精品解析：福建省集美中学高中105组2025-2026学年高二下学期数学练习（第2周）(周测)

集美中学高中105组高二（下）数学练习（第2周） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列等式中不成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式计算即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 2. 整数3528有（ ）个不同的正因数． A. 10 B. 12 C. 36 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】先把3528因数分解，再根据分步乘法计数原理求其正因数的个数. 【详解】，3528的正因数必为的形式， ，，， 所以3528共有个不同的正因数． 故选：C 3. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次．甲、乙两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第1名．"对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名，”从这两个回答分析，6个班的名次排列可能的不同情况种数为（ ） A. 480 B. 384 C. 360 D. 288 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，先确定第一名的班级，再确定最后一名的班级，再确定没有要求的班级名次即可. 【详解】分步乘法计数原理，分三步完成． 第1名只能是丙、丁、戊、己这4个班，有种可能； 乙班的名次只可能是第2，3，4，5名，有种可能； 剩余4个班的名次有种可能． 所以6个班的名次排列有种不同情况． 故选：B 4. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 【答案】C 【解析】 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 5. 已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（ ）个. A. 432 B. 257 C. 282 D. 504 【答案】D 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法来求个数即可. 【详解】第一步：把1、2、3、4、7、8奇偶数相间而排，共有种， 第二步：再把5、6两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶， 所以插入后奇数旁边放6，偶数旁边放5，则这7个空共有种排法， 根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有个， 故选：D. 6. 某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记校名选手分别为甲、乙，记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，结合韦恩图法可求出满足题设条件的排法种数. 【详解】记校名选手分别为甲、乙， 记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，如下图所示： 事件为：校选手的两边为甲和乙， 则满足题意的排法种数为 种. 故选：B. 7. 《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A. 720种 B. 360种 C. 288种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分步进行分析：①用倍分法分析《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《赋得古原草送别》与《念奴娇》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意分步进行分析： ①将《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序， 因为《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，所以这首诗词的排法有种； ②这首诗词排好后，不含最后有个空位，在个空位中任选个， 安排《赋得古原草送别》与《念奴娇》，有种安排方法； 则后六场的排法有种 . 故选：D 8. 从三个班级，每班随机选派两名学生为代表，这六名同学被随机安排在一个圆桌会议室进行“深度学习与复习”座谈，会议室的圆桌正有好有六个座位，则同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】个元素圆桌环形排列的所有情况为，将需要相邻的元素捆绑，环形排列，还要注意捆绑的两个元素内部也有顺序. 【详解】由题意可知，个元素圆桌环形排列的所有情况为，故所有的情况数是种， 同一班级的两名同学恰好排在一起相邻而坐的情况数为：首先三个班的两名同学捆绑，形成新的三个元素，环排共有种， 又每个班两名同学可以排序，则有种，同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（ ） A. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C. 从四个字母中取出个字母 D. 从四个数字中取出个数字组成一个两位数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据排列的定义，逐个选项判断即可. 【详解】选项A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关； 选项B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关； 选项C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关； 选项D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列． 故选：AD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 某商场共有5层，每层均有两个楼梯，小明从一楼上到五楼可能的走法有32种 B. 用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有105个 C. 现有5个相同的球和5个编号为，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子内，恰有一个空盒的放法有20种 D. 把英文单词sorry的字母顺序写错，可能出现的错误共有59种 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据分步乘法计数原理运算求解；对于B：分类讨论个位数是否为0，结合排列数运算求解；对于C：若恰有一个空盒，则一个盒子有2个球，结合排列数运算求解；对于D：注意到字母中包含2个r，结合排列数运算求解. 【详解】对于选项A：每层均有2种选择，从一楼上到五楼可能的走法有种，故A错误； 对于选项B：若个位为0，偶数共有个； 若个位不为0，偶数共有个； 综上所述：偶数共有个，故B正确； 对于选项C：若恰有一个空盒，则一个盒子有2个球，所以放法有种，故C正确； 对于选项D：由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题 五个字母进行全排列共有种结果， 字母中包含2个r，则五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果， 在这60种结果里有一个是正确的， 所以可能出现的错误的种数是，故D正确； 故选：BCD. 11. 用数中0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ） A. 可以组成300个四位数 B. 可以组成180个四位偶数 C. 可以组成96个能被3整除的四位数 D. 将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2310 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，先考虑千位，再考虑剩余3个数位，相乘得到答案；B选项，分个位为0和个位不为0两种情况，相加得到答案；C选项，选出四个数，数字之和能被3整除，再考虑每种情况下能组成的四位数个数，相加后得到答案；D选项，先考虑千位数字为1，再考虑千位数字为2，再考虑百位，从而得到从小到大排列，第85个数为2301. 【详解】对于A，先从1，2，3，4，5五个数字中选出1个放在千位上，有种选择， 再从添上0后的剩余5个数中选出4个，放在百位，十位和个位上，有种选择， 因此可以组成没有重复数字的四位数个数为，A正确； 对于B，分两种情况，当个位为0时，从1，2，3，4，5五个数中，选择3个放在千位，百位和十位上，有中选择， 当个位不为0时，先从2，4中选择1个放在个位上，有种选择， 再考虑千位，从除去0外的剩余4个数中，选择1个放在千位，有种选择， 再从添上0后的4个数中，选择2个，和剩余的百位和十位进行全排列，有种选择， 故可以组成没有重复数字的四位偶数个数为，B错误； 对于C，能被3整除的四位数，数位上的数字之和要能被整除， 先从0，1，2，3，4，5六个数中，选出四个数，数字之和能被3整除的有0,1,2,3；0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5和1,2,4,5； 其中0,1,2,3，先考虑千位，从除去0的三个数中，选出1个，有种选择，再考虑剩余的3个数，有种选择，可以组成的没有重复数字的四位数个数为， 同理可得0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5，均可以组成的没有重复数字的四位数个数为18， 1,2,4,5，能组成没有重复数字的四位数个数为， 因此可以组成个能被3整除的四位数，C正确； 对于D，若组成的没有重复数字的四位数千位为1， 此时剩余的5个数中，选择3个，分别安排在百位，十位和个位，有个， 若组成的没有重复数字的四位数千位为2， 此时剩余的5个数中，选择3个，分别安排在百位，十位和个位，有个， ，故将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个四位数千位为2， 若组成的没有重复数字的四位数千位为2，百位为0，此时从剩余的4个数字中选择2个，放在十位和个位，组成的没有重复数字的四位数有个，， 同理可得：若组成的没有重复数字的四位数千位为2，百位为1，组成的没有重复数字的四位数有个，， 因此将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2301，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的个位数字是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用阶乘的公式计算即可得解. 【详解】，，，，， 从开始一直到的个位数字都是0． 要求的个位数字，则只要将前面五个数加起来， 即． 即的个位数字就是． 13. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种． 【答案】72 【解析】 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种． 14. 从1，2，3，…，20，21这21个整数中任选两个不同的整数，，其中使得的个位上的数字为9的有序数组的个数为_____． 【答案】85 【解析】 【分析】根据，的个位上的数字具有周期性规律，对、的取值分类讨论，结合计数原理求得答案． 【详解】，的个位上的数字具有周期性规律，如表所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 的个位上的数字 2 4 8 6 2 4 8 6 的个位上的数字 3 9 7 1 3 9 7 1 由表可得，的个位上的数字周期为4， 因此，①当取1，5，9，13，17，21时，可取3，7，11，15，19，此时满足题意的有序数组有个； ②当取3，7，11，15，19时，可取4，8，12，16，20，此时满足题意的有序数组有个； ③当取4，8，12，16，20时，可取1，5，9，13，17，21，此时满足题意的有序数组有个； ④当取2，6，10，14，18时，的个位数为4，此时要求的个位数为5，而的个位数不可能为5，故此种情况不成立. 综上，满足题意的有序数组的个数为个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C过点，，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）求过点且与圆C相切的直线方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用几何法作出圆心，结合方程组求解圆心坐标和半径，从而可得圆的标准方程； （2）利用分斜率是否存在来表示直线，结合圆心到直线的距离等于半径来求切线方程. 【小问1详解】 由点，，可得中点和斜率， 则的中垂线方程为：， 由圆心既在的中垂线上，又在直线上， 联立可得：，解得：， 所以圆心坐标，半径， 所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 过点垂直于轴的直线为，圆心到直线的距离，故直线为圆的一条切线， 再设过点斜率存在的切线方程为， 由直线与圆相切，可得：， 解得：，则此时切线方程为， 综上，与圆C相切的直线方程为或. 16. 已知是公比大于1的等比数列，，且，，成等差数列，数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差中项列式求出公比即可. （2）求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由，且成等差数列， 得，解得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由数列的前n项和为，得当时，， 而满足上式， 因此，， 则， 因此， 两式相减得， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且，G是线段上一动点. （1）求证：平面平面； （2）当A，E，F，G四点共面时，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明一平面内的线段与另一平面垂直，即证明平面. （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，根据共面关系求出的坐标，然后求出平面的法向量坐标，最后根据向量夹角的余弦公式求出结果. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面， 所以，因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 在上取点使得，则以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设，则， 所以，因为A，E，F，G四点共面， 所以存在实数使得，则. 解得，所以，所以. 设平面的法向量为，则. 所以有，令，则，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 所以直线与平面所成角的余弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，设，，，直线，相交于点Q，且它们的斜率之积是. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于M，N两点， ①求面积的最大值； ②若P是线段上异于M，N的一点，且满足，证明：. 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设，由题化简可得答案； （2）①设过直线方程为：，.不妨设在上方，如图所示，可得，将直线与（1）中方程联立结合韦达定理可得 ，据此可得最值； ②设在上方，如图所示，设，如图分别过作轴垂线，垂足为，由可得，结合①可得，据此可完成证明. 【小问1详解】 设，由题可得，化简后可得：； 【小问2详解】 ①由题可得过的直线方程斜率不为0， 设过直线方程为：，将直线方程与联立， 消去x可得：，判别式为：. 设，由韦达定理. 不妨设在上方，如图所示， ，令， 则，， 当且仅当，即时取等号； ②设在上方，如图所示，设， 如图分别过作轴垂线，垂足为， 则， 从而， 则，又在上，则， 注意到两点中点为，则在连线的中垂线上， 从而. 19. 已知递增数列的前项和为，，数列具有性质P：对任意的，当时，与两数中至少有一个是集合中的项. （1）若数列单调递增且具有性质，求，； （2）证明：； （3）若数列单调递增且具有性质P.已知，求. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，由题可得中必有一个在A 中，据此可得，再利用可得； （2）类似于（1）中分析可得，然后由题可得，，据此可得，累加并整理可完成证明； （3）设，由（2）中分析可得，由，可得，又注意到，，可得是以1为首项，公比为2的等比数列，据此可得答案. 【小问1详解】 设，由题可得中必有一个在A 中， 因，则，，，结合， 则；此时数列为，因为， 则，，即； 【小问2详解】 类似于（1）中分析，中必有一个在中， 因，则，，则. 又注意到，则，. 因，则， 则， 即， 将以上各式累加可得， 即； 【小问3详解】 设. 由（2）分析可得. 则，因， 则. 又，则，注意到， 则，即， 故是以1为首项，公比为2的等比数列， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美中学高中105组高二（下）数学练习（第2周） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列等式中不成立的是（　　） A. B. C. D. 2. 整数3528有（ ）个不同的正因数． A. 10 B. 12 C. 36 D. 40 3. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次．甲、乙两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第1名．"对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名，”从这两个回答分析，6个班的名次排列可能的不同情况种数为（ ） A. 480 B. 384 C. 360 D. 288 4. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 5. 已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（ ）个. A. 432 B. 257 C. 282 D. 504 6. 某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（ ） A. B. C. D. 7. 《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A. 720种 B. 360种 C. 288种 D. 144种 8. 从三个班级，每班随机选派两名学生为代表，这六名同学被随机安排在一个圆桌会议室进行“深度学习与复习”座谈，会议室的圆桌正有好有六个座位，则同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（ ） A. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C. 从四个字母中取出个字母 D. 从四个数字中取出个数字组成一个两位数 10. 下列说法正确的有（ ） A. 某商场共有5层，每层均有两个楼梯，小明从一楼上到五楼可能的走法有32种 B. 用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有105个 C. 现有5个相同的球和5个编号为，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子内，恰有一个空盒的放法有20种 D. 把英文单词sorry的字母顺序写错，可能出现的错误共有59种 11. 用数中0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ） A. 可以组成300个四位数 B. 可以组成180个四位偶数 C. 可以组成96个能被3整除的四位数 D. 将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2310 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的个位数字是_____． 13. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种． 14. 从1，2，3，…，20，21这21个整数中任选两个不同的整数，，其中使得的个位上的数字为9的有序数组的个数为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C过点，，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）求过点且与圆C相切的直线方程. 16. 已知是公比大于1的等比数列，，且，，成等差数列，数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且，G是线段上一动点. （1）求证：平面平面； （2）当A，E，F，G四点共面时，求直线与平面所成角的余弦值. 18. 在平面直角坐标系中，设，，，直线，相交于点Q，且它们的斜率之积是. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于M，N两点， ①求面积的最大值； ②若P是线段上异于M，N的一点，且满足，证明：. 19. 已知递增数列的前项和为，，数列具有性质P：对任意的，当时，与两数中至少有一个是集合中的项. （1）若数列单调递增且具有性质，求，； （2）证明：； （3）若数列单调递增且具有性质P.已知，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $