精品解析：2026届陕西省九师联盟高三第7次质量检测数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 2. 已知点，，，且，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 3 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为，，半径为2的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025~2030年的年平均增长率大约为（ ） A. 115% B. 15% C. 30% D. 60% 7. 在中，，，，边上一点，且平分，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆与圆，则下列说法正确有（ ） A. 若，则两圆外离 B. 若两圆相交，则 C. 若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D. 若，则直线为两圆的公切线 10. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，分别是，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 11. 已知定义域为的奇函数满足，，使得，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，那么___________． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为___________． 14. 若对恒成立，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 指数是体重指数，当时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客数据进行统计，得到如下列联表： 数据 合计 正常范围 不正常范围 男顾客 75 15 90 女顾客 30 20 50 合计 105 35 140 （1）依据小概率值的独立性检验，能否推断出男、女顾客的是否存在差异？ （2）该机构统计出上述男顾客平均体重为，女顾客的平均体重为，试估计该机构全体顾客的平均体重． 公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3841 6.635 7.879 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前n项和． 17. 如图，在正四棱柱中，，． （1）求点到直线的距离； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； （3）设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 19. 设函数，． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）当时，若，满足，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【详解】，所以 2. 已知点，，，且，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求，结合平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为点，，，则，， 可得，所以点P的坐标为． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，， 所以或， 所以. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，所以， 则， 所以，， 所以． 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为，，半径为2的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设内切球的半径为，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处，利用圆台的侧面积公式计算得，求得，结合圆台表面积计算公式计算即可. 【详解】如图，设内切球的半径为， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理， 圆台的母线长， 又，所以，解得， 又，所以， 所以，，圆台的表面积为． 6. 某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025~2030年的年平均增长率大约为（ ） A. 115% B. 15% C. 30% D. 60% 【答案】B 【解析】 【分析】设2025~2030年的年平均增长率为，由题意知，利用两边取对数进行求解. 【详解】设2025~2030年的年平均增长率为， 由题意知，所以， 两边取对数得， 将代入，得，， 所以，所以平均增长率大约为15%． 故选：B. 7. 在中，，，，为边上一点，且平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形角平分线的性质确定的长度，再利用余弦定理求和的长. 【详解】如图： 因为平分，所以，又，所以. 在中，根据余弦定理，可得， 在中，根据余弦定理，， 所以. 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得. 【详解】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 由.所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆与圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则两圆外离 B. 若两圆相交，则 C. 若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D. 若，则直线为两圆的公切线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆与圆位置关系计算可判断AB；根据两圆公共弦所在直线方程求法计算可判断C；根据直线与圆的位置关系计算可判断D. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径． 对于A，若，，两圆外切，故A错误； 对于B，由两圆相交，得， 即，解得，故B正确； 对于C，若，则， 此时，所以两圆相交， 因为两圆方程作差得， 所以两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； 对于D，若，则到直线的距离， 到直线的距离， 所以直线为两圆的公切线，故D正确． 10. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，分别是，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，判断A的真假；假设平面，可得，根据未必成立，可得假设错误，进而判断B时错误的；利用面面平行的判定定理证明平面平面，判断C的真假；利用面面垂直的判定定理证明平面平面，判断D的真假. 【详解】对A：因为分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面.故A正确； 对B：假设平面成立，因为平面，所以，因为四边形为矩形，所以未必成立，所以假设错误.故B错误； 对C：因为分别为，中点，所以， 又平面，平面，所以平面 因为，平面，且，所以平面平面.故C正确； 对D：因为平面，平面，所以； 又因为四边形为矩形，所以， 因为，平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 11. 已知定义域为的奇函数满足，，使得，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：赋值并结合奇函数性质可得答案；对于B：反证法可判断；对于C：利用复合函数的求导法则对等式两边求导可得答案；对于D：先证明周期性，利用周期可得答案. 【详解】令，代入到中， 得：，即：， 令，得， 而是定义域为的奇函数，所以， 所以，故A正确； 假设成立，又因为， 所以，所以为偶函数， 又已知是定义域为的奇函数， 所以对，， 与，使得矛盾，故B错误； ， 两边求导数，得， 即，故C正确； 因为是定义域为的奇函数， 所以， 两边求导得：， 又， 所以， ， 在中令，得，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，那么___________． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】直接根据正态分布的对称性即可得结果. 【详解】由，得． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 由椭圆定义，得， 又因为， 所以. 设C焦距为，由勾股定理，得， 又，所以， 所以． 14. 若对恒成立，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】令，， 可得对恒成立，分析在内的符号可得，运算求解即可. 【详解】令，，则在内的图象连续不断， 可得对恒成立， 因为，则， 当或时，则，可得； 当时，，可得； 若或，则或， 因为在和两侧的取值要求符号相反，且为连续函数， 所以必有和 可得，解得，， 经检验，符合题意，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 指数是体重指数，当时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客的数据进行统计，得到如下列联表： 数据 合计 正常范围 不正常范围 男顾客 75 15 90 女顾客 30 20 50 合计 105 35 140 （1）依据小概率值的独立性检验，能否推断出男、女顾客的是否存在差异？ （2）该机构统计出上述男顾客平均体重为，女顾客的平均体重为，试估计该机构全体顾客的平均体重． 公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）可以认为男、女顾客的存在差异 （2）65 【解析】 【分析】（1）计算出的值，对照临界值得出结论即可； （2）根据平均数公式求解. 【小问1详解】 零假设：男、女顾客的没有差异， 根据列联表中的数据计算，得， 根据小概率值的独立性检验， 可以推断不成立，即可以认为男、女顾客的存在差异． 【小问2详解】 因为男、女顾客的平均体重分别为、， 所以可以估计该机构全体顾客的平均体重为：. 16. 已知等差数列前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组即可由等差数列的通项公式求解； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得的表达式. 【小问1详解】 设的公差为d，则由题有， 、，所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以， 两式相减得， 即， 解得． 17. 如图，在正四棱柱中，，． （1）求点到直线的距离； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量在上的投影，求解即可. （2）利用空间直角坐标系，求出法向量，从而求出所成角的余弦值，求出正弦值, 【小问1详解】 以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 由，得，， 又，所以到直线的距离为 . 【小问2详解】 ，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即 令，则，，所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 又，所以，即二面角的正弦值为． 18. 已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； （3）设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义以及双曲线的标准方程，可得答案； （2）联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，结合判别式计算，可得答案； （3）联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，应用弦长公式代入计算化简求解. 【小问1详解】 设，为定值，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为：，， 所以，曲线的轨迹方程是； 【小问2详解】 设， 由，消去得， 则 整理得， 解得. 【小问3详解】 设， 由，消去得，， 则. ， 所以， 19. 设函数，． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）当时，若，满足，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入与，求出切点与斜率，再利用点斜式写出切线方程即可； （2）求出函数的导数，分和研究函数单调性，从而得解； （3）当时，利用导数可得在上单调递增，又，则，设，，利用导数可得，所以，代换之后得，从而得证. 【小问1详解】 由，得，， ，则， 所以的图象在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由，得， 因为在上单调递增，所以． 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立． 若，令，得，或，且，， 当时，，单调递减， 所以，与在上恒成立矛盾． 综上所述，a的取值范围是． 【小问3详解】 当时，，，，所以在上单调递增， 又，所以时，，时，． 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以． 设，， 则， 所以在上单调递增． 因为，所以． 因为，所以， 又，所以，即． 又在上单调递增，所以，即． 所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $