精品解析：福建莆田市2026届高三高中毕业班第二次质量调研测试数学试题

莆田市2026届高中毕业班第二次质量调研测试试卷 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 4. 记内角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的相关系数为5.2 B 当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分 C. 该样本数据中，至少有一个点在回归直线上 D. 若某学生每日阅读时间为2小时，则他的语文成绩一定为分 7. 已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 已知函数的定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有且只有一个零点 B. 点为曲线对称中心 C. 曲线在点处的切线方程为 D. ， 11. 已知正三棱台的所有顶点都在球的球面上，且，点满足，则（ ） A. 当为棱的中点时， B. C. 若直线平面，则 D. 若，则球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_____. 13. 有4个大小、形状相同球，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取球一次（至少取一个），则取出的球的标号之和不超过5的概率为_____. 14. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线交于，两点.若，则的外接圆的半径为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的图象过点. （1）求的单调递增区间； （2）当，且时，证明：. 16. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且. （1）求； （2）若过点的直线交于，两点，且，求的值. 18. 如图，五面体中，，，，，，，. （1）证明：； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若，当该五面体体积取到最大值时，求的值. 19. 某分布式存储系统中，数据块容量上限为，数据块的初始数量为.系统运行遵循以下规则： ①在每一时间步，系统以概率执行清理操作（数据块的数量减），以概率执行写入操作（数据块的数量加）； ②当数据块的数量为（成功复位）或为（内存溢出）时，系统运行立即终止. 记当数据块的数量为时，系统最终以“成功复位”状态终止的概率为. （1）直接写出、的数值，并写出、、的关系式； （2）当时，比较系统最终以“成功复位”与“内存溢出”状态终止的概率大小关系； （3）已知：若随机变量的取值不会影响随机变量的概率分布列，则称与相互独立，且满足.记为系统运行步后的数据块的数量（假设系统在此期间未终止）.当时，若与无关，求正实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田市2026届高中毕业班第二次质量调研测试试卷 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程求得椭圆参数，结合椭圆的定义即可求焦点三角形的周长. 【详解】由题意得，，，所以， 因在椭圆上，则有，且有， 则的周长为. 4. 记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理求出的值，再结合角的取值范围确定角的大小. 【详解】 因为，所以. 故选：B. 5. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，利用不等式的性质可判断，对于C，使用作差法即可判断，对于D，结合余弦函数的单调性和奇偶性即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，，此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以，，， 所以，即，故C正确； 对于D，函数在上单调递减，所以， 又因为函数为偶函数，所以，故D错误. 6. 为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的相关系数为5.2 B. 当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分 C. 该样本数据中，至少有一个点在回归直线上 D. 若某学生每日阅读时间为2小时，则他的语文成绩一定为分 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关系数范围可以判断A；由回归系数定义可以判断B对；根据回归方程性质可以判断C，D. 【详解】对于A，相关系数取值范围是，故错误； 对于B，回归系数的含义是：当自变量每增加1个单位时，因变量平均增加的量。 这里表示每日自主阅读时间（小时），表示语文成绩（分），所以当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分，故正确； 对于C，回归直线是对样本的拟合直线，不一定经过样本点，故错误； 对于D，当时，，为预测值，不是确定值，故错误. 7. 已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的项的性质判断A；根据时，判断B；根据基本不等式计算求解判断C，根据常数列判断D； 【详解】对于A选项，数列是公比为的等比数列，且，则，所以或，故错误； 对于B选项，若，当时，有，则，故错误； 对于C选项，数列是公比为等比数列，则，， 又因，所以，所以，故正确； 对于D选项，当等比数列为公比为的非零常数列时，始终满足， 但不一定成立，故错误； 8. 已知函数的定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB，可通过确定的代入判断，对于C，可通过构造函数，由其单调性和最值，确定方程有解判断，对于D，取，通过和分析方程无解，可判断. 【详解】对于A， ，定义域为， 取，，即，A可能， 对于B， ，定义域为， 取，，即，B可能， 对于C，，定义域为， 由， ， ， ， 构造函数，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 最小值，且当时，， 即存在，使得，即， 也即存在，使得，C可能， 对于D，，定义域为， 由得， 取，方程为：， 当时，不成立， 当时，两边取对数得， 即，因为，显然此方程无解， 综上可知：当时，不存在满足条件，即D不可能. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由与的关系求得通项公式，可判断ABC，通过的赋值结合的符号，可判断D. 【详解】由，可得， 所以， 又，符合上式， 所以， 故为等差数列，且单调递增，AB正确， ，C错误， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当，可知， 此时， 由上可知的最小值为，D正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有且只有一个零点 B. 点为曲线的对称中心 C. 曲线在点处的切线方程为 D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：令，解出即可得；对B：举出反例即可得；对C：借助导数的几何意义计算即可得；对D：利用导数研究函数单调性，求出时的最大值与时的最小值即可得. 【详解】对A：令，解得， 故有且只有一个零点，故A正确； 对B：由， 故点不为曲线的对称中心，故B错误； 对C：因，则， 故曲线在点处的切线方程为，故C正确； 对D：因函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在、上单调递减， 则当时，，当时，， 故不存在，使得，故D错误. 11. 已知正三棱台的所有顶点都在球的球面上，且，点满足，则（ ） A. 当为棱的中点时， B. C. 若直线平面，则 D. 若，则球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助空间向量线性运算法则计算即可得；对B：设该三棱台高为，建立适当空间直角坐标系后可表示出、，再利用向量坐标运算即可得；对C：求出平面的法向量及向量后计算即可得解；对D：可计算出，从而得到、坐标，再设出球心坐标，利用外接球性质计算可得球心及该球半径，再利用球的表面积公式计算即可得. 【详解】对A：当为棱的中点时，， 则，故A正确； 对B：以为原点，为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设该三棱台高为，则、、， 设该三棱台上下底面中心为、，作底面于点， 则，，， 则，，故， 则，， 则，故B错误； 对C：、， 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，即， 、、， 则， 则， 由直线平面，则， 即， 故，故C正确； 对D：若，则， 则，， 由正三棱台性质，可设球心坐标， 则，即有， 解得，则， 故球的表面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算可得答案. 【详解】向量，，所以， 若，则， 解得. 13. 有4个大小、形状相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取球一次（至少取一个），则取出的球的标号之和不超过5的概率为_____. 【答案】 【解析】 【详解】设集合，数字代表对应标号的小球，根据题意每次至少取一个球， 总的取球情况数即为集合的非空子集的个数，即个， 满足取出的球的标号之和不超过5的样本点有，共有8种， 所以取出的球的标号之和不超过5的概率为. 14. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线交于，两点.若，则的外接圆的半径为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设直线方程，通过证明从而得到为直角三角形，即可得到答案. 【详解】由题意可知，，， 易知直线的斜率不为，设直线方程为，，， 则，， 联立，整理得， ， 所以，， 所以 ， 所以， 即为直角三角形， 又因为，所以的外接圆的半径为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的图象过点. （1）求的单调递增区间； （2）当，且时，证明：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入点坐标，结合的范围，求出，再由正弦函数的单调性即可求得； （2）由条件化简得，再由和差公式求得，两式相比即可证明. 【小问1详解】 将点代入函数解析式，得，即， 则有，解得，， 因为，令，则，所以， 由，，解得，， 故的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）知， 则， ， 依题意，有，即， 因为，即， 代入得， 所以，即， 则有，得证. 16. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求，根据其正负性得出函数的单调性即可； （2）令，根据得出，接着利用导数得出的单调性，解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，则， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 等价于， 令，则上恒成立， 则，得， 因为， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，， 综上，实数的取值范围为. 17. 已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且. （1）求； （2）若过点的直线交于，两点，且，求的值. 【答案】（1）2 （2）或. 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义可得进而得到为等边三角形，从而求得，结合图形特征及角的正切即可求解； （2）设直线：,联立直线与抛物线可得，则由韦达定理得，，计算弦长代入中即可求得，再列方程结合弦长公式求值. 【小问1详解】 由抛物线定义得，又因为，所以为等边三角形， 所以， 设准线为与x轴交于点，且的纵坐标为，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 设： ，，， 联立得，， 由韦达定理得，， 所以 ， 所以，所以，则， 由韦达定理得，， 所以，所以， 所以， 或， 所以 或， 所以的值为或. 18. 如图，五面体中，，，，，，，. （1）证明：； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若，当该五面体的体积取到最大值时，求的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，利用全等三角形性质，线面垂直的判定及性质推理得证. （2）利用余弦定理求出，再利用线面垂直的性质及判断确定直线与平面所成角，进而求出其正弦值. （3）利用几何法由的余弦表示出点到平面的距离，再利用割补法及三棱锥的体积将五面体的体积表示为的函数，然后利用换元法及导数求出取最大值的条件即可. 【小问1详解】 取中点，连接，由， 得≌，则，，而， 平面，因此平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 当时，在中，， 则，，由（1）知，平面， 于是平面，而平面，则，而， 因此，又，平面， 则平面，是直线与平面所成的角， 在等边中，，， 所以直线与平面所成角正弦值为. 【小问3详解】 过作于，由（1）知平面，则，又， 平面，于是平面，由平面，得， 过作于，连接，而平面， 因此平面，而平面，则， ， ， 连接，由，得，又，则， ，因此该五面体的体积， 而， 设，， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值，此时取得最大值，五面体的体积取得最大值， 所以当该五面体的体积取到最大值时，. 19. 某分布式存储系统中，数据块容量上限为，数据块的初始数量为.系统运行遵循以下规则： ①在每一时间步，系统以概率执行清理操作（数据块的数量减），以概率执行写入操作（数据块的数量加）； ②当数据块的数量为（成功复位）或为（内存溢出）时，系统运行立即终止. 记当数据块的数量为时，系统最终以“成功复位”状态终止的概率为. （1）直接写出、的数值，并写出、、的关系式； （2）当时，比较系统最终以“成功复位”与“内存溢出”状态终止的概率大小关系； （3）已知：若随机变量的取值不会影响随机变量的概率分布列，则称与相互独立，且满足.记为系统运行步后的数据块的数量（假设系统在此期间未终止）.当时，若与无关，求正实数的值. 【答案】（1），，. （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出、的数值，再利用全概率公式可得出、、的关系式； （2）结合（1）推导出可知数列为等差数列，求出该数列的公差，可得出的表达式，求出系统最终以“成功复位”、“内存溢出”状态终止的概率，作差比较出这两种状态终止概率的大小，即可得出结论； （3）设为第步数据块的数量的变化值，、、、相互独立，求出的分布列，由题意可知，根据题中期望的性质得出，根据题意得出恒成立，只需，再结合的分布列可得出关于的等式，解之即可. 【小问1详解】 由题意可知，， 由全概率公式可得. 【小问2详解】 当时，， 即，故数列为等差数列，设其公差为， 设其通项公式可得， 由可得，所以， 又因为系统数据块的初始数量为， 所以系统最终以“成功复位”状态终止的概率为， 从而系统最终以“内存溢出”状态终止的概率为， 令，解得， 所以当时，“成功复位”的概率大于“内存溢出”的概率， 同理可得，当时，“成功复位”的概率等于“内存溢出”的概率， 当时，“成功复位”的概率小于“内存溢出”的概率. 【小问3详解】 设为第步数据块的数量的变化值，、、、相互独立， 且分布列均为，， 由题意可知， 所以， 因为每步操作相互独立，所以第步的变化值与之前的累积状态相互独立， 从而随机变量与相互独立，则， 因为与无关，所以恒成立，所以， 事实上，故只需， 由的分布列可知， 因式分解得， 又因为，所以， 所以当时，若与无关，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $