精品解析：2025年湖北省十堰市东风高级中学学科特长招生考试数学试卷

十堰市东风高级中学2025年自主招生考试 数学试题 注意事项： 1．本卷共有4页，19小题，满分150分，考试时限120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码． 3．选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答．要求字体工整，笔迹清晰．请按照题目序号在答题卡对应的各题目的答题区域内作答，超出答题卡区域的答案和在试卷、草稿纸上答题无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，试卷、答题卡和草稿纸均不得带出考场． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 满足不等式的整数m的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知实数x，y满足且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 投掷蓝色、红色两枚六面编号分别为1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将蓝色和红色骰子朝上面的编号分别作为一次函数的一次项系数和常数项的值，则点在一次函数图象的下方的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的方程只有一个实数根，则所有满足条件的实数a的和为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，矩形中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F，连接，则的面积为（ ） A 5 B. 6 C. 10 D. 11 7. 已知二次函数，该函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数m的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 如图，已知外接圆和内切圆的半径分别为3和1，则两圆圆心的连线的长为（ ） A. B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 如图，在和中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于任意实数a，b，都有，特别地，当a，b都为正数时，有，当且仅当时等号成立．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）（多选） A. xy的最大值为 B. 的最大值为 C. D. 的最小值为 11. 我们把（为实数）叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，表示不超过的最大整数，如，，，以下说法正确的是（ ） A. 对于任意的实数，都有 B. 对于任意的实数，，若，则 C. 满足不等式的所有实数的范围为或 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 小乙、小巴、小如、小意四位同学一起预测某次数学竞赛成绩．小乙对小巴说：“别担心，你的成绩不是最差的．”小巴对小如说：“你的成绩最好．”赛后发现，四人的成绩均不相同并取得了前4名，且成绩好的人对成绩差的人所说的话正确，成绩差的人对成绩好的人所说的话错误，则这四人中成绩最好的是________． 13. 将正偶数按如图所示的规律排列，则数字2024的位置为第________行，从左向右的第________个数． 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 …… 14. 已知抛物线，点，过点的直线交抛物线于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的面积的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂． 【素材2】测量得：，，，，机械臂端点C到工作台的距离． 【素材3】参考数据：，，，． 【任务1】求A、C两点之间的距离．（结果精确到） 【任务2】求长． 16. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为整数）的函数解析式； （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （Ⅰ）假设花店在这100天内每天购进16枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数和方差； （Ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？以100天记录各需求量的频率作为各需求量发生的概率，请从日利润的平均数的角度说明理由． 17. 如图，是切线，切点为A，是的弦．过点B作，交于点C，连接，过点C作，交于点D．连接并延长交于点M，交过点C的直线于点P，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为2，求扇形（其圆心角）的面积； （3）若，，求的长． 18. 如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）设的周长为，的周长为，若，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接、，求的最小值． 19. 设，为整数，为正整数，若和被除的余数相同，则称和对模同余，记为，也叫做模的同余式． （1）求证：； （2）解同余方程组； （3）若是素数，为不能被整除的正整数，则，这个定理称之为费马小定理．试证明：对于任意整数都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十堰市东风高级中学2025年自主招生考试 数学试题 注意事项： 1．本卷共有4页，19小题，满分150分，考试时限120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码． 3．选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答．要求字体工整，笔迹清晰．请按照题目序号在答题卡对应的各题目的答题区域内作答，超出答题卡区域的答案和在试卷、草稿纸上答题无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，试卷、答题卡和草稿纸均不得带出考场． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A 2. 满足不等式的整数m的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 3. 已知实数x，y满足且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，进而可得，解得或，然后再对进行变形即可解答． 【详解】解：∵，得， 即． ∴或． 即或． ∴，所以，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、立方根、解一元二次方程等知识点，解题的关键是灵活应用相关定义和运算法则以及整体法来求解． 4. 投掷蓝色、红色两枚六面编号分别为1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将蓝色和红色骰子朝上面的编号分别作为一次函数的一次项系数和常数项的值，则点在一次函数图象的下方的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率以及一次函数的性质．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果和点在一次函数的图象的下方的结果数，再用概率公式可得答案． 【详解】解：列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共可以得到36个不同形式的一次函数， ∵点在函数图象下方， ∴ ，即 ． ∵k和b均为1～6的整数，满足，即满足点在一次函数的图象的下方的有30种（如下表）： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 点在一次函数图象下方的概率为， 故选：C． 5. 已知关于x的方程只有一个实数根，则所有满足条件的实数a的和为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解与一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先将分式方程通分为，考虑分母不为零的条件，方程只有一个实数根的情况包括判别式为零且根不为增根，或二次方程有一个根为增根从而只剩一个有效根，计算出a值，再求和即可． 【详解】解：， 通分得：， 分母相同且不为零， 分子相等得：， 整理得：， 方程只有一个实数根需满足： (1)判别式为零：，， 将代入得， ，解得，且， 是原方程的解，此时； (2)根为0时：将代入得，，， 将代入得， ，解得或，为增根， 是原方程的解，此时； (3)根为-1时：将代入得，，， 将代入得， ，解得或，为增根， 是原方程的解，此时； 综上所述，满足条件的a有、1、5， 的和为， 故选：D． 6. 如图，矩形中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F，连接，则的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，相似三角形的性质和判定定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 如图，设交轴于，交于，设，则，设．利用相似三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：设交轴于，交于，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设， 则，设， 点A在双曲线上， ， ， 四边形是矩形， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 已知二次函数，该函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数m的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 先求出二次函数开口向上，对称轴为直线，判断出当顶点在范围内时最大值与最小值的差不可能为3，当顶点不在范围内时，分两种情况根据最大值与最小值的差3列方程求解即可． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为直线， 当顶点在范围内时，， ∵， ∴与对称轴的距离，即， ∴， 最大值与最小值的差， 即当顶点在范围内时最大值与最小值的差不可能为3， 当顶点不在范围内时， 当即时，此时最大值在处取得，最小值在处取得， 当时，， 当时，， ∵最大值与最小值的差为3， ∴， 即， 解得； 当时，此时最大值在处取得，最小值在处取得， 当时，， 当时，， ∵最大值与最小值的差为3， ∴， 即， 解得； 综上所述，或． 故选：A． 8. 如图，已知的外接圆和内切圆的半径分别为3和1，则两圆圆心的连线的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆与内切圆的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆的直径所对圆周角的性质，解题的关键是通过构造相似三角形建立外接圆半径、内切圆半径与圆心距之间的等量关系． 连接相关线段构造相似三角形，推导出；利用直径所对圆周角为直角，结合内心性质证明，得到；通过角的等量代换证明，得出；联立等式得到，代入，计算出圆心距． 【详解】解：如图，设的延长线与相交于E，作直线与分别交于点G、H，连接、．作直径，连接、、．设与的切点为D，连接． 设的半径为R的半径为． ∵， ∴， ∴，即①， ∵D为切点， ∴ ∵为直径， ∴ ∵， ∴， ∴，即，②， ∵I为的内心， ∴， 在中，∵ ， ∴， ∴③， 由②③得，④， 由①④得，． 由题意知，，代入得， 解得（负值舍去）， 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 如图，在和中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是证明． 先证得；由全等得，结合推得，故；由，得；通过分析与的关系排除D． 【详解】解：， ，即． 又，， ， ，此选项A符合题意； 由，得． ，， ， ，则， ， ，即，此选项B符合题意； 由上述推导，，此选项C符合题意； 是线段，，但（三角形两边之和大于第三边），此选项D不符合题意． 故选：． 10. 对于任意实数a，b，都有，特别地，当a，b都为正数时，有，当且仅当时等号成立．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）（多选） A. xy的最大值为 B. 的最大值为 C. D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，完全平方公式的应用， 根据可得，再两边平方可解答A；再根据，可得，即可说明B；然后根据和，可得，进而说明C；最后根据，解答D． 详解】解：∵， ∴， 则， 两边平方，得， 所以的最大值是； ∵，且， ∴， ∴的最小值为； ∵， ∴，即， 解得； ∵，， ∴， 即， 所以的最小值为． 所以正确的有A，C，D；B不正确． 故选：A，C，D． 11. 我们把（为实数）叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，表示不超过的最大整数，如，，，以下说法正确的是（ ） A. 对于任意的实数，都有 B. 对于任意的实数，，若，则 C. 满足不等式的所有实数的范围为或 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义、无理数估算、解一元一次不等式、数字规律等知识点，掌握新定义以及运用反例法是解题的关键． 运用反例法可以判断A选项；根据新定义以及不等式的性质可判断B选项；设（k为整数），不等式化为，即．再结合分类讨论即可判断C选项；根据新定义以及数字规律进行计算可判断D选项． 【详解】解：A．当时，，，则，故A选项错误，不符合题意； B． 若，则，，两式相减得，因此，故B选项正确，符合题意； C．设（k为整数），不等式化为，即． 结合， 当时，，代入得，故； 当时，，代入得，故； 当时：，代入得，故； 当时：，代入得，故； 当或时，不等式不成立． 综上，x的范围是或，故 C正确，符合题意； D．由题意可得：，，， …… ， ∴ ，即D选项正确，符合题意． 故答案为：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 小乙、小巴、小如、小意四位同学一起预测某次数学竞赛成绩．小乙对小巴说：“别担心，你的成绩不是最差的．”小巴对小如说：“你的成绩最好．”赛后发现，四人的成绩均不相同并取得了前4名，且成绩好的人对成绩差的人所说的话正确，成绩差的人对成绩好的人所说的话错误，则这四人中成绩最好的是________． 【答案】 小乙 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，解题的关键是依据“成绩好的人对成绩差的人说话正确，成绩差的人对成绩好的人说话错误”的规则，精准分析说话者与听者的成绩层级关系． 通过分析对话与规则的匹配性，推导成绩排名． 【详解】解：设成绩排名为（最好）到（最差），“”表示成绩好于 ∵ 小巴对小如说“你成绩最好”，根据规则若小巴小如（成绩差的人对成绩好的人说话），则此话必错误，故小如； 若小巴小如（成绩好的人对成绩差的人说话），则此话必正确，即小如，与小巴小如矛盾，故仅能是小巴小如且此话错误． ∵ 小乙对小巴说“你不是最差”，根据规则若小乙小巴（成绩好的人对成绩差的人说话），则此话必正确，即小巴，符合逻辑； 若小乙小巴（成绩差的人对成绩好的人说话），则此话必错误，即小巴，这与该情况的假设条件“小乙小巴”（即小乙成绩比小巴差）矛盾，因为没有人比第4名的成绩更差，故仅能是小乙小巴且此话正确． 由小巴、小乙小巴、小巴小如，可知小乙、小巴、小如均非名，故名是剩余的同学． 又∵ 小如，且已知小乙的成绩好于小巴，故小巴不可能是第1名，所以第1名只能是小乙． 故答案为：小乙． 13. 将正偶数按如图所示的规律排列，则数字2024的位置为第________行，从左向右的第________个数． 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 …… 【答案】 ①. 32 ②. 51 【解析】 【分析】本题考查了数字的规律排列，解题的关键是确定每行正偶数的个数规律，以及2024对应的正偶数序号． 先确定2024是第1012个正偶数；再分析前n行正偶数总数为，通过平方数确定1012所在的行；最后计算该行内的位置． 【详解】解：2024是第个正偶数． 前行正偶数总数为． ，，且， 前31行共有961个正偶数，第32行有个正偶数． ． 故答案为：32；51． 14. 已知抛物线，点，过点的直线交抛物线于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的面积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴交直线于点，利用待定系数法设出直线的解析式为，设，，根据抛物线的切线的性质分别表示出切线、的解析式，联立可得；联立抛物线与直线的解析式，利用根与系数的关系得到，，进而得出，，再利用三角形的面积公式表示出与的关系式，最后利用配方法即可求出的最小值． 【详解】解：如图，过点作轴交直线于点， 设直线的解析式为， 代入点，得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，， 设切线的解析式为， 联立， 消去整理得：， 则， ∴， ∴切线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴切线的解析式为， 同理可得：切线解析式为； 联立， 解得， ∴； 联立， 消去整理得：， ∴，， ∴，， ， ∴，， 代入到，得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及求一次函数的解析式、直线与抛物线的交点问题、一元二次方程的判别式以及根与系数的关系、三角形的面积公式、配方法求最值等知识点，同时计算量较大，综合性特别强，运用数形结合的思想是解决问题的关键． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂． 【素材2】测量得：，，，，机械臂端点C到工作台的距离． 【素材3】参考数据：，，，． 【任务1】求A、C两点之间的距离．（结果精确到） 【任务2】求长． 【答案】【任务1】A、C两点之间的距离约为；【任务2】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，勾股定理，求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解． （1）连接，过点A作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题； （2）过点A作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：【任务1】如图2，连接，过点A作，交的延长线于． 在中，， ， ∴， ， ∴， 在中，m，m， 根据勾股定理得：， 答：A、两点之间的距离约． 【任务2】如图2，过点A作，垂足为， 则四边形为矩形，，， 所以， 在中，，， 根据勾股定理得， ． 答：的长为． 16. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为整数）的函数解析式； （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （Ⅰ）假设花店在这100天内每天购进16枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数和方差； （Ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，请从日利润的平均数的角度说明理由． 【答案】（1） （2）（Ⅰ）平均数76，方差44；（Ⅱ）应购进17枝，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查算术平均数和方差，概率公式，掌握算术平均数和方差的计算方法以及用频率估计简单随机事件发生的概率是正确解答的关键． （1）根据当天的利润与每天需求量之间的变化关系进行解答即可； （2）（Ⅰ）求出日需量为14、15、16、17、18、19、20时的每一天的利润，再求出100天的日利润的平均数和方差即可；（Ⅱ）先求出当一天购进 17枝玫瑰花时，利润y关于当天需求量n的函数解析式，再求出当一天购进 17枝玫瑰花时的日利润，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，16枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为（元）， 所以利润为； 当时，卖出n枝，每枝利润5元，剩下的枝损失成本每枝5元， 所以利润为； 综上，利润y关于当天需求量n的函数解析式为； 【小问2详解】 解：（Ⅰ）当时，元，共10天总利润为（元）； 当时，元，共20天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共15天总利润为（元）； 当时，元，共13天总利润（元）； 当时，元，共10天总利润为（元）； 这100天的总利润为（元）， ∴日利润的平均数为（元）； 日利润的方差为； （Ⅱ）解：应购进17枝，理由如下： 当时，17枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为（元）， 所以利润为； 当时，卖出n枝，每枝利润5元，剩下的枝损失成本每枝5元， 所以利润为； 综上，当一天购进 17枝玫瑰花时，利润y关于当天需求量n的函数解析式为 当时，元，共10天总利润为（元）； 当时，元，共20天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共15天总利润为（元）； 当时，元，共13天总利润为（元）； 当时，元，共10天总利润为（元）； 这100天的总利润为（元）， ∴当一天购进 17枝玫瑰花时，日利润的平均数为（元）； ∵当一天购进 16枝玫瑰花时，日利润的平均数为76元，且， ∴应购进17枝． 17. 如图，是的切线，切点为A，是的弦．过点B作，交于点C，连接，过点C作，交于点D．连接并延长交于点M，交过点C的直线于点P，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为2，求扇形（其圆心角）的面积； （3）若，，求的长． 【答案】（1）直线PC与相切,理由见解析。 （2）扇形的面积为 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由是切线得，结合推出，证得角的等量关系，再通过和进行角的代换，最终证得，判定是切线； （2）由的度数推出，进而得到，利用等腰三角形性质求出圆心角，代入扇形面积公式计算； （3）由全等得，由垂径定理得的长，证得比例式，设，，则．结合勾股定理和的长度列方程求解与，再代入比例式求的长． 【小问1详解】 解：直线与相切． 理由：连接． 是的切线， ，即． ∴①， ，， ∴，（垂径定理）， 又， ∴， ∴，即， ， （内错角相等）． 又， ． ， ． ． ，则②， ∴由①②得，， 即， ∴，又， ∴，即． 是的半径， 直线与相切． 【小问2详解】 解：，， ． ∴． 在中，． 扇形的面积． 【小问3详解】 解：∵， ． 由，得． ∵，（因）， ∴，又， ， ． 设，，则． 由，，，得，即． 在中，，联立得， 解得，． ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、扇形面积公式以及勾股定理的应用，解题的关键是连接圆心与切点构造直角三角形，利用平行线的性质、角的等量代换推导垂直关系，结合全等或相似三角形建立线段之间的数量关系． 18. 如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）设的周长为，的周长为，若，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接、，求的最小值． 【答案】（1）；直线解析式 （2） （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）令，求出抛物线与轴交点，列出方程即可求出，根据待定系数法可以确定直线解析式． （2）由，推出，列出方程即可解决问题． （3）在轴上取一点使得，构造相似三角形，可以证明就是的最小值，从而求得的最小值． 【小问1详解】 解：令，则， ， 或， 抛物线与轴交于点， ， ． ，， 设直线解析式为，则， 解得， 直线解析式为． 【小问2详解】 解：如图1中， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 抛物线解析式为， ， ， 解得或4， 经检验是分式方程的增根， ． 【小问3详解】 解：如图2中，在轴上 取一点使得，连接，在上取一点使得． ，， ， ， ， ， ， ， ，此时最小（两点间线段最短，、、共线时）， 的最小值． ∴的最小值． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段就是的最小值，从而求得的最小值． 19. 设，为整数，为正整数，若和被除的余数相同，则称和对模同余，记为，也叫做模的同余式． （1）求证：； （2）解同余方程组； （3）若是素数，为不能被整除的正整数，则，这个定理称之为费马小定理．试证明：对于任意整数都有． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先找规律，得出的个位数字为3，从而得出的余数为3，再根据定义即可得出结论； （2）先由①得：（k为整数），再把代入②得出，从而得出（m为整数），将代入得出，即可得出答案； （3）根据费马小定理得出，然后整理得出，说明能被整除，根据费马小定理得：，说明能被7整除，根据，得出能被7整除，从而得出能被7整除；同理可得可得能被3整除，一定能被2整除，根据2，3，7，13都为素数，，得出能被546整除，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵，，，，，…， ∴的个位数字每4个一循环，且循环的顺序为2，4，8，6， ∵， ∴的个位数字为2， ∴的个位数字为3， ∴的余数为3， ∵的余数为3， ∴； 【小问2详解】 解：， 由①得：（k为整数）， 把代入②得：， 两边同时减去1得：， ∵， ∴两边同时除以2得：， ∴（m为整数）， 把代入得： ， 即， ∴； 【小问3详解】 证明：当x不能被13整除时，根据费马小定理得：， 两边同乘以x得：， 两边同减去x得：， 即能被整除， 当x不能被7整除时，根据费马小定理得：， 两边同减去1得：， 即此时能被7整除， 当x能被13整除时，也一定能被13整除； ∵， 又∵x为整数， ∴能被7整除， 即能被7整除， 当x能被7整除时，也一定能被7整除； 当x不能被3整除时，根据费马小定理得：， 两边同减去1得：， ∵， 又∵x为整数， ∴能被3整除， 即能被3整除， 当x能被3整除时，也一定能被3整除； ∵与x同奇或同偶， ∴一定是偶数， ∴一定能被2整除， ∴； ∵2，3，7，13都为素数，， ∴能被546整除， ∴． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，新定义运算，数的整除，解题的关键是理解题意，熟练掌握因式分解的方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $