21.3.1 矩形 同步训练 2025—2026学年人教版数学八年级下册

21.3.1 矩形 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.矩形不一定具有的性质是(    ) A. 对角线相等 B. 四个角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 2.如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，则的长度为(    ) A. B. C. D. 4.如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的有(    ) 当时，它是菱形；当时，它是菱形； 当时，它是矩形：当时，它是正方形． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.如图，在矩形中，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 7.在矩形中，，，点为线段上一点，且，点是线段上的动点，交所在直线于点，连接则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 8.如图，矩形的两条对角线相交于点，若，，则的长为______． 9.如图，直角内的任意一点到这个角的两边的距离之和为，则图中四边形的周长为          ． 10.如图，在矩形中，对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接若，，则          ． 11.如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数为          ． 12.如图，矩形的对角线，相交于点若，则           ． 13.如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得到，连接，若平分，，则的长为          ． 14.如图，矩形的对角线，相交于点，点，分别是，的中点若，则的长为          ． 三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知：如图，在中，对角线，相交于点，求证：是矩形． 16.本小题分 如图，在四边形中，，，，，． 求证：四边形是矩形． 17.本小题分 如图，已知矩形中，是上的一点，是上的一点，，且，求证：≌． 18.本小题分 如图，在矩形中，点是上一点，，于． 求证：； 如果，，求的长． 19.本小题分 已知：如图，在中，，，分别是和的中点．求证：四边形是矩形． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分， 选项A、、D正确， 故选：． 根据矩形的性质即可判断； 本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质：     平行四边形的性质矩形都具有；     角：矩形的四个角都是直角；     边：邻边垂直；     对角线：矩形的对角线相等；     矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定注意：矩形的判定定理有：有一个角是直角的平行四边形是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．根据矩形的判定定理逐一判断即可． 【解答】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形为矩形． 故选C． 3.【答案】  【解析】解：四边形是矩形， ，， 又， ， ， 故选：． 本题考查矩形的对角线相等的性质．因为矩形的对角线相等且互相平分，已知，则，又，故可求． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了矩形的性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出和的度数． 根据矩形的性质，可得，，根据折叠可得，最后根据进行计算即可． 【解答】 解：，，， ，， 由折叠可得， ， 故选A． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的判定定理，根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断正确；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出错误． 【解答】 解：根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故正确； 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故正确； 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知正确； 根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故错误； 故正确的有个． 故选A． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了矩形的性质和勾股定理，能求出和是解此题的关键，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分．根据矩形的性质得出，，根据勾股定理求出即可． 【解答】 解：四边形是矩形，， ，， 在中，由勾股定理得：， 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了矩形的性质和勾股定理． 当和最短时，有最小值，此时点与重合，则四边形是矩形，得出，由矩形的性质得出，，由勾股定理求出即可． 【解答】 解：当和最短时，有最小值，此时点与重合，如图所示： ，四边形是矩形， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 由勾股定理得：， 即的最小值为． 8.【答案】  【解析】解：在矩形中，， ， ， ， 又， ． 故答案为． 利用直角三角形度角的性质，可得． 本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键 9.【答案】  【解析】由题图中有三个直角，可得到此四边形是矩形，那么易得其周长为． 10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  【解析】点，分别是，的中点，， ， 四边形是矩形，，， 故答案为． 15.【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 即， ▱是矩形．  【解析】此题考查了矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行四边形的性质．注意证得是关键． 由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，，又由，易证得，继而证得结论． 16.【答案】证明：四边形中，，， ， 又中，，，， 满足， 是直角三角形，且， 四边形是矩形．  【解析】此题主要考查了矩形的判定以及勾股定理的逆定理，正确掌握矩形的判定方法是解题关键． 利用平行线的性质得出，再利用勾股定理的逆定理得出，进而得出答案． 17.【答案】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ≌． 即≌．  【解析】此题考查了三角形全等的判定与矩形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握三角形全等的方法：，，，，直角三角形，注意数形结合思想的应用由四边形是矩形，，又由，根据直角三角形中两个锐角互余，即可得，然后利用即可证得：≌． 18.【答案】证明：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， 在和中，， ≌， ， ； 解：由得：≌， ，， ， ， ， ．  【解析】证出，，由证明≌，得出对应边相等即可． 由全等三角形的性质得出，，由勾股定理求出，得出，即可得出答案． 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 19.【答案】证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 、分别是和的中点， ，，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形．  【解析】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定及平行四边形的判定与性质的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质，矩形四边形的判定方法先判定四边形是平行四边形，然后根据等腰三角形的性质证得一个内角为直角，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $