精品解析：2026年江苏省 南通市海门区实验初级中学中考模拟预测数学试题

江苏省南通市海门区实验初级中学2026年中考模拟试卷（一） 数学试题 ★ 注 意 事 项 ★ ★考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本试卷按0分处理． 5．在本试卷答题者，不计入成绩． 6．请考生如实填写自己的信息，不填、错填、漏填为无效试卷，按0分处理． 一．选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算各选项结果，判断符号，找出结果为负数的选项即可 【详解】A．，结果为正数，故本选项不符合题意； B．，结果为正数，故本选项不符合题意； C．， ，结果为负数，故本选项符合题意； D．，结果为正数，故本选项不符合题意； 2. 下列方程中，为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、分母上有未知数，不是整式方程，故本选项错误． B、时，是关于的一元一次方程，故本选项错误； C、整理为，是关于的一元二次方程，故本选项正确； D、是二元二次方程，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 3. 一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 【详解】∵8.1555×1010表示的原数为81555000000， ∴原数中“0”的个数为6， 故选B． 【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时， n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数. 4. 设，，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得． 【详解】解：∵， =， =， =1， ， =， =， =1， ∴M=N， 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质． 5. 如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞， 故选B． 考点：简单几何体的三视图． 6. 已知a、b满足，则代数式的值为（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，将等式变形为，解方程即可． 【详解】设， 由，得， 化简得， 解得， 即． 7. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺指针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，则点的横坐标为（ ） A. 5 B. 12 C. 10080 D. 10100 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、、、…，即可得每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标． 【详解】解：由图象可知点在第一象限， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，…，， ∴即． 所以点横坐标为10100． 9. 在平面直角坐标系中，抛物线y2与直线y1均过原点，直线经过抛物线的顶点(2，4)，则下列说法： ①当0＜x＜2时，y2＞y1；②y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2；③使得y2大于4的x值不存在；④若y2＝2，则x＝2﹣或x＝1．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象得出函数解析式为y=a（x-2）2+4，再把c=0代入即可得出解析式，根据二次函数的性质得出答案． 【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x-2）2+4， ∵抛物线与直线均过原点， ∴a（0-2）2+4=0， ∴a=-1， ∴y=-（x-2）2+4， ∴由图象得当0＜x＜2时，y2＞y1，故①正确； y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2，故②正确； ∵抛物线的顶点（2，4）， 使得y2大于4的x值不存在，故③正确； 把y=2代入y=-（x-2）2+4，得 若y2=2，则x=2-或x=2+，故④不正确． 其中正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】首先过作，当与重合时，最短，首先利用等腰三角形的性质可得，进而可得的长，利用勾股定理计算出长，然后可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：过作， ， ， ， 是线段上的动点（不含端点、． ， 或4， 线段长为正整数， 的可以有三条，长为4，3，4， 点的个数共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理计算出的最小值，然后求出的取值范围． 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据零次幂、绝对值、乘方、算术平方根、负整数次幂化简，然后再计算即可解答． 【详解】解： ． 故答案为3. 【点睛】本题主要考查了实数的运算，掌握负整数指数幂的性质和零指数幂的性质是解答本题的关键． 12. 一种商品先降价， 在此基础上，又返还售价的现金，这种商品此时相当于降价了_____ 【答案】 【解析】 【分析】将商品原价看作a，先求出第一次降价后的售价，再求出返还现金后的实际售价，最后计算出相当于降价的百分比即可． 【详解】设商品原价为a， 第一次降价后售价为， 返还售价的现金后，实际售价为， 降价百分比为：． 13. 已知，则 的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了分式的求值，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由得到，然后等号两边同时平方得到，然后由得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：1． 14. 已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长是________； 【答案】7 【解析】 【分析】将已知等式变形成零加零的形式求得的值，再根据题意及三边关系求得，即可求解 【详解】 、、都是正整数 的周长 故答案为:7 【点睛】本题考查了非负数之和为0，三角形三边关系，求解不等式组的正整数解，完全平方公式，熟悉以上知识点是解题的关键． 15. 如图，在半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，为上一动点，于点，即点在以为直径的圆上，当从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】记、交于点，连接，在中，根据勾股定理计算，根据三角函数确定，进而得，在中，根据勾股定理计算，从而得点所在圆半径为，，结合图形判断点所经过的路径长为，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：记、交于点，连接，如图所示， 弦且过半径的中点， 为半径的中点， ， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， 点在以为直径的圆上，记该圆为， 的半径，， 点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径为， 当点与点重合时，点与点重合，如图所示， 当点与点重合时，点与点重合，如图所示， ， 故答案为：． 16. 郑郑用电脑编辑了一个运算程序：，，若，则的输出结果是________． 【答案】4034 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算，先根据题意得出规律，再代入规律计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 故答案为：4034． 17. 如图，AD=8，CD=12，点E为矩形纸片的边AB上一点，小华将△ADE沿着DE折叠至△A′DE，线段DE、射线DA′分别与线段AC交于M、N，在折叠过程中，小华发现△DMN的形状随着AE长度的变化而变化，当△DMN为直角三角形时，AE的长为___________________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：①N为直角顶点时，利用△ANF∽△ABC∽△EA′F，得出==,再根据勾股定理求解即可；②M为直角顶点时，利用△AME∽△ABC，==，再根据勾股定理求解即可. 【详解】解：①N为直角顶点时 延长DA′交AB于点F 在矩形ABCD中 AD=BC=8，CD=AB=12，∠B=90° 由翻折可知，∠EA′D=90°，A′D=AD=8，A′E=AE 又∠AND=90° ∴A′E∥AN ∴△FA′E∽△FNA ∴= 又∠B=90°，∠AND=90° ∴△CAB∽△FAN ∴== ∴== ∴A′F=A′E=AE 在Rt△A′FE中 由勾股定理，得EF==A′E=AE 在Rt△AFD中 由勾股定理，得AD2+AF2= DF2 82+（AE+AE）2=（8+AE）2 解得AE=-12+4 ②M为直角顶点时 在矩形ABCD中 AD=BC=8，CD=AB=12，∠B=90° 由翻折可知，∠EA′D=90°，A′D=AD=8，A′E=AE 又∠AME=90° ∴△AME∽△ABC ∴=== 令AM=3x，EM=2x 则AE==x ∵AD×DC=AC×DM 又AC===4 ∴DM= 在Rt△AMD中 由勾股定理，得AM2+DM2= DA2 ∴（3x）2+（）2=82 ∴x= ∴AE=x= 综上可知，AE的长为-12+4或. 故答案为：-12+4或. 【点睛】本题考查矩形的翻折问题，利用相似三角形和勾股定理是解决问题的关键. 18. 在菱形ABCD中，∠D=60°，CD=4，E为菱形内部一点，且AE=2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将和的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当时最大． 【详解】如图所示：连接交于点，连接，取的中点，连接和， 在菱形中， 为中点， 为中点， ， 当、、、共线时，也为1， 为中点、为中点， ， 在菱形中且， ，， ，， ， ， ， ， ， 的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题难点在于辅助线的添加，要根据菱形的性质和题目条件中的中点构造中位线，然后借助三角形的三边关系可判断出当、、三点共线时最大． 三．解答题（共7小题，共96分） 19. 计算： （1）计算：． （2）解不等式组并把解集在如图所示的数轴上表示出来． （3）已知关于x的一元二次方程有一根是，求m的值． （4）先化简然后从，0，1，2中选一个合适的数的值代入求值． 【答案】（1） （2）， 解集在数轴上表示如下： （3） （4）；当时，原式 【解析】 【分析】（1）将代入，再依次计算乘方，绝对值，化简二次根式，最后进行加减运算； （2）先求出每个不等式的解集，再取其公共部分，即可得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可； （3）将代入解方程即可计算m的值； （4）先通分进行分式加减法，再进行分式乘除法进行化简，然后从，0，1，2中选一个使得原分式有意义（分母不为0）的值代入化简后的式子即可解答本题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集是，， 【小问3详解】 解：将代入， 得，， 解得，； 【小问4详解】 解： ， ，， ，， 当时， 原式． 20. 如图，放在平面直角坐标系中的圆O的半径为3，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子，它有四个顶点，各顶点数分别是1，2，3，4，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）． （1）若第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2，此时点P （填“是”或“否”）落在圆O内部； （2）请你用树状图或列表的方法表示出P点坐标的所有可能结果； （3）求点P落在圆O面上（含内部与边界）的概率． 【答案】（1）是 （2） P点坐标的所有可能结果如下： 横坐标 纵坐标 1 2 3 4 1 2 3 4 （3）【解析】 【分析】（1）由抛掷结果得到点坐标为．利用勾股定理计算点到原点的距离，比较距离与圆半径的大小，得出点在圆内的结论． （2）明确横坐标、纵坐标的可能取值均为1，2，3，4，采用列表法，将横、纵坐标的所有组合一一列出，得到全部16种等可能结果． （3）确定点在圆面上的判定条件：．逐一验证列表中的16个点，统计满足条件的点，根据概率公式，计算得概率． 【小问1详解】 解：第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2， ∴点P坐标为， ∴到原点距离为， ∵圆O的半径为3， ∵ ∴点P在圆O内部， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由表格可知共有16种等可能的结果， 设点， 点P落在圆面上的条件是：点到圆心的距离半径 即：， ， 逐一验证16个点： ：， ：， ：， ：， ：， ：， ：， ：， ：， ：， ：， ：， ：， ：， ：， ：； 其中点P落在⊙O面上（含内部与边界）的有：，，，，共4个 ∴ ∴点P落在⊙O面上（含内部与边界）的概率为． 21. 发现　任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证 （1）的结果是5的几倍？ （2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数． 延伸　任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由． 【答案】验证：（1）的结果是5的3倍； （2）设五个连续整数的中间一个为n， 则， ∵n为整数， ∴这个和是5的倍数； 延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2，理由如下： 设三个连续整数的中间的整数为n， 则 ∵， 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键． 验证：（1）直接计算这个算式的值即可；（2）先用代数式表示出这五个连续整数的平方和，再化简，根据代数式的形式作出结论； 延伸：设三个连续整数的中间的整数为n，先用代数式表示出这三个连续整数的平方和，再化简，根据代数式的形式作出结论． 【详解】解：验证：（1）∵， ∴结果是5的3倍； （2）略 延伸：略 22. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 【答案】（1）每千克应涨价5元 （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用． （1）设每千克应涨价x元，则每千克盈利元，每天可售出千克，根据利润每千克盈利日销售量，列方程解出即可，根据要让顾客得到实惠，所以涨价要选择最小的，即每千克应涨价为5元； （2）设涨价z元时总利润为y，根据（1）的等量关系列函数解析式，配方求最值即可． 【小问1详解】 解：设每千克应涨价x元， 则， 解得或， 因为要顾客得到实惠， 所以， 答：要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元； 【小问2详解】 解：设涨价z元时总利润为y， 则， 即 ， ∵， ∴y有最大值， 当时，y取得最大值，最大值为6125． 答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多． 23. 某校社会实践小组为了测量花丛中路灯的高度，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为1．7m的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，路灯的顶端点A正好在同一直线上，测得，将标杆向后平移5m到达点G处，这时地面上的点H，标杆的顶端点F，路灯的顶端点A正好在同一直线上，这时测得，请你根据以上数据，计算花丛中路灯的高度． 【答案】花丛中路灯的高度米． 【解析】 【分析】易知，，可得，，因为，推出，列出方程求出，由 ，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意可得：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，经检验符合题意， ∵ ， ∴， ∴， 经检验符合题意； 答：花丛中路灯的高度米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 24. 【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图像在第___________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图像可以看成是的图像向上平移___________个单位长度得到． （3）研究函数图像 平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为_____________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况?请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为9的矩形的周长的取值范围为___________ 【答案】（1）一； （2）①画函数的图像如图： ②画出的图象如上图，； （3）①，8； ②0个交点时，；1个交点时，；2个交点时，； （4）． 【解析】 【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解； （2）直接画出图象，根据图象回答即可； （3）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合函数的图象，即可求解； （4）方法同前面的思路联立两个函数的解析式得一元二次方程，满足方程有根，求出m取值即可． 【详解】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数， 故点在第一象限， 故答案为：一； （2）略 的图像可以看成是由的图像向上平移个单位长度得到． 故答案为：； （3）①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，如图， 从图象可以看出，公共点的坐标为 把点代入得： ， 解得：， 故答案为：； ②由①并结合图象知：0个交点时，；2个交点时，； （4）当矩形的面积为9，相邻的两边长为x、y，周长为m时，则有 ， ∴，即 两个函数有交点时， 解得，或（不符合题意，舍去） ∴， 故答案为：． 【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数图象平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，是解题的关键所在． 25. 综合与实践 问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD，连接AC，AC⊥BC，过点C作CE⊥AB于点E，且CE＝CD． （1）求证：AD＝AE． 操作探究： 如图2，将△ACD沿直线AB方向向右平移一定距离，点A，C，D的对应点分别为点，，，且点与点E重合． （2）①连接，试判断四边形的形状，并说明理由； ②求出△ACD平移的距离． （3）若将△ACD继续沿直线AB方向向右平移，当点恰好落在BC边上时，请在图1中画出平移后的图形，并求出继续平移的距离。 拓展创新： 如图3，在（2）的条件下，将绕点E按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线分别与边AB，BC交于点N，M． （4）当时，请直接写出BN的长． 【答案】 （1）证明：∵AD⊥CD，CE⊥AB， ∴∠ADC＝∠AEC＝90°． 又∵CD＝CE，AC＝AC， ∴Rt△ACD≌Rt△ACE． ∴AD＝AE． （2）①四边形是菱形， 理由： 由平移的性质，得，． ∴四边形是平行四边形． 由（1），得AD＝AE． ∴四边形是菱形． ②； （3）所作图形如解图所示． 继续平移的距离为． （4）． 【解析】 【分析】（1）利用“HL”证明Rt△ACD≌Rt△ACE，即可得到结论； （2）①根据平移的性质和菱形的判定即可求解； ②先证明△ACE∽△ABC，由相似三角形的性质得到，再由勾股定理求出AC得长度，即可求解； （3）根据平移作图进行作图即可；由平移的性质证明，进行计算即可； （4）先证明，再通过三角形的面积求出CE的长，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵∠AEC＝∠ACB＝90°，∠CAE＝∠BAC， ∴△ACE∽△ABC． ∴， 在Rt△ABC中，． ∴，解得． ∴△ACD平移的距离为． （3）由平移的性质，得∠4＝∠3，，． ∴，． 由（1），得∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4， ∴∠5＝∠B． ∴， ∴． 由（2），得， ∴． ∴． ∴继续平移的距离为． （4）． ∵， ∴，． 易得∠ACD＝∠B． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 由旋转的性质，得，． 设，则． 在中，根据勾股定理，．解得． ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质、旋转的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质、相似三角形、菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 26. 如图所示，点A为半圆O直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作α；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题： （1）探究：若R＝2，m＝1，如图1，当旋转30°时，圆心O′到射线AB的距离是　 ；如图2，当α＝　 　°时，半圆O与射线AB相切； （2）如图3，在（1）的条件下，为了使得半圆O转动30°即能与射线AB相切，在保持线段AM长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由． （3）发现：如图4，在0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小明探究了cosα与R、m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；cosα＝　 　（用含有R、m的代数式表示） （4）拓展：如图5，若R＝m，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围　 　，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用m表示） 【答案】（1） +1；60°；（2）4+2；（3） ；（4） m2． 【解析】 【详解】试题分析：（1）如图1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．则四边形AMFE是矩形，EF=AM=1．如图2中，设切点为F，连接O′F，作O′E⊥OA于E，则四边形O′EAF是矩形，在Rt△O′EM中，由sinα=，推出α=60°． （2）设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形．列出方程即可解决问题． （3）设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形．列出方程即可解决问题、 （4）当半圆与射线AB相切时，之后开始出现两个交点，此时α=90°；当N′落在AB上时，为半圆与AB有两个交点的最后时刻，此时∵MN′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是：90°＜α≤120°．当N′落在AB上时，阴影部分面积最大，求出此时的面积即可． 试题解析：（1）如图1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．则四边形AMFE是矩形，EF=AM=1．想办法求出O′E的长即可． 在Rt△MFO′中，∵∠MOF=30°，MO′=2， ∴O′F=O′M•cos30°=，O′E=+1， ∴点O′到AB的距离为+1． 如图2中，设切点为F，连接O′F，作O′E⊥OA于E，则四边形O′EAF是矩形， ∴AE=O′F=2， ∵AM=1， ∴EM=1， 在Rt△O′EM中，sinα= ， ∴α=60° 故答案为 +1，60°． （2）设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形． ∵O′P=R， ∴R= R+1， ∴R=4+2． （3）设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形． 在Rt△O′QM中，O′Q=R•cosα，QP=m， ∵O′P=R， ∴R•cosα+m=R， ∴cosα=． 故答案为． （4）如图5中， 当半圆与射线AB相切时，之后开始出现两个交点，此时α=90°；当N′落在AB上时，为半圆与AB有两个交点的最后时刻，此时∵MN′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是：90°＜α≤120° 故答案为90°＜α≤120°； 当N′落在AB上时，阴影部分面积最大， 所以S═ ﹣• m• m= m2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市海门区实验初级中学2026年中考模拟试卷（一） 数学试题 ★ 注 意 事 项 ★ ★考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本试卷按0分处理． 5．在本试卷答题者，不计入成绩． 6．请考生如实填写自己的信息，不填、错填、漏填为无效试卷，按0分处理． 一．选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 10 4. 设，，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（　　） A. B. C. D. 6. 已知a、b满足，则代数式的值为（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 2 7. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 8. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺指针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，则点的横坐标为（ ） A. 5 B. 12 C. 10080 D. 10100 9. 在平面直角坐标系中，抛物线y2与直线y1均过原点，直线经过抛物线的顶点(2，4)，则下列说法： ①当0＜x＜2时，y2＞y1；②y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2；③使得y2大于4的x值不存在；④若y2＝2，则x＝2﹣或x＝1．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 计算：______． 12. 一种商品先降价， 在此基础上，又返还售价的现金，这种商品此时相当于降价了_____ 13. 已知，则 的值为______． 14. 已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长是________； 15. 如图，在半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，为上一动点，于点，即点在以为直径的圆上，当从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为__________． 16. 郑郑用电脑编辑了一个运算程序：，，若，则的输出结果是________． 17. 如图，AD=8，CD=12，点E为矩形纸片的边AB上一点，小华将△ADE沿着DE折叠至△A′DE，线段DE、射线DA′分别与线段AC交于M、N，在折叠过程中，小华发现△DMN的形状随着AE长度的变化而变化，当△DMN为直角三角形时，AE的长为___________________． 18. 在菱形ABCD中，∠D=60°，CD=4，E为菱形内部一点，且AE=2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为_____． 三．解答题（共7小题，共96分） 19. 计算： （1）计算：． （2）解不等式组并把解集在如图所示的数轴上表示出来． （3）已知关于x的一元二次方程有一根是，求m的值． （4）先化简然后从，0，1，2中选一个合适的数的值代入求值． 20. 如图，放在平面直角坐标系中的圆O的半径为3，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子，它有四个顶点，各顶点数分别是1，2，3，4，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）． （1）若第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2，此时点P （填“是”或“否”）落在圆O内部； （2）请你用树状图或列表的方法表示出P点坐标的所有可能结果； （3）求点P落在圆O面上（含内部与边界）的概率． 21. 发现　任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证 （1）的结果是5的几倍？ （2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数． 延伸　任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由． 22. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 23. 某校社会实践小组为了测量花丛中路灯的高度，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为1．7m的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，路灯的顶端点A正好在同一直线上，测得，将标杆向后平移5m到达点G处，这时地面上的点H，标杆的顶端点F，路灯的顶端点A正好在同一直线上，这时测得，请你根据以上数据，计算花丛中路灯的高度． 24. 【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图像在第___________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图像可以看成是的图像向上平移___________个单位长度得到． （3）研究函数图像 平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为_____________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况?请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为9的矩形的周长的取值范围为___________ 25. 综合与实践 问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD，连接AC，AC⊥BC，过点C作CE⊥AB于点E，且CE＝CD． （1）求证：AD＝AE． 操作探究： 如图2，将△ACD沿直线AB方向向右平移一定距离，点A，C，D的对应点分别为点，，，且点与点E重合． （2）①连接，试判断四边形的形状，并说明理由； ②求出△ACD平移的距离． （3）若将△ACD继续沿直线AB方向向右平移，当点恰好落在BC边上时，请在图1中画出平移后的图形，并求出继续平移的距离。 拓展创新： 如图3，在（2）的条件下，将绕点E按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线分别与边AB，BC交于点N，M． （4）当时，请直接写出BN的长． 26. 如图所示，点A为半圆O直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作α；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题： （1）探究：若R＝2，m＝1，如图1，当旋转30°时，圆心O′到射线AB的距离是　 ；如图2，当α＝　 　°时，半圆O与射线AB相切； （2）如图3，在（1）的条件下，为了使得半圆O转动30°即能与射线AB相切，在保持线段AM长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由． （3）发现：如图4，在0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小明探究了cosα与R、m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；cosα＝　 　（用含有R、m的代数式表示） （4）拓展：如图5，若R＝m，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围　 　，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用m表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $