精品解析：上海市大同中学2025-2026学年高三下学期3月寒假作业检查数学试卷

上海市大同中学2025学年第二学期寒假作业检查 高三数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、填充题（每题4~5分，共12题） 1. 关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得:，解不等式可得其解集. 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 【答案】2 【解析】 【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2. 3. 已知球的体积为，则球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为，利用球的体积公式，列出方程求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设球的半径为，因为球的体积为，可得，解得， 所以球的表面积为. 故答案为：. 4. 已知扇形的圆心角为，面积为3，则扇形弧长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式及弧长公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，由扇形面积公式可得，， 所以扇形弧长为. 故答案为：. 5. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照百分位数的定义易得. 【详解】因，故这组数据的75百分位数为按照从小到大顺序排列后的第8个数，即为7. 故答案为：7. 6. 有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由捆绑法，结合全排列即可求解. 【详解】将2名医生看成一个整体，和4名护士站成一排有， 两名医生内部有种站法， 所以两名医生相邻，不同的排法总数为， 故答案为： 7. 已知数列通项公式，则数列的前9项和为______. 【答案】 【解析】 【分析】由通项公式可得，数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，利用分组求和求解. 【详解】， 数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列． 则，． 则数列的前9项和 ． 故答案为：． 8. 若函数为奇函数，则函数，的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数定义可得解析式，即可求得值域. 【详解】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为. 故答案为：. 9. 已知向量，，若与的夹角不超过，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意确定，再通过求其范围，即可求解. 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取，    因为与的夹角不超过，所以， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以， 故的范围是. 故答案为： 10. 如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据函数图象可知函数是奇函数，因此找到与的交点即可. 【详解】 由图象可知，函数为奇函数，故原不等式， 在同一坐标系中画出函数的函数图象，当时，求解方程得， 结合图象可得在第一象限， 同理，根据图形对称性，可得在第三象限部分，满足条件， 综上所述，解集为或. 故答案为：或. 11. 如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用旋转思想把正方体问题转化到圆锥问题来求解即可. 【详解】 根据，可由题意将所求角转化为将绕旋转所得到的直线与所成的角， 即可将其转移到圆锥中求解，图中直线与重合，圆锥母线为,如下图： 由旋转可转化到， 在正方体中，假设正方体的边长为，则可知 所以，即在圆锥中有，， 由可得， 由等边三角形，可得， 在中，由余弦定理， 从而可得旋转后直线方向向量与直线AB方向向量夹角的余弦值为， 所以直线AB与直线所成角的大小为. 故答案为：. 12. 若函数的定义域内存在区间，且 ，则称函数具有“性质F ”．正确的是____________．① 具有“性质F ”的一次函数存在且有无数个；② 具有“性质F ”的二次函数存在且有无数个；③存在，使函数具有“性质F”；④对任意，函数都具有“性质F ”． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用“性质F ”的定义结合函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于①选项，若函数为一次函数，设，不妨取， 则函数在上单调递增， 所以，解得，此时， 故任取时，必有函数在区间满足题意，①对； 对于②选项，不妨取，其中，，取，， 则函数在上单调递增， 由可得， 所以当且时，必有函数在区间上满足题意，②对； 对于③选项，若，则函数在上为增函数， 由题意可得，可知关于的方程在上至少有两个不等的实数解， 即，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，则；当时，，则. 且， 要使得方程至少有两个不等的实根，则，解得， 因为，故存在，使函数具有“性质F ”，③对； 对于④选项，若，则函数具有“性质F ”， 且函数在上为增函数，则， 故关于的方程至少有两个实数解， 当时，由可得，即，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，，则；当时，，则. 若方程有两个实数解，则，解得， 当时，即当时，方程在时有且只有一个实数解， 当时，方程在时无实数解， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在，使得， 故当时，方程在时有且只有一个实数解， 方程在时无实数解， 即当时，函数不具有“性质F ”，④错． 故正确的是：①②③． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“不等式在上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式在上恒成立时的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断“”与“不等式在上恒成立”之间的关系. 【详解】不等式在上恒成立， 即在上恒成立. 令，对称轴， 所以函数在区间上单调递增， 所以当时，，所以. 若，则一定成立， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分条件； 若，则推不出 所以“”不是“不等式在上恒成立”的必要条件. 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 14. 已知复数的模长为1，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，再用待定系数方法，结合复数相等得解. 【详解】设，， 因为复数的模长为1，所以， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：B. 15. 已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定点的轨迹后，结合函数定义逐项判断即可得. 【详解】由，可得，， 故在以原点为圆心，半径为的圆的右半圆上. 对A、C：如图：当位于点或时，有与全等， 则，即当时，可为或，可为或， 故、都不是关于的函数，故A、C错误； 对B：当时，如图，可能位于点或点处， 显然，故一个可能得到两个不同的， 故不是关于的函数，故B错误； 对D：由，则确定时，唯一确定， 则当确定时，点也唯一确定， 则每一个都有相对应的一个， 故是关于的函数，故D正确. 故选：D 16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断； 对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断. 【详解】判断命题①： 已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接. 根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件. 当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确. 判断命题②： 当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，. 由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥.已知圆锥 的底面半径为，圆锥的侧面积 ．设是底面圆周上的两点，线段不经过点 O ． （1）求圆锥的体积； （2）二面角 的大小为 ，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）由侧面积公式求得母线长，进而得到圆锥高，结合体积公式即可求解； （2）过点作于，连接，确定为直线与平面所成角，进而可求解． 【小问1详解】 设圆锥的母线长为，底面半径为， 由题意可得：， 所以， 所以圆锥体积； 【小问2详解】 因为二面角的大小为， 由圆锥的结构可知：， 所以即为二面角的平面角， 所以，又， 所以， 过点作于，连接， 因为，为平面两条相交直线， 所以平面 所以即为直线与平面所成角， 又， 又平面，在平面内， 所以， 所以， 所以， 即直线与平面所成角大小为． 18. 已知函数，其中. （1）解关于的不等式； （2）若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由在单调递增，得即可求解； （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，令，则在上恰有一个实数解，利用数形结合即可求解. 小问1详解】 由函数在单调递增， 所以 小问2详解】 原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 19. 某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. （1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； （2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解； （2）先求任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率，服从二项分布，二项分布即可求解. 【小问1详解】 由题意，，的概率等于. 令，则. 因此， . 故净含量误差超过5g的概率约为. 【小问2详解】 可能的取值为0、1、2、3. 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为. 故服从二项分布，记， ， 从而的分布为 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 因此. 20. 已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． （1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； （2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； （3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用离心率公式计算即可； （2）先求出，得到直线的方程，设的方程为，，，直曲联立，运用弦长公式得到，求出即可； （3）先设出的方程，因为有且的条件，所以任取上一点（不与点重合），算出和直线的斜率.接着设出点的坐标，算出.由于，得出直线方程，进而得到与、的关系.结合以及曲线方程进一步求解，最后得到长轴取值范围即可. 【小问1详解】 由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为， 解得 【小问2详解】 由题，，，所以，直线的方程为， 设的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程，代入整理得， ，可得， 由韦达定理可得，， 故 ，解得. 所以的标准方程为. 【小问3详解】 由题，设的方程为， 由题意，且， 任取上一点（不与点重合），则，. 设，则， 直线的方程为，故， 代入得， 因为，解得， 由对称性，不妨设，代回直线方程可解得， 而点位于上，所以 ， 为上任一点，所以为定值，化简得. 设，为上任一点，即有解. 整理得，， 解得，所以 . 故的长轴长. 21. 已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”. （1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； （2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标； （3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）原点不存在“上位点”，理由见解析 （2）点的坐标为，点的坐标为 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先求得函数经过点的切线方程，再根据“上位点”的定义判断即可； （2）设点的横坐标为，为正整数，再根据导数的几何意义结合“上位点”的定义化简可得，进而可得、的坐标； （3）由（2），构造等比数列可得，由题意，再根据导数与单调性的关系分析判断即可. 【小问1详解】 已知，则，得， 故函数经过点的切线方程为， 其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”. 【小问2详解】 设点的横坐标为，为正整数， 则函数图像在点处的切线方程为， 代入其“上位点”，得， 化简得， 即， 故， 因为，得（*）， 又点的坐标为， 所以点的坐标为，点的坐标为. 【小问3详解】 将代入，解得， 由（*）得，. 即，又， 故是以2为首项，为公比的等比数列， 所以，即，. 令，则严格减， 因为，所以函数在区间上严格增. 当时，，于是当时，严格减，符合要求 当时，. 因为时， 所以当时，， 从而当时严格增，不存在正整数， 使得无穷数列，，…，严格减. 综上，. 【点睛】方法点睛： （1）题中出现新定义时，根据新定义内容与数列与导数的基本方法求解分析； （2）根据数列的递推公式，构造等比数列求解通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市大同中学2025学年第二学期寒假作业检查 高三数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、填充题（每题4~5分，共12题） 1. 关于的不等式的解集为____________. 2. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 3. 已知球的体积为，则球的表面积为______. 4. 已知扇形的圆心角为，面积为3，则扇形弧长为_____ 5. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为______． 6. 有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为____________． 7. 已知数列通项公式，则数列前9项和为______. 8. 若函数为奇函数，则函数，的值域为________. 9. 已知向量，，若与的夹角不超过，则的范围是______． 10. 如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为_____． 11. 如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为_________. 12. 若函数的定义域内存在区间，且 ，则称函数具有“性质F ”．正确的是____________．① 具有“性质F ”的一次函数存在且有无数个；② 具有“性质F ”的二次函数存在且有无数个；③存在，使函数具有“性质F”；④对任意，函数都具有“性质F ”． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“不等式在上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知复数的模长为1，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 15. 已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（ ） A. B. C. D. 16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（ ） A. ①真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥.已知圆锥 底面半径为，圆锥的侧面积 ．设是底面圆周上的两点，线段不经过点 O ． （1）求圆锥的体积； （2）二面角 的大小为 ，求直线与平面所成角的大小． 18. 已知函数，其中. （1）解关于的不等式； （2）若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 19. 某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. （1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； （2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 20. 已知椭圆方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． （1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； （2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； （3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 21. 已知函数，其中，.若点在函数图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”. （1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； （2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标； （3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $