精品解析：北京交通大学附属中学2025-2026学年九年级下学期 开学练习数学试卷

2025-2026学年第二学期北京交大附中初三年级开学练习数学试卷 2026．3 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 每一个外角都是的正多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正九边形 6. 我国运算速度最快的超级计算机是神威太湖之光，其运算速度每秒约次运算，那么它工作一分钟可达到的运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 学校招募“弦外之音”项目组成员参加实践活动，项目组共10人分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了1名男生，2名女生．现从项目组全体成员中随机抽取1人承担宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 10. 因式分解：_____． 11. 分式方程的解是__________． 12. 如图，的弦相交于点P．若，则_______°． 13. 如图，在矩形中，已知，若，则的长为______． 14. 某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据： 抽取的产品数 合格的产品数 合格的产品频率 估计这批产品合格的产品的概率为___________(精确到)． 15. 埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”． 他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，点A和点B所在位置是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约1600km，在A处有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在B处竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为 ，据此可以估算地球的周长约为________km． 16. 某公司有四个部门：、、、 ，需要选择会议室，部门、、、 需要的会议室数量分别为2、3、4、5个．会议室的编号为1至15号，电梯口左右两侧分别是单数编号的会议室和双数编号的会议室，如图所示．每个部门在选择会议室时，只能选择相邻的会议室，并且所选会议室的编号之和尽可能小．如果部门先选，它选择了1号和2号会议室，接着部门选择了3号、5号、7号会议室，要使部门、 都能选到会议室，则接下来应该让___________（填或者 ）部门选．如果部门首先选择会议室，要使其他三个部门都能选到会议室，写出一种满足条件的选择会议室的先后顺序___________． 三、解答题（本题共68分，其中17-22题每小题5分，23-26题每小题6分，27、28题每小题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED． （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长． 21. 小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题： （1）奉节到宜昌的水上距离是多少？ （2）李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由． 22. 已知直线过点，点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数的图象交于点Q． （1）求k的值； （2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）； （3）若的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围． 23. 某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A，B两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． a．两种花生仁的长轴长度统计表： 花生仁长轴长度（mm） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A品种花生仁粒数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0 B品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2 b.两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 A品种花生仁 a 13.5 c 1.4 B品种花生仁 17.5 b 16 3.9 根据以上信息，回答下列问题： （1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是_________（填序号）； ①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒； ②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒； （2）写出a，b，c的值； （3）学校食堂准备从A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购_____（填“A”或“B”）品种花生仁，理由是_______________________ 24. 如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，是的直径，连接并延长交直线于点D． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点E．若的半径为，，求的长． 25. 生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如下图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为__________； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率__________超过（填“能”或“不能”）． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）直接写出的值； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率__________（填“大于”“小于”或“等于”）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 （1）求抛物线的顶点的坐标；（要有过程） （2）若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当时，求的长． ②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围． 27. 已知，将绕点逆时针旋转到，使得点的对应点落在直线上． （1）①依题意补全图1； ②若垂直，直接写出的值； （2）如图2，过作的平行线，与的延长线交于点 ，交于点，取的中点和的中点，写出线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”． （1）如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； （2）如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； （3）当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期北京交大附中初三年级开学练习数学试卷 2026．3 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形，得出主视图是三角形的即可． 【详解】解：选项A的主视图是正方形； 选项B的主视图是三角形； 选项C的主视图是矩形； 选项D的主视图是圆． 故选：B． 2. 将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，直接根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为． 故选：D． 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，求该不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 4. x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】利用根的判别式和一元二次方程的定义计算判断即可． 【详解】∵方程有两个不相等的实数根， ∴．， 解得且， 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 5. 每一个外角都是的正多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正九边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得多边形的边数． 【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于， ∴这个多边形的边数是， 故选：D． 6. 我国运算速度最快的超级计算机是神威太湖之光，其运算速度每秒约次运算，那么它工作一分钟可达到的运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值和的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：由题意得，工作一分钟可达到的运算次数为． 故选：C． 7. 学校招募“弦外之音”项目组成员参加实践活动，项目组共10人分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了1名男生，2名女生．现从项目组全体成员中随机抽取1人承担宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意正确列式计算是解题的关键． 根据题意得到男生有名，则女生有名，即可得到第一批次确定的人员中女生的人数为名． 【详解】解：根据题意得到男生有名， 女生有名， 第一批次确定的人员中女生的人数为名， 故选：A． 8. 已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式即可判定；求得、的长进行比较即可判定，过点作，交抛物线于，如果，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得为直角三角形即可进行判定； 【详解】解：如图，过点作，交抛物线于，连，连，， 二次函数的顶点为，最大值为， 抛物线过点， 抛物线的对称轴为直线，故正确，符合题意； ，解得， 抛物线的解析式为， 当时，，解得：或， ，； ， ， ， ， ， 点在上，故②正确，符合题意； ， ，解得：或， ， ， 四边形不是平行四边形，故错误，不符合题意； 由抛物线可知， ， ，，， ， 为直角三角形， ， ， ， 直线与相切，故正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，平行四边形的判定，勾股定理及逆定理，切线的判定，点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 10. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 11. 分式方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验，即可得到原方程的解. 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母，得， 展开得， 移项合并同类项得， 解得. 经检验，当时，， 因此是原分式方程的解. 12. 如图，的弦相交于点P．若，则_______°． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．先根据圆周角定理求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：32． 13. 如图，在矩形中，已知，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形以及勾股定理，根据勾股定理求得，再利用三角形相似得到比例求得即可． 【详解】矩形， 即： 解得： 故答案为：． 14. 某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据： 抽取的产品数 合格的产品数 合格的产品频率 估计这批产品合格的产品的概率为___________(精确到)． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：由表可知合格的产品频率都在左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为， 故答案为：． 15. 埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”． 他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，点A和点B所在位置是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约1600km，在A处有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在B处竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为 ，据此可以估算地球的周长约为________km． 【答案】40000 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：， ，的长度为， ∴ 设地球的半径为， ∴ 解得：， ∴地球的周长为， 故答案为：40000． 16. 某公司有四个部门：、、、，需要选择会议室，部门、、、需要的会议室数量分别为2、3、4、5个．会议室的编号为1至15号，电梯口左右两侧分别是单数编号的会议室和双数编号的会议室，如图所示．每个部门在选择会议室时，只能选择相邻的会议室，并且所选会议室的编号之和尽可能小．如果部门先选，它选择了1号和2号会议室，接着部门选择了3号、5号、7号会议室，要使部门、都能选到会议室，则接下来应该让___________（填或者）部门选．如果部门首先选择会议室，要使其他三个部门都能选到会议室，写出一种满足条件的选择会议室的先后顺序___________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了逻辑与推理，理解题意列举出所有的顺序情况是解题的关键． （1）如果部门先选，接着部门选择，列举出接下来让部门选和让部门选的情况，分别判断是否符合题意即可得出结论； （2）如果部门首先选择会议室，由题意可知，它会选择1号、2号、4号、6号会议室，分3种情况讨论：①接下来让部门选；②接下来让部门选；③接下来让部门选，列举出所有的顺序情况，逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：（1）如果部门先选，它选择了1号和2号会议室，接着部门选择了3号、5号、7号会议室， 若接下来让部门选，它会选择4号、6号、8号、10号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意； 若接下来让部门选，它会选择4号、6号、8号、10号、12号会议室，最后让部门选，它会选择9号、11号、13号、15号会议室，则部门、都能选到会议室，符合题意； 故答案为：． （2）如果部门首先选择会议室，由题意可知，它会选择1号、2号、4号、6号会议室， 下面分3种情况讨论： ①接下来让部门选，它会选择3号、5号会议室： 若接下来让部门选，它会选择7号、9号、11号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意； 若接下来让部门选，它会选择7号、9号、11号、13号、15号会议室，最后让部门选，它会选择8号、10号、12号会议室，则部门、、都能选到会议室，符合题意； ②接下来让部门选，它会选择3号、5号、7号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意； ③接下来让部门选，它会选择3号、5号、7号、9号、11号会议室： 若接下来让部门选，它会选择8号、10号会议室，此时剩下的会议室没有3个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意； 若接下来让部门选，它会选择8号、10号、12号会议室，最后让部门选，它会选择13号、15号会议室，则部门、、都能选到会议室，符合题意； 综上所述，满足条件的选择会议室的先后顺序为或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共68分，其中17-22题每小题5分，23-26题每小题6分，27、28题每小题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊角三角函数、二次根式、负整数次幂、绝对值，再进行加减运算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角三角函数、二次根式、负整数次幂、绝对值等知识点，正确计算是解题的关键． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找，得出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将代数式运用分式性质化简变形后，由已知等式求出，整体代入计算即可求出值； 【详解】解： ， ， ， ∴原式． 20. 如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED． （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由余角的性质解得，继而证明； （2）由相似三角形的性质可解得EC=4，由等腰三角形的性质、平行线的性质可证EG=DG，再由勾股定理解题即可． 【详解】证明：（1）AE⊥ED，矩形ABCD （2） ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 21. 小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题： （1）奉节到宜昌的水上距离是多少？ （2）李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由． 【答案】（1）奉节到宜昌的水上距离为 （2）李白不能在一日之内从白帝城到达江陵， ∵， ∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程应用题，找到等量关系列方程是解题关键． （1）奉节到宜昌的水上距离为千米，根据李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多列出方程，解方程即可; （2）用两段时间之和计算即可. 【小问1详解】 解：（1）设奉节到宜昌的水上距离是． 根据题意得：，解得． 答：奉节到宜昌的水上距离为． 【小问2详解】 略 22. 已知直线过点，点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数的图象交于点Q． （1）求k的值； （2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）； （3）若的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例与一次函数的综合，涉及求一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，解不等式，掌握一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，解不等式是解题关键． （1）由直线过点，代入直线解析式可得，即； （2）由P在直线上且横坐标为m，可求点P的纵坐标为，由轴，可得点Q的纵坐标为．由点Q在函数的图象上，可求点Q的横坐标为即可； （3）由， ，可求利用三角形面积公式得到，由的面积大于3，列不等式，解得：或（舍去）即可． 【小问1详解】 解：∵直线过点， ∴，即． 【小问2详解】 解：∵P在直线上且横坐标为m， ∴点P的纵坐标为， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为． ∵点Q在函数的图象上， ∴点Q的横坐标为． ∴点Q的坐标为． 【小问3详解】 解：∵， ， ∴， ， ∵的面积大于3， ∴，即， ∴或 解得：或（舍去）， ∴． 23. 某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A，B两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． a．两种花生仁的长轴长度统计表： 花生仁长轴长度（mm） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A品种花生仁粒数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0 B品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2 b.两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 A品种花生仁 a 13.5 c 1.4 B品种花生仁 17.5 b 16 3.9 根据以上信息，回答下列问题： （1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是_________（填序号）； ①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒； ②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒； （2）写出a，b，c的值； （3）学校食堂准备从A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购_____（填“A”或“B”）品种花生仁，理由是_______________________ 【答案】（1）② （2），， （3）A，A的方差小于B的方差． 【解析】 【分析】（1）抽样时应当尽量避免主观因素的影响据此即可解答； （2）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可； （3）根据方差的意义即可解答． 【小问1详解】 解：抽样时应当尽量避免主观因素的影响，则②符合题意． 故答案为②． 【小问2详解】 解：A品种花生仁的平均数为：； A品种花生仁的样本中13出现了10次，次数最多，则众数为； B品种花生仁的样本有30个数据，从小到大排列处于中间为第15和第16的数据分别是17,18，则中位数为． 【小问3详解】 解：由于菜品质量要求，花生仁大小要均匀，即数据波动小，方差小；因为A品种花生仁的方差1.4小于B品种花生仁的方差,则应选A． 故答案为：A，A的方差小于B的方差． 【点睛】本题主要考查了抽样调查、平均数、中位数、众数、方差等知识点，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键． 24. 如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，是的直径，连接并延长交直线于点D． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点E．若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图1． ，是的切线，，是的半径， ，， ，． ， ， ， ． 又， ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线的性质和切线长定理得到，，利用等腰三角形性质和等量代换得到，利用等量代换即可证明； （2）连接，，在中，利用，得到设，．则，．在中，利用建立等式算出的值，进而得到，利用勾股定理得到，证明，利用相似三角形的性质即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，如图2． 在中，， 设，．则，． 在中，，即．解得． ，． 是的直径， ． ，， ． ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、熟练掌握切线的性质，能够正确作出辅助线是解答问题的关键． 25. 生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如下图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为__________； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率__________超过（填“能”或“不能”）． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）直接写出的值； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率__________（填“大于”“小于”或“等于”）． 【答案】， 作图如下， 不能， （1），（2）小于 【解析】 【分析】本题主要考查表格信息与函数图象的关系，理解表格信息，掌握函数图象的绘制方法，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1），根据水解率的表格即可求解；，根据表格信息描点即可，结合图象分析即可； （2）根据表格信息可得，时间为时，水解率为，由此即可求解； （3）根据菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到可得时间，则，结合表格信息即可求解． 【详解】解：：根据水解率的大小可得，菌剂添加量为时最佳， 故答案为：； ：根据表格信息，描点，作函数图像得， 时间的变化情况为：每次增加量为小时；水解率的变化情况：，，，，，，，，， ∴随着时间的增加，水解率的增加量逐渐减小， ∴当水解时间为时，生活垃圾水解率不能超过， 故答案为：不能； （1）根据表格信息可知，时间为时，水解率为， ∴，即； （2）∵每隔测定一次水解率，如图所示， ∴根据当时，水解率小于，当时，水解率大于， ∴当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时， ∴， ∴当菌剂添加量为时，水解小时， ∴由表格信息可得，当水解时间为时，水解率为， ∴此时水解率小于， 故答案为：小于． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 （1）求抛物线的顶点的坐标；（要有过程） （2）若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当时，求的长． ②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①10；② 【解析】 【分析】（1）一般式化成顶点式，根据顶点式，直接写出顶点坐标即可； （2）①求出点坐标，进而求出抛物线的解析式，求出的坐标，进而求出的长即可；②根据点在点的下方，求出，根据，结合二次函数的增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①当时，， ∴， 把代入，得，解得， ∴， 由题意，，， 当时，，， ∴； ②由①知：，，抛物线的解析式为， 当时，解得或， ∵点在点的下方， ∴， ∴，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵线段的长随的长的增大而减小，即线段的长随的增大而减小，， ∴． 27. 已知，将绕点逆时针旋转到，使得点的对应点落在直线上． （1）①依题意补全图1； ②若垂直，直接写出的值； （2）如图2，过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，取的中点和的中点，写出线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （1）①补全图形如图， ② （2） ， 证明：如图，连接并延长，交延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由旋转得，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 即：． 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）①根据题意补全图形即可； ②由旋转得，，旋转角度为，得出，则，结合垂直，求得，即可解答； （2）连接并延长，交延长线于点，连接，先证明，再证明，得，，利用平行得，则可得，则，再证明是的中位线，即可得． 【小问1详解】 解：①略 ②由旋转得，，旋转角度为， ∴， ∴， ∵垂直， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”． （1）如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； （2）如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； （3）当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）点坐标为； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美等值点”的定理，可得，则是等腰直角三角形，四边形是正方形，由此即可求解； （2）当，时，，设，根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解； （3）根据分类讨论，当时，根据正方形的判定和性质可得点的横坐标；当时，根据“完美等值点”的概念及计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：当，，时，，， ∴，, 如图所示， ∵点绕“完美等直点”逆时针旋转， ∴，则是等腰直角三角形， ∴点的中点坐标为 ∴，且， ∴旋转中心点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点于点重合， ∴点以点为中心逆时针旋转后， ∴线段的“完美等直点”坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当，时，， ∵直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”， ∴设，， 如图所示，过点作轴于点，作轴于点， 在中，， ∴， ∵轴， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：如图所示，当时，，点在圆上，圆心坐标为，半径为， ∴， ∴点横坐标的取值范围为：，纵坐标的取值范围为：， 由（1）的推理可得，线段的中点坐标为，过点作线段的垂直平分线， ∴根据“完美等值点”的定义，旋转的性质可得，中心对称点在线段的垂直平分线线上，且， ∴，，即是等腰直角三角形， ∴由（1）中证明可得四边形是正方形， ∴， ∴的横坐标为； 当点三点共线时，线段的长度值最大，如图所示，以点作矩形， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即点的横坐标大于； 当时，，如图所示，作轴于点， ∴，，， ∴，则， ∴，即， ∵是的垂直平分线， ∴的横坐标为； 综上所述，的横坐标的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标中图形的变换规律，理解“完美等值点”的定义，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形运动的规律，分类讨论思想，图形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $