专题16 二次函数的实际应用 讲义 2026年中考数学一轮复习（全国通用）

专题15 二次函数的实际应用讲义 二次函数的实际应用是中考数学的核心题型之一，也是函数板块与现实生活联系最紧密的内容。该专题在中考中常以解答题形式出现（部分地区会结合选择/填空题），分值占比约10%-12%，核心考查学生将实际问题转化为数学模型的建模能力、二次函数性质的应用能力及分类讨论思想。 核心考点（实际应用高频场景） ①最大面积问题（矩形、三角形、不规则图形的面积最值，如场地规划、图形设计）； ②最大利润问题（营销类、销售定价与销量的利润最值，含成本、售价、销量的关系）； ③运动轨迹问题（抛体运动、拱桥/隧道/喷水问题，轨迹符合二次函数规律）； ④生活中的其他应用（增长率问题、最优方案设计、跨学科结合问题）。 考情分析 ①基础层应用：侧重单一场景的模型建立（如直接根据题意列二次函数解析式求最值），难度中等； ②进阶层应用：侧重含约束条件的最值求解（如自变量取值范围限制、实际意义下的整数解），难度中等偏上； ③拔高层应用：侧重多场景结合、分类讨论（如分段函数模型、多方案对比），难度较高。 一、核心建模步骤与方法 1.实际问题建模四步法 第一步：审题定位，确定变量关系（明确自变量、因变量，分析两者是否满足二次函数关系）； 第二步：建立坐标系/列关系式（几何类问题优先建立平面直角坐标系，营销类问题直接根据数量关系列解析式）； 第三步：确定解析式（通过待定系数法、根据数量关系推导等方式求二次函数解析式或顶点式）； 第四步：求解验证（根据二次函数性质求最值，结合实际意义验证结果合理性，舍去不合题意的解）。 2.三类核心场景建模要点 应用场景 核心数量关系 解析式形式选择 关键注意事项 最大面积 面积公式（如矩形面积=长×宽） 一般式或顶点式（优先顶点式求最值） 自变量需满足几何图形的边长为正 最大利润 利润=（售价-成本）×销量 一般式（销量常与售价成一次函数关系） 售价、销量需为非负整数（实际场景） 运动轨迹 竖直高度与水平距离成二次函数 顶点式（优先以顶点为原点建系简化计算） 注意坐标原点的设定，结合实际场景确定自变量范围 二、二级结论（解题提速技巧） 1.最值求解捷径： 若二次函数为（），当时，取最值； 若自变量有取值范围，需分三种情况：①对称轴在区间内（最值为顶点纵坐标）；②对称轴在区间左侧（最值在区间端点处）；③对称轴在区间右侧（最值在区间端点处）。 2.几何建模技巧： 涉及对称图形（如拱桥、隧道），优先以对称轴为轴或顶点为原点建系，可使解析式常数项为0，简化计算； 不规则图形面积最值，优先通过割补法转化为规则图形（矩形、三角形）的面积之和/差，再列函数关系式。 3.利润问题关键结论： 若销量与售价成一次函数（，售价越高销量越低），则利润为二次函数，且开口向下，最值在对称轴处。 4.运动轨迹结论： 抛体运动（如掷铅球、喷水）中，抛物线顶点横坐标为水平距离的一半（对称性质），顶点纵坐标为最大高度。 考点1：最大面积问题（几何图形类） 例题1（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得，即，解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得，即， ∴． ， ∵ ∴， 得，即，解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． （2）解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴；得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得，得， ∴，， 同理得，得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 变式题1（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； （4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时，； ∴图3情形时，，； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为； （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． 考点2：最大利润问题（营销类） 例题2（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 变式题1（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 考点3：运动轨迹问题（抛体/拱桥/隧道类） 例题3（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 变式题1（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 变式题2（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 考点4：生活中的其他应用（方案设计/跨学科类） 例题4（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2）   当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 变式题1（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【考点】二次函数的应用 【解析】①令，则， 解得，， 小球从抛出到落地需要， 故①正确； ②， ， 当时，有最大值，最大值为45， 小球运动中的高度可以是， 故②正确； ③时，， 时，， 小球运动时的高度大于运动时的高度， 故③错误． 故选． 2．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　450　平方米． 【答案】450． 【考点】二次函数的应用 【解析】由题意，设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ． ． 又菜园的面积， 当时，可围成的菜园的最大面积是450， 即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 3．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为，则　　． 【答案】． 【考点】二次函数的应用 【解析】如图，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立直角坐标系， 由题意可知，，，其中点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：， 将代入上式， 解得：， 即抛物线的解析式为：， 为抛物线与轴的交点， 即， 解得：，（舍， ． 故答案为：． 4．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：与距离停车棚支柱的水平距离（单位：近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 　能　完全停到车棚内（填“能”或“不能” ． 【答案】能． 【考点】二次函数的应用 【解析】，， ， 在中， 当时，， ， 货车能完全停到车棚内， 故答案为：能． 5．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙于点（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得，，，，，班长买来可切断的围栏，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 　46.4　． 【答案】46.4． 【考点】二次函数的应用 【解析】设矩形在射线上的一段长为 ． （1）当时，， 当时，， （2）当时，， 由于在的范围内，均小于46.4． 所以由（1）（2）得最大面积为． 故答案为：46.4． 6．某酒店有、两种客房，其中种24间，种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若、两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元． （1）求、两种客房每间定价分别是多少元？ （2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用 【解析】（1）设种客房每间定价是元，种客房每间定价是元， ． ． 答：、两种客房每间定价分别是200元、120元． （2）由题意，设种客房每间定价为元， ． ， 当时，取最大值，最大值为4840． 答：当种客房每间定价为220元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为4840元． 7．春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元张）之间满足一次函数关系，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元张） 40 50 售出电影票数量（张 164 124 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用 【解析】（1）设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是，且是整数）； （2）由题意可得， ， 即与之间的函数关系式是； （3）由（2）知：， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 8．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 【考点】二次函数的应用；分式方程的应用 【解析】（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， 则， 解得：， 经检验是方程的解， 此时， 猪肉粽每盒进价50元，豆沙粽每盒进价30元； （2）由题意得，当时，每天可售出180盒， 当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒， ， ，， 当时，取最大值，最大值为1000元， 答：关于的函数解析式为，且最大利润为1000元． 9．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为元． （1）求与的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用 【解析】（1） ． ． ， ． 当时，利润最大，最大利润为：（元． 答：与的函数关系式为：；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元； （2） ． 解得：（不合题意，舍去），． 售出轮椅的辆数为：（辆． 答：这天售出了64辆轮椅． 10．某超市购入一批进价为10元盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒与销售单价（元是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价元 12 14 16 18 20 销售量盒 56 52 48 44 40 （1）求与的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值． 【考点】二次函数的应用 【解析】（1）设． ． 解得：． ； （2）设日销售利润为元． ． 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3） ． 最大利润为392元， ． 整理得：． ． 解得：，． 当时，， 每盒糖果的利润（元． 舍去． 答：． 11． 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售，两类特产．类特产进价50元件，类特产进价60元件．已知购买1件类特产和1件类特产需132元，购买3件类特产和5件类特产需540元． （1）求类特产和类特产每件的售价各是多少元？ （2）类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件类特产降价元，每天的销售量为件，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为元，求与的函数关系式，并求出每件类特产降价多少元时总利润最大，最大利润是多少元？（利润售价进价） 【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用 【解析】（1）由题意，设每件类特产的售价为元，则每件类特产的售价为元． ． ． 每件类特产的售价（元． 答：类特产的售价为60元件，类特产的售价为72元件． （2）由题意，每件类特产降价元， 又每降价1元，每天可多售出10件， ． 答：． （3）由题意， ． ， 当时，有最大值1840． 类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 12．某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量（单位：件）与销售单价（单位：元件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内与之间的函数解析式； （2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【考点】一次函数的应用；二次函数的应用 【解析】（1）由题意，设一次函数的解析式为， 又过，， ． ． 所求函数解析式为． （2）由题意得，， ． 商场获得的利润 ， 又，， 当时，利润最大，最大值为7920． 答：当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是7920元． 13．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【考点】二次函数的应用 【解析】设该果商定价万元时每天的“利润”为万元，每天的“销售收入”为万元， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为312.5万元， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为612.5万元， 答：该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”最大，其最大值为312.5万元， 该果商定价为3.5万元时才能使每天的“销售收入”最大，其最大值为612.5万元． 14．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． （1）小球被发射后 　　时离地面的高度最大（用含的式子表示）． （2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【考点】二次函数的应用 【解析】（1）， 当时，离地面的高度最大． 故答案为：； （2）当 时，． ． 解得：（取正值）． 答：小球被发射时的速度是； （3）小明的说法不正确． 理由如下： 由（2）得：． 当时，． 解方程，得：，． ， 小明的说法不正确． 15． “尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第天且为整数）的售价为（元千克），当时，；当时，．销量（千克）与的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元千克，第15天的售价为15元千克，设第天的销售额为（元． （1）　　，　　； （2）写出第天的销售额与之间的函数关系式； （3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？ 【考点】二次函数的应用 【解析】（1）由题意得，， ． 故答案为：；30． （2）由题意，当时，由（1）得， ． 当时，． ． （3）由题意，当时，． ， 当时，取最大值为400． 此时销售额不超过500元． 当时，令， ． 共有7天销售额超过500元． 16． 2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． （1）若万元，求该商场建造的隔热层厚度； （2）已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用 【解析】（1）由题意得：， 整理得， 当时，则， 解得：，． ， 不符合题意，舍去， 答：该商场建造的隔热层厚度为． （2）由（1）得， ， ． ， 随的增大而增大， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 答：的取值范围为． 17．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）斜坡上点处有一棵树，点是的三等分点，小球恰好越过树的顶端，求这棵树的高度． 【考点】二次函数的应用 【解析】（1）由题意，点 是抛物线 上的一点， ． ． ． 抛物线的解析式为． （2）由题意，抛物线为， 抛物线最高点的坐标为． （3）由题意，过点、分别作轴的垂线，垂足分别是点、， 又，， ． ． 又点是的三等分点， ． ， ，． ． ． ． ． ． ． ． 点的横坐标为1． 将代入， ． 点的坐标为． ． ． 答：这棵树的高度是2． 18．在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据如表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【考点】二次函数的应用 【解析】（1）由题意可得，抛物线的对称轴是直线， 抛物线的顶点为． 可设抛物线为． 又抛物线过， ． ． 抛物线的表达式为． （2）由题意，结合（1）， 令，则． 水火箭距离地面的竖直高度为． 19． 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为， ①直接写出，的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【考点】二次函数的应用 【解析】（1）①经过点， ． 解得：． 经过点， ． 解得：； ②由①得： ． 火箭运行的最高点是． ． ． 整理得：． 解得：（不合题意，舍去），． 由①得：． ． 解得：． ． 答：这两个位置之间的距离为； （2）当时，． 火箭第二级的引发点的坐标为． 设火箭落地点与发射点的水平距离为． 经过点， ． 解得：． 时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 20．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以为原点，以直线为轴，以桥塔所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点到的距离．（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索所在抛物线的函数表达式； （2）点在缆索上，，且，，求的长． 【考点】二次函数的应用 【解析】（1）由题意，， ． 又，缆索的最低点到的距离， 抛物线的顶点为． 故可设抛物线为． 又将代入抛物线可得， ． ． 缆索所在抛物线为． （2）由题意，缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称， 又缆索所在抛物线为， 缆索所在抛物线为． 又令， ． 或． 又， ． 的长为． 21．如图，一小球从斜坡点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离（米与小球飞行的高度（米的变化规律如表： 0 1 2 4 5 6 7 0 6 8 （1）①　3　，　　； ②小球的落点是，求点的坐标． （2）小球飞行高度（米与飞行时间（秒满足关系：． ①小球飞行的最大高度为 　　米； ②求的值． 【考点】二次函数的应用 【解析】（1）①根据小球飞行的水平距离（米与小球飞行的高度（米的变化规律表可知， 抛物线顶点坐标为， ， 解得：， 二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ， 当时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或， 点的坐标是，． （2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8． ②， 则， 解得（负值舍去）． 22．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． （1）如图1，点与地面的距离为2米，水滑道最低点与地面的距离为米，点到点的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为 　　； （2）如图1，腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； （3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点处竖直支撑的钢架，另一条是点与点之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【考点】二次函数的应用 【解析】（1）由题意，水滑道所在抛物线的顶点， 可设抛物线为． 又， ． ． 抛物线为． 故答案为：． （2）①由题意，抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称， 抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称． 是它们的中点． 又，， 抛物线的顶点为． 此人腾空后的最大高度为米． 又此时可设抛物线为， 将代入得， ． ． 抛物线的解析式． ②由①得， 令， ． 或（舍去）． 米． 又米， ． 落点在安全范围内． （3）由题意，如图，即为所求钢架． 所在抛物线， 令， ． 或（舍去）． ． 又， 直线为． ， 可设为． 联立方程组， ． ． △． 直线为，过原点，即与重合． ， 令，则． 米，米． 又， （米． 答：这条钢架的长度为米． 23．请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等． 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元件； ②“正”服装：48元件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人 每人每天加工量（件 平均每件获利（元 风 2 24 雅 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求、之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【考点】一次函数的应用；二次函数的应用 【解析】任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， 安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装， 加工“正”服装的有人， “正”服装总件数和“风”服装相等， ， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ， 整理得：， ， 任务3：由任务2得， 当时，获得最大利润， ， ， 开口向下， 取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 24．在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画． （1）求关于的函数表达式； （2）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ （3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在，两点间选取一点，测得，在，两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为．求支撑杆的长．（精确到，参考数据：， 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）设关于的函数表达式为， 将，，代入， 得， 解得， ； （2）根据函数解析式得函数对称轴， 故太阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大； 答：太阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大； （3）， 延长与过点作的线交于点，令， ，， ， ， ， ， ， 延长交与点， ， ， ， ， ， ． 25．综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出△区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系， 所在直线是的垂直平分线，且， ． 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点是抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线 上， ， 解得：． 抛物线的函数表达式为； （2）点，在抛物线 上， 设点的坐标为， ，交轴于点， ，， ． 在△中，，， ． ， 根据题息，得， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． ， 答：的长为4米，的长为2米； （3）如图矩形灯带为， 由点、、的坐标得，直线和的表达式分别为：，， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 二次函数的实际应用讲义 二次函数的实际应用是中考数学的核心题型之一，也是函数板块与现实生活联系最紧密的内容。该专题在中考中常以解答题形式出现（部分地区会结合选择/填空题），分值占比约10%-12%，核心考查学生将实际问题转化为数学模型的建模能力、二次函数性质的应用能力及分类讨论思想。 核心考点（实际应用高频场景） ①最大面积问题（矩形、三角形、不规则图形的面积最值，如场地规划、图形设计）； ②最大利润问题（营销类、销售定价与销量的利润最值，含成本、售价、销量的关系）； ③运动轨迹问题（抛体运动、拱桥/隧道/喷水问题，轨迹符合二次函数规律）； ④生活中的其他应用（增长率问题、最优方案设计、跨学科结合问题）。 考情分析 ①基础层应用：侧重单一场景的模型建立（如直接根据题意列二次函数解析式求最值），难度中等； ②进阶层应用：侧重含约束条件的最值求解（如自变量取值范围限制、实际意义下的整数解），难度中等偏上； ③拔高层应用：侧重多场景结合、分类讨论（如分段函数模型、多方案对比），难度较高。 一、核心建模步骤与方法 1.实际问题建模四步法 第一步：审题定位，确定变量关系（明确自变量、因变量，分析两者是否满足二次函数关系）； 第二步：建立坐标系/列关系式（几何类问题优先建立平面直角坐标系，营销类问题直接根据数量关系列解析式）； 第三步：确定解析式（通过待定系数法、根据数量关系推导等方式求二次函数解析式或顶点式）； 第四步：求解验证（根据二次函数性质求最值，结合实际意义验证结果合理性，舍去不合题意的解）。 2.三类核心场景建模要点 应用场景 核心数量关系 解析式形式选择 关键注意事项 最大面积 面积公式（如矩形面积=长×宽） 一般式或顶点式（优先顶点式求最值） 自变量需满足几何图形的边长为正 最大利润 利润=（售价-成本）×销量 一般式（销量常与售价成一次函数关系） 售价、销量需为非负整数（实际场景） 运动轨迹 竖直高度与水平距离成二次函数 顶点式（优先以顶点为原点建系简化计算） 注意坐标原点的设定，结合实际场景确定自变量范围 二、二级结论（解题提速技巧） 1.最值求解捷径： 若二次函数为（），当时，取最值； 若自变量有取值范围，需分三种情况：①对称轴在区间内（最值为顶点纵坐标）；②对称轴在区间左侧（最值在区间端点处）；③对称轴在区间右侧（最值在区间端点处）。 2.几何建模技巧： 涉及对称图形（如拱桥、隧道），优先以对称轴为轴或顶点为原点建系，可使解析式常数项为0，简化计算； 不规则图形面积最值，优先通过割补法转化为规则图形（矩形、三角形）的面积之和/差，再列函数关系式。 3.利润问题关键结论： 若销量与售价成一次函数（，售价越高销量越低），则利润为二次函数，且开口向下，最值在对称轴处。 4.运动轨迹结论： 抛体运动（如掷铅球、喷水）中，抛物线顶点横坐标为水平距离的一半（对称性质），顶点纵坐标为最大高度。 考点1：最大面积问题（几何图形类） 例题1（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 变式题1（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 考点2：最大利润问题（营销类） 例题2（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 变式题1（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 考点3：运动轨迹问题（抛体/拱桥/隧道类） 例题3（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 变式题1（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 变式题2（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 考点4：生活中的其他应用（方案设计/跨学科类） 例题4（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 变式题1（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　 　平方米． 3．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为，则　 　． 4．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：与距离停车棚支柱的水平距离（单位：近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 　 　完全停到车棚内（填“能”或“不能” ． 5．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙于点（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得，，，，，班长买来可切断的围栏，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积 是 　 　． 6．某酒店有、两种客房，其中种24间，种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若、两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元． （1）求、两种客房每间定价分别是多少元？ （2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 7．春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元张）之间满足一次函数关系，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元张） 40 50 售出电影票数量（张 164 124 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 8．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 9．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为元． （1）求与的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 10．某超市购入一批进价为10元盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒与销售单价（元是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价元 12 14 16 18 20 销售量盒 56 52 48 44 40 （1）求与的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值． 11． 2025年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售，两类特产．类特产进价50元件，类特产进价60元件．已知购买1件类特产和1件类特产需132元，购买3件类特产和5件类特产需540元． （1）求类特产和类特产每件的售价各是多少元？ （2）类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件类特产降价元，每天的销售量为件，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为元，求与的函数关系式，并求出每件类特产降价多少元时总利润最大，最大利润是多少元？（利润售价进价） 12．某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量（单位：件）与销售单价（单位：元件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内与之间的函数解析式； （2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 13．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 14．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． （1）小球被发射后 　　 　　时离地面的高度最大（用含的式子表示）． （2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 15． “尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第天且为整数）的售价为（元千克），当时，；当时，．销量（千克）与的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元千克，第15天的售价为15元千克，设第天的销售额为（元． （1）　　 　　，　　； （2）写出第天的销售额与之间的函数关系式； （3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？ 16． 2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． （1）若万元，求该商场建造的隔热层厚度； （2）已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 17．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）斜坡上点处有一棵树，点是的三等分点，小球恰好越过树的顶端，求这棵树的高度． 18．在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据如表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 19． 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为， ①直接写出，的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 20．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以为原点，以直线为轴，以桥塔所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点到的距离．（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索所在抛物线的函数表达式； （2）点在缆索上，，且，，求的长． 21．如图，一小球从斜坡点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离（米与小球飞行的高度（米的变化规律如表： 0 1 2 4 5 6 7 0 6 8 （1）①　 　，　　； ②小球的落点是，求点的坐标． （2）小球飞行高度（米与飞行时间（秒满足关系：． ①小球飞行的最大高度为 　　米； ②求的值． 22．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． （1）如图1，点与地面的距离为2米，水滑道最低点与地面的距离为米，点到点的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为 　　 　　； （2）如图1，腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； （3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点处竖直支撑的钢架，另一条是点与点之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 23．请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等． 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元件； ②“正”服装：48元件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人 每人每天加工量（件 平均每件获利（元 风 2 24 雅 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求、之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 24．在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画． （1）求关于的函数表达式； （2）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ （3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在，两点间选取一点，测得，在，两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为．求支撑杆的长．（精确到，参考数据：， 25．综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出△区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $