2x＝A，3y＝B，则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便． 考点2 于二元一次方程组的解相关的问题 考法1 同解问题 【典例3】已知关于x，y的方程组和的解相同，求（3a+b）2024的值． 【分析】根据两个方程组的解相同可得 ，解得，再代入，求得a＝﹣2，b＝5，最后代入求解即可． 【解答】解：由题意得，， 由①×2+②×3得，13x＝39， 解得x＝3， 把x＝3代入①得，6﹣3y＝3， 解得y＝1， ∴方程组的解集为， 把代入得，，由得，a＝﹣2， 把a＝﹣2代入③得，﹣6+b＝﹣1， 解得b＝5， ∴（3a+b）2024 ＝（﹣6+5）2024 ＝（﹣1）2024 ＝1 ． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值，正确列出方程组是解题的关键． 【针对训练】 1．如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．0 【分析】把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值． 【解答】解：把代入方程组， 得：， ①+②，得：7（a+b）＝7， 则a+b＝1． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中的每一个方程都成立的未知数的值． 2．若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝6的解相同，则k＝　7　 ． 【分析】将给出的二元一次方程组整理后，联立x+y＝6即可解出k的值． 【解答】解：由方程组相加得：4（x+y）＝3k+3， 将x+y＝6代入，得24＝3k+3， 解得k＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键在于联立等式，进行转化，进而解出答案． 3．已知关于x，y的方程组与方程3x﹣y＝8的解相同，则a2+2a＝　15　 ． 【分析】先解方程组得，再方程组的解代入代入3x﹣y＝8得8，接着解关于a的方程，然后利用代入法计算a2+2a的值． 【解答】解：解方程组得， 把x，y代入3x﹣y＝8得8， 解得a＝3， 所以a2+2a＝32+2×3＝15． 故答案为15． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组． 考法2 错解问题 【典例4】已知关于x，y的二元一次方程组，由于甲看错了方程①中a的值，得到方程组的解为；而乙看错了方程②中b的值，得到方程组的解为．若按正确的a，b值进行解方程组，则原方程组的解为 　　 ． 【分析】先求出a、b，代入原方程组，再用加减消元法解出方程组． 【解答】解：把代入②，得2×（﹣2）﹣b×（﹣1）＝﹣3， 解得b＝1， 把代入①，得a×（﹣1）+3×2＝8， 解得a＝﹣2， 把a＝﹣2，b＝1，代入原方程组，得， ①+②，得y＝2.5， 把y＝2.5代入②，得x＝﹣0.25， ∴原方程组的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． 【针对训练】 1．在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是．小亮把常数★抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据是方程（2）的解，根据是方程（1）的解，分别代入，可得●和★，根据销元，可得方程组的解． 【解答】解：把代入方程7x﹣4y＝★， 得★＝7×（）﹣411， 设●为a， 把代入方程ax﹣2y＝5，得： ﹣9a﹣2（﹣16）＝5， 解得a＝3， ∴原方程组是， ①×2﹣②得 ﹣x＝﹣1 x＝1， 把x＝1代入①得 3×1﹣2y＝5 y＝﹣1， 原方程组的解是． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练解二元一次方程组是解题的关键． 2．在解关于x，y的方程组时，小亮解出的结果为，老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的b抄错了，该方程组的正确结果x比y大5．”则a，b的值分别为（　　） A．4，﹣2 B．4，2 C．﹣4，2 D．﹣4，﹣2 【分析】先由小亮的解求出a的值，并得到关于x，y的一个二元一次方程，再根据老师的话得到关于x，y的另一个二元一次方程，由上面两个方程联立可以得到原二元一次方程组的正确解，把此解代入含有b的二元一次方程可以得到b的值，问题即得解． 【解答】解：由题意可得：﹣2a+10＝2， ∴a＝4， ∴4x+5y①， 又由老师的话可得x＝y+5②， ②代入①可得：4y+20+5y＝2， 解得：y＝﹣2，代入②得x＝3， 把x＝3，y＝﹣2代入bx﹣7y＝8可得：3b+14＝8， 解得：b＝﹣2， ∴a，b的值分别为4、﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程的有关概念及二元一次方程组的解法是解题关键． 3．方程组的解为但由于看错了系数m而求得解为，则a+b+m＝　4　 ． 【分析】将方程组的解代入方程组，解方程组求出a，b，m的值，代入代数式即可得到答案． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， ∴a+b+m＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握看错了系数m而求得解为，这个解符合第一个方程是解题的关键． 4．马虎的小李同学在解方程组的过程中，错把b看成了8，他的其他解答过程没有错，解得此方程组的解为；而粗心的小杨同学把方程组抄成了，他的其他解答过程也没有错，解得此方程组的解为，则题目中的b　28　 ． 【分析】将错就错列出方程组，求出方程组的解即可得到所求． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 则题目中的b为28， 故答案为：28 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 5．甲，乙两同学在解方程组时，甲因看错了b的符号，解得乙因忽略了c，解得试求（a﹣b﹣c）2022的值． 【分析】根据题意把代入ax+by＝13得出3a+2b＝13③，把代入②得出3c﹣2＝4，求出c，把代入①得出5a﹣b＝13④，由③和④组成方程组，再求出方程组的解即可． 【解答】解：， ∵甲因看错了b的符号，解得， ∴把代入ax+by＝13，得3a+2b＝13③， 把代入②，得3c﹣2＝4， 解得：c＝2， ∵乙因忽略了c，解得， ∴把代入①，得5a﹣b＝13④， 由③和④组成方程组， 解得：， ∴（a﹣b﹣c）2022＝（3﹣2﹣2）2022＝（﹣1）2022＝1． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能求出a、b、c的值是解此题的关键． 6．在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了﹣8，得解为，乙看错了方程组中的b，得解为． （1）求正确的a，b，c的值； （2）求原方程组的解； （3）若关于s，t的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 【分析】（1）把代入方程组可求出b、c的值，再根据乙看错了方程组中的b，得解为.得到是方程①ax+5y＝c的解，进而求出a的值； （2）将a、b、c的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可； （3）将a、b、c的值代入，得出关于s、t的二元一次方程组，求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知，是方程组的解， ∴c＝﹣8×4+5×3＝﹣17，4×4﹣3b＝1， ∴b＝5，c＝﹣17， 由于乙看错了方程组中的b，得解为， 可知是方程①ax+5y＝c的解， ∴﹣3a﹣5＝﹣17 ∴a＝4． 答：a＝4，b＝5，c＝﹣17． （2）当 a＝4，b＝5，c＝﹣17时，原方程组可变为， ①+②得，8x＝﹣16， ∴x＝﹣2． 把x＝﹣2代入①得，﹣8+5y＝﹣17， ∴． ∴原方程组的解为． （3）把a＝4，b＝5，c＝﹣17代入关于s，t的二元一次方程组， ∴ ∴． 答：s＝﹣1.9，t＝﹣0.1． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，理解二元一次方程的解是正确解答的关键． 考法3 参数问题 【典例5】解关于x，y的方程组可以用①×2+②，消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m、n的值分别为（　　） A．﹣23，﹣39 B．﹣23，﹣40 C．﹣25，﹣39 D．﹣25，﹣40 【分析】根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值． 【解答】解：根据题意得：， 整理得：， ①×3﹣②得：m＝﹣23， 把m＝﹣23代入①得：﹣46﹣n＝﹣7， 解得：n＝﹣39． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 【针对训练】 1．若方程组的解x和y互为相反数，则a＝　2　 ． 【分析】先求出方程组的解，将其代入ax+（1﹣a）y＝3中，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值． 【解答】解：方程组的解为， 将代入ax+（1﹣a）y＝3得：a﹣（1﹣a）＝3， 解得：a＝2， ∴a的值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键． 2．对于有理数x，y，定义一种新运算：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数．已知1⊕2＝10，（﹣3）⊕2＝2，则a⊕b＝　20　 ． 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算求出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义化简得：， ①﹣②得：4a＝8， 解得：a＝2， 把a＝2代入①得：2+2b＝10， 解得：b＝4， 则原式＝2⊕4＝4+16＝20． 故答案为：20． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 3．已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （2）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解． 【分析】（1）根据题意可得方程组，解方程组得到，再把代入方程x﹣2y+mx+5＝0中求出m的值即可； （2）直接解方程x+2y﹣6＝0，求出其正整数解即可． 【解答】解：（1）由题意得，， 解得， ∴﹣6﹣2×6﹣6m+5＝0， 解得； （2）∵x+2y﹣6＝0， ∴x＝6﹣2y， ∵x、y都是正整数， ∴x必须为正偶数， ∴或． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 第10章 二元一次方程组的解法及与解相关的问题 考点一 二元一次方程组的解法 考法1 巧用“整体思想” 【典例1】[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　 　 ，x+y＝　 　 ． （2）某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：x※y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知1※4＝16，1※5＝21，求1※1的值． 【针对训练】 1．已知方程组的解满足5x﹣y＝4，则k的值是 　 　 ． 2．利用整体代入法解方程组解得x＝　 　 ． 3．已知：x、y满足我们可以不解这个方程组，用①×a+②×b整体求出x+11y的值，则a：b的值是　 ． 4．已知方程组的解为，求方程组的解． 6．阅读材料： 已知方程组，求x+y+z的值． 解法一：由原方程组，得． ②﹣①，得x＝3﹣2y．③ 把③代入①，得2（3﹣2y）+z＝8﹣3y， z＝2+y． 所以x+y+z＝（3﹣2y）+y+（2+y）＝5． 解法二：将原方程组整理得， ②﹣①，得x+2y＝3 ③ 把③代入①，得x+y+z＝5． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求x﹣2y+z的值． 考法2 巧用“换元思想” 【典例2】数学方法： 在解方程组：时，如果把方程组中的2x+y，x﹣2y分别看作一个整体，设2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为，解此方程组得，代入2x+y＝m，x﹣2y＝n，得，解此方程组得，所以原方程组的解为． 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考这种做法，解决下面的问题： （1）类比探究：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为 　 ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． 【针对训练】 1．若关于x，y的二元一次方程组的解为 则关于x，y的二元一次方程组 的解为（　　） A． B． C． D． 2．若关于x，y二元一次方程组的解是，求关于a，b的二元一次方程组的解． 3．对于有理数x，y，定义新运算：x∞y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数，已知1∞1＝1，3⊗2＝8． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 　 ． 4．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y． 原方程组化为， 解得， 把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y， 得， 解得． ∴原方程组的解为． 请你参考小明同学的做法解方程组： （1）； （2）． 5．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： （1）求方程组的解． （2）关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为　 　 ． （3）举一反三：方程组的解为 ． 考点2 于二元一次方程组的解相关的问题 考法1 同解问题 【典例3】已知关于x，y的方程组和的解相同，求（3a+b）2024的值． 【针对训练】 1．如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．0 2．若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝6的解相同，则k＝　 　 ． 3．已知关于x，y的方程组与方程3x﹣y＝8的解相同，则a2+2a＝　 　 ． 考法2 错解问题 【典例4】已知关于x，y的二元一次方程组，由于甲看错了方程①中a的值，得到方程组的解为；而乙看错了方程②中b的值，得到方程组的解为．若按正确的a，b值进行解方程组，则原方程组的解为 　 ． 【针对训练】 1．在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是．小亮把常数★抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（　　） A． B． C． D． 2．在解关于x，y的方程组时，小亮解出的结果为，老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的b抄错了，该方程组的正确结果x比y大5．”则a，b的值分别为（　　） A．4，﹣2 B．4，2 C．﹣4，2 D．﹣4，﹣2 3．方程组的解为但由于看错了系数m而求得解为，则a+b+m＝　 　 ． 4．马虎的小李同学在解方程组的过程中，错把b看成了8，他的其他解答过程没有错，解得此方程组的解为；而粗心的小杨同学把方程组抄成了，他的其他解答过程也没有错，解得此方程组的解为，则题目中的b　 　 ． 5．甲，乙两同学在解方程组时，甲因看错了b的符号，解得乙因忽略了c，解得试求（a﹣b﹣c）2022的值． 6．在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了﹣8，得解为，乙看错了方程组中的b，得解为． （1）求正确的a，b，c的值； （2）求原方程组的解； （3）若关于s，t的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 考法3 参数问题 【典例5】解关于x，y的方程组可以用①×2+②，消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m、n的值分别为（　　） A．﹣23，﹣39 B．﹣23，﹣40 C．﹣25，﹣39 D．﹣25，﹣40 【针对训练】 1．若方程组的解x和y互为相反数，则a＝　 　 ． 2．对于有理数x，y，定义一种新运算：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数．已知1⊕2＝10，（﹣3）⊕2＝2，则a⊕b＝　 　 ． 3．已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （2）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $