精品解析：天津第二中学2025-2026学年高三下学期阶段性知识回顾数学试卷

2025~2026（二）天津二中高三年级阶段性知识回顾 数学学科试卷 一、选择题 1. 如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是空间中的两条直线，且直线 平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布较离散 B. 在做回归分析时，用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越差 C. 若样本数据的平均数为3，则的平均数为9 D. 一组数据的第80百分位数为18 5. 已知函数，若，则 A. B. C. D. 6. 在数列中，已知，，则它的前30项的和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，直线倾斜角是且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是 A. B. C. D. 8. 已知正方体的体积为，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，且恒成立，给出下列结论： ①在区间上单调递减； ②在区间上有两个极值点； ③直线与的图象相切； ④在上的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 10. 已知复数满足（为虚数单位），则复数______． 11. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 12. 已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，过点的直线交圆于，两点，则弦长的最小值为______． 13. 袋中有2个不同的红球和3个不同的白球，每次取1个球，若取出红球，则不放回袋中；若取出白球，则放回袋中.连续取3次球,袋中还有2个红球的概率为______；若袋中还有1个红球，则第2次取出红球的概率为______． 14. 在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示______；向量在上的投影向量的模的最小值为______. 15. 已知函数，若方程有且只有2个不相等的实数解，则实数k的取值范围是______． 三、解答题 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且为钝角． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）求． 17. 如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形， 平面ABCD， ，，，点P为棱DF的中点. （1）求证： 平面APC； （2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值； （3）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上， 轴，且点到直线的距离为. （1）求的方程； （2）过点的直线交于不同的两点. （i）求的取值范围； （ii）若于点 ，证明：直线 过定点. 19. 在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”．现对数列分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列．进行 次“和生长”后得到的数列为，进行 次“积生长”后得到的数列为．记． （1）当 时，求的值； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的前 项和． 20. 已知函数 （1）当 时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）当 在有解，求实数k的取值范围. （3）当函数有两个极值点且 时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026（二）天津二中高三年级阶段性知识回顾 数学学科试卷 一、选择题 1. 如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】图中阴影部分表示，再根据交集和补集的定义计算即可得出答案. 【详解】全集， 可得，又图中阴影部分表示， 故选：C． 2. 已知，是空间中的两条直线，且直线 平面 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理、线面平行的性质和线面垂直的定义，分别验证充分性和必要性. 【详解】 已知平面 ，若直线在平面 内，此时满足，但不满足，因此充分性不成立； 若，根据线面平行的性质， 内一定存在直线使得；又因为，可得，所以，因此必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再结合特殊值，即可判断. 【详解】由，可得，即函数的定义域为且，关于原点对称， 由，可知函数为奇函数，故排除B、D； 又因为，故排除A. 故选：C. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布较离散 B. 在做回归分析时，用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越差 C. 若样本数据的平均数为3，则的平均数为9 D. 一组数据的第80百分位数为18 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布中当较小时，对应的正态曲线“瘦高”， 表示随机变量X的分布比较集中，即可判断A；根据在回归分析时，用决定系数刻画模型的拟合效果，若越大，说明模型的拟合效果越好，即可判断B；利用样本数据的平均数，求出所求数据的平均数，即可判断C；求出所给数据的第80百分位数，即可判断D. 【详解】若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”， 表示随机变量X的分布比较集中，故A错误； 在做回归分析时，用决定系数刻画模型的拟合效果， 若越大，表示残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故B错误； 因为， 所以 ，故C错误； 将这组数据按照从小到大排列为， 因为，所以第80百分位数为第8，9两个数据的平均数，即，故D正确. 故选：D 5. 已知函数，若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定大小，再根据单调性确定结果. 【详解】因为,所以由图知 因为为R上单调递增函数，所以，选C. 【点睛】本题考查指数函数与对数函数图象与性质，考查基本分析判断能力，属中档题. 6. 在数列中，已知，，则它的前30项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，运用数列的恒等式可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和． 【详解】解：由， 可得， 所以当时，， 又， 所以， 所以． 故选：D． 7. 已知抛物线，直线倾斜角是 且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线的焦点为,由弦长计算公式有 ,所以抛物线的标线方程为 ,准线方程为 ,故双曲线的一个焦点坐标为 ,即 ,所以 ,渐近线方程为,直线 方程为,所以点,点P到双曲线的一条渐近线的距离为 ,选D. 点睛: 本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质, 属于中档题. 先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出的值,根据双曲线中的关系求出 ,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点P到双曲线的一条渐近线的距离. 8. 已知正方体的体积为，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意有四棱锥与四棱锥重叠部分为一个三棱柱加上一个四棱锥，作出图形，结合棱柱和棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】如图： 四棱锥与四棱锥重叠部分为五面体， 又该正方体的体积为，即，解得， 所以，， 所以， 点到平面 的高， 又该五面体由一个三棱柱和一个四棱锥组成，如图， 所以该五面体的体积为 ， 故选：C. 9. 已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，且恒成立，给出下列结论： ①在区间上单调递减； ②在区间上有两个极值点； ③直线与的图象相切； ④在上的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先由余弦函数对称性性质得，进而求出参数 ，即求得函数解析式，接着由和 在上不单调即可判断①；由结合极值点定义即可求解判断②；利用导数工具结合三角函数性质求切点，根据解的情况即可判断③；由在上，两函数图象有6个交点，两两关于点对称可判断④. 【详解】由函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，得，得， 由恒成立，得当时，函数取得最值， 则，则，又， 所以，所以函数， 若，则， 因为 在上不单调，所以在区间上不单调，①错误； 令， 故若，则在区间上有两个极值点为，②正确； ，设直线与的图象相切于点， 则或， 所以或， 当时，即切点为， 将切点代入直线得，则， 所以直线与的图象相切，切点为； 当时，即切点为， 将切点代入直线得，则整数 无解，不成立； 综上直线与的图象相切于点，③正确. 函数的图象关于点对称， 对于函数，由，得， 则函数的图象关于点对称， 由，得， 在上，两函数图象有6个交点，两两关于点对称，设这6个交点的横坐标分别为，则，④正确． 二、填空题 10. 已知复数满足（为虚数单位），则复数______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，即. 11. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 12. 已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，过点的直线交圆于，两点，则弦长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用圆的直径端点坐标求出圆心和半径，再根据弦心距与弦长的反比关系，计算出点到圆心的最大弦心距，则可用弦长公式求出弦的最小值. 【详解】已知直径的两个端点为和，根据中点坐标公式，圆心为直径中点：  ，，即圆心； 直径长度为，因此半径； 所以圆设点，则定点在圆内， 弦长公式为（为圆心到直线的距离）； 因为直线过点，所以，当且仅当 时，取最大值，此时弦长最小； ，代入弦长公式： . 13. 袋中有2个不同的红球和3个不同的白球，每次取1个球，若取出红球，则不放回袋中；若取出白球，则放回袋中.连续取3次球,袋中还有2个红球的概率为______；若袋中还有1个红球，则第2次取出红球的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先设事件，再应用独立事件概率乘积公式得出，再应用概率乘法公式及互斥事件概率和公式得出，最后应用条件概率公式计算求解. 【详解】记“第次取出白球为事件”，“第次取出红球为事件”， “连续取球3次，袋中还有2个红球为事件”， “连续取球3次，袋中还有1个红球为事件”， 事件的发生，意味着三次取球中三次取到白球， ； 事件的发生，意味着三次取球中有且仅有一次取到红球，该次可能是第一次、第二次或第三次，这三种情况互斥， 则， 因为， ， ， 所以， 所以. 14. 在中，，，， 为与的交点，记，，则用，表示______；向量在上的投影向量的模的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得到，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【详解】设 如图，因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 向量在上的投影向量的模的最小值为 故答案为：，. 15. 已知函数，若方程有且只有2个不相等的实数解，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过分类讨论得到的解析式，通过零点在或可求得 的范围，得时，在上有一个零点；当时，在上无零点；则讨论时，有一个零点和两个零点时 的取值范围，综合时的结论，可得结果. 【详解】当时， 当时， 当时， 设，则 有且只有2个不相等的实数解等价于有且仅有个零点 若一个零点位于，即 若一个零点位于，即 可知在，内不可能同时存在零点 即当时，在上有一个零点；当时，在上无零点 ①当在上有且仅有一个零点时 ⑴当时，或 此时在上无零点 不满足有两个零点 ⑵当，即或 时 只需，即 时，在上有且仅有一个零点 时，在上有一个零点 时，有且仅有个零点 ②当在上有两个零点时 只需 时，在上无零点 时，有且仅有个零点 综上所述： 【点睛】本题考查根据函数零点的个数求解参数取值范围的问题，关键是能够通过对二次函数图象的讨论，构造出在区间内有一个零点和两个零点的不等式，解不等式求得参数范围，本题对学生对于函数图象的理解有较高的要求. 三、解答题 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且为钝角． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案. （2）由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积． （3）由正余弦的二倍角公式及两角差的正弦公式可得答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以． 因为角C为钝角，所以角A为锐角，所以. 【小问2详解】 由（1），由余弦定理 ，，， 得，所以， 解得 或 ， 而，得，这与为钝角矛盾，不合题意舍去， ∴ ， 故的面积为. 【小问3详解】 因为，， 所以 . 17. 如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形， 平面ABCD， ，，，点P为棱DF的中点. （1）求证： 平面APC； （2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值； （3）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接BD，交AC于点O，由中位线定理和线面平行判定定理即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，写出坐标，求得平面 的法向量，根据线面角公式即可求得直线与平面 所成角的正弦值； （3）由（2）可知平面 的法向量，再求得平面的法向量，利用空间向量法即可求出结果. 【小问1详解】 证明：连接BD，交AC于点O，又P，O分别为DF和DB的中点， 所以， 因为平面APC， 平面APC，所以平面APC； 【小问2详解】 解：直线 平面ABCD， 平面ABCD，所以 ， 由（1）得 ， ， 所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，， 所以，， 设平面BCF的法向量， ，，解得， 又. 设直线DE与平面BCF所成角的正弦值， 所以， 所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值； 【小问3详解】 解：由（2），，， 设平面APC的法向量为， 则，即，令，则，， 所以平面APC的法向量， 所以， 所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上， 轴，且点到直线的距离为. （1）求的方程； （2）过点的直线交于不同的两点. （i）求的取值范围； （ii）若于点 ，证明：直线 过定点. 【答案】（1） （2）（i） ； （ii）因为 ，所以 ， 若，即，则直线 的方程为 ， 即， 因为，所以 ， 因为 ， 所以， 即，恒过点， 若，即 ，则 ，则 ，也过点， 故直线 过定点. 【解析】 【分析】（1）先求出 ，再利用椭圆的定义以及等面积求出 即可； （2）（i）设 ，与椭圆方程联立，根据韦达定理化简 即可求出； （ii）求出直线 的方程，利用 即可化简求出定点. 【小问1详解】 由题意知， ， 令 ，则 ，得，则， 由椭圆的定义可知，， 因为点到直线的距离为， 所以， 则，即， 又 ，得， 故的方程为； 【小问2详解】 （i）由题意可知，直线的斜率存在， 设 ，， 联立，得 ， 则， ，得， 则 ， 因为，所以 ，则， 则 ， 故 的取值范围为 ； （ii）略 19. 在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”．现对数列分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列．进行 次“和生长”后得到的数列为，进行 次“积生长”后得到的数列为．记． （1）当 时，求 的值； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的前 项和． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用积生长构造出等比数列，得到 的表达式进行求解； （2）结合题意构造数列证明即可； （3）通过构造数列得到数列的通项公式，再求出的通项公式，整理得到，利用错位相减法和公式法对数列求和即可. 【小问1详解】 设第 次“积生长”后共插入项，即， 共有个间隔，且，则第 次“积生长”后再插入项， 则，可得，且， 故数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，故， 所以当 时，； 【小问2详解】 设第 次“和生长”后得到的数列各项之和为， 则第 次“和生长”后，新插入的各项之和为， 故， . 而，是以为首项，为公比的等比数列； 【小问3详解】 设第 次“积生长”后得到的数列各项之积为， 则. 第 次“积生长”后，新插入的各项之积为 ， 故， 因此， ， 即是以为首项，为公比的等比数列， ， 由（2）可得， ， 记， 则， ， ， 则数列的前 项和． 20. 已知函数 （1）当 时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）当 在有解，求实数k的取值范围. （3）当函数有两个极值点且 时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得在上的最小值，进而利用恒成立可得，可求实数a的取值范围. （2）分离变量得，构造函数，求导可求得的值域，可得实数k的取值范围. （3）利用函数有两个极值点，可得，不等式等价于，令，求导，分类讨论可求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 当 时，，令，解得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上的最小值为. 又，所以由对任意不等式恒成立， 即. 所以的取值范围为. 【小问2详解】 令，因为，则，故， 令，则， 故当单调递减；当单调递增， 又，且， 故的值域为，则要满足题意，只需. 即 的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 因为有两个极值点，故可得， 所以，且. 因为，故， 则，即， 因为，故上式等价于，即， 又当时，，当时，， 令，则， 当 时，，故在单调递增，又， 故当时，，当时，，故不满足题意； 当时，令， 若方程对应时，即 时，单调递减， 又，故当时，，当时，，满足题意； 若，即时，又的对称轴，且开口向下， 又，不妨取， 故当单调递增，又， 故此时，不满足题意，舍去， 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $